第三章 整式及其加减（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学第三章整式及其加减单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合文化情境与规律探究，全面考查抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数式、整式运算、规律探究|新运算（第7题）、中国结图形规律（第9题）考查数学思维与眼光| |填空题|6/18|三位数表示、多项式次数、程序计算|不含某项求系数（第13题）、数的规律（第15题）体现抽象与应用意识| |解答题|9/72|化简求值、面积计算、新定义“和倍数”|“囧”字面积（第19题）、图案规律应用（第24题）融合几何直观与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 整式及其加减·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 4．单项式与的和是单项式，则的值为（     ）． A．3 B．6 C．8 D．9 5．有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 6．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． 8．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 9．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图是中国结抽象出的平面图形，若第1个图中共有4个小正方形，第2个图中共有7个小正方形，第3个图中共有10个小正方形，…，则第5个图中小正方形的个数为（   ） A．13个 B．16个 C．19个 D．22个 10．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中的值是（   ）    A．420 B．422 C．424 D．426 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，这个三位数是_____． 12．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 13．当=______时，关于的多项式中不含有项． 14．已知，则的值为________． 15．按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 16．如图，按上面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为72，则满足条件的x的值为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．化简 (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中x，y满足． 19．“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形（阴影部分）和一个长方形（阴影部分）得到一个“囧”字图案．设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，． (1)用含a、x、y的式子表示“囧”的面积； (2)当，，时，求该图形面积的值． 20．如图所示，是一个正方体的平面展开图，每个面内都标注了字母，相对两个面所表示的整式都相等． (1)的相对面是_________； (2)已知．求的值，其中．甲同学把错抄成，但他计算的结果也是正确的，这是怎么回事呢？ 21．已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，且互为倒数，数在数轴上对应的点到原点的距离等于1，求的值． 22．定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 23．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)请写出第5个等式：________； (2)请写出第n个等式（n是正整数）________； (3)根据上述规律，计算：． 24．【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 25．【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章整式及其加减·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式中，是代数式的有() x+3 x+2=y,0,x,2(b+c):x+4<10,5x'y-6x A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.下列计算正确的是() A.-2(a-b)=-2a+b B.2c2-c2=2 C.3a+2b=5ab D.xy-4w=-3y 3.下列说法错误的是() A.2a2-3ab+1是二次三项式 B.-3abc2的次数是6 0.y的系数是 D.-x-1常数项是-1 my33y” 4.单项式 与 的和是单项式，则m的值为(）. A.3 B.6 C.8 D.9 5.有理数4，b力对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简b4-1--6-2的结果是() 01 42→ A.1 B.2a-3 C.-1 D.2b-1 6若=2M=5 且少>0 则-y的值等于() A.-3或7 B.3或-7 C.-3或3 D.-7或7 7。一种新运算※。，规定如下：对于任态有理数4,6，满足*6=(a-2ba+b)-心.则-2)*3的 1/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值为() A.-12 B.12 C.-24 D.24 8.按一定规律排列的代数式：2a-b,4a2+b,6a3-b,8a+b,10a-b,…,则第n个代数式是() A 2na"±b B 2na”+(-1)"b c.2*a+(←1b D 2na”+(-1)"+1b 9.中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图是中国结 抽象出的平面图形，若第1个图中共有4个小正方形，第2个图中共有7个小正方形，第3个图中共有10 个小正方形，…，则第5个图中小正方形的个数为() 第1个图 第2个图 第3个图 A.13个 B.16个 C.19个 D.22个 10.如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中M的值是() 2 A.420 B.422 C.424 D.426 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.一个三位数，百位上的数字为a,十位上的数字为b,个位上的数字为C,这个三位数是 12.多项 2xy-(k-2)y+1是关于x,y的四次二项式，则k的值为 13.当-时，关于'的多项 -x2+2ky-4y2+xy-5x+1 中不含有项 14.已知x2+5x-4=0,则2x2+10x+1的值为 5=4-116-7133-102-156-132- 15.按一定规律排列的数：3， 3, 3, 03，…,以此规律排列，第7 个数是一 16.如图，按上面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为72，则满足条件的x的值为_ 2/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x的值 计算5x+2的值 >50 是，输出结果 否 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.化简 (1)a-2ab-a+5ab ②2r+4+5)-(3x2-7x+5) 18.先化简，再求值： 23x+6-5x-2）-432+0- 其中x,y满足 19.“囧”像一个人脸郁闷的神情.如图，边长为α的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形（阴影 部分)和一个长方形（阴影部分）得到一个“囧”字图案.设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别 为x、y,剪去的小长方形长和宽也分别为x,y. (1)用含4、x、y的式子表示“囧”的面积： (2)当a=12,x=5,y=3时，求该图形面积的值. 20.如图所示，是一个正方体的平面展开图，每个面内都标注了字母，相对两个面所表示的整式都相等. E BA D (1)E的相对面是 ②已知4=2x-3xy-2g2,B=-2w2+,E=-+3y-y.求A-B+C的值，其中 2y=-1 315 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 甲同学把x=2错抄成x=一2，但他计算的结果也是正确的，这是怎么回事呢？ 21.已知有理数a,b,C,d在数轴上的位置如图所示： bdo a (四化简： d-b-b+c+c-a ②法网=A,且6d互为倒数，数m在数轴上对应的点M到原点的距离等于1，求a+)m-3d+m 的值. 22.定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的2倍，则这个三位数叫做“和倍 数”.例如，三位数951，因为9+1=10=2×5，所以它是“和倍数”. 【理解定义】 (1)三位数267是“和倍数”吗？-·（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c,则a,b,C满足的关系式为： (3)任意一个“和倍数”都能被3整除吗？请说明理由. 23.观察下列各式： 第1个等武1上京分 1-2×4 第2个等式：1家3×3： 135 第3个等式：1-P=4×4:… (1)请写出第5个等式： (2)请写出第n个等式(n是正整数) 日限标1达起，计，〔1-)-写6) 24.【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形：第2个图案有6 个正方形；第3个图案有8个正方形：… 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8求 8 第1个图案第2个图案 第3个图案 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题， (1)第6个图案中有等边三角形个，正方形有 个，…，第2026个图案中有等边三角形 个，正方形有 一个： (2)第n个图案中有等边三角形个，正方形有一个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 (3)若第个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量. 25.【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式x-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求a的值”，通 常的解题方法是：把x,y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含 x项的系数为0，即原武为a+3)r-6y+5,所以a+3=0,则a=-3」 (1)【初步运用】关于x的多项式3mx-m+2m2-3x的值与x的取值无关，求m的值： (2)【类比迁移】已知A=x2-mx+2,B=x2+2x-1,且化简2A-B的结果与x取值无关，求L,n的值； 3)【拓展应用】图1是长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地 放在大长方形ABCD内，大长方形ABCD中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）·设左上角 的阴影部分面积为3，右下角的阴影部分的面积为3，当BC的长度变化时，设 S =2S1-5S2 ,且S为定值， 试探究a与b之间的数量关系，并说明理由. D 图1 图2 515 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 整式及其加减·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C C C A B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．2 13． 14． 15． 16．或或14 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ............3分 （2）解： ............6分 18． 【详解】解： ，............3分 ，且， ， 解得：，， 把，代入： 原式．............6分 19． 【详解】（1）解：“囧”的面积为：；............3分 （2）解：当，，时， “囧”的面积为： ．............6分 20． 【详解】（1）解：由图可得的相对面是， 故答案为：；............2分 （2）解： ， 当时 原式， 因为多项式化简后的结果为，不含字母，故原多项式的值与的取值无关． 因此，只要没有抄错，结果就是正确的．............6分 21． 【详解】（1）解：由图可知： 原式............4分 （2）解：，且 互为相反数，即： 互为倒数 数在数轴上对应点到原点的距离为 当时，原式； 当时，原式 综上所述，的值为或．............8分 22． 【详解】（1）解：∵， 故三位数不是“和倍数”；............2分 （2）解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得；............5分 (3)任意一个“和倍数”都能被整除，理由如下： 设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∴ ， ∵，都是整数， ∴是整数， ∴是的倍数； 故任意一个“和倍数”都能被整除．............8分 23． 【详解】（1）解：由题知， ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 则第4个等式为： ∴第5个等式为： 故答案为：；............2分 （2）解：由（1）知， 第个等式为：． 故答案为：；............5分 （3）解：由上述规律可知， 原式 ．............8分 24． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054；............4分 （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，；............8分 （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为．............12分 25． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴；............4分 （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，；............8分 (3) ， 理由：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 整式及其加减·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式，单独的一个数或字母也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式． 逐个判断： ∵ 是等式， 是不等式，二者都不属于代数式， ∴ 符合代数式定义的式子为，，， ，共个． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号法则与合并同类项法则，利用法则逐项判断即可． 【详解】解：A选项：， A错误； B选项：， B错误； C选项：与不是同类项，不能合并， C错误； D选项：， D正确． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 【答案】B 【详解】解：A、是二次三项式，原说法正确，不符合要求； B、的次数是4，原说法错误，符合要求； C、的系数是，原说法正确，不符合要求； D、的常数项是，原说法正确，不符合要求． 4．单项式与的和是单项式，则的值为（     ）． A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】两个单项式的和为单项式，说明两个单项式是同类项，根据同类项定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】∵单项式与的和是单项式， ∴两个单项式是同类项， ，， 解得，， ∴． 5．有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，，，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 6．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题先根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再根据判断同号，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴与同号， 分两种情况讨论： ①当，时，， ②当，时，， ∴的值等于或． 7．一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴． 8．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 9．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图是中国结抽象出的平面图形，若第1个图中共有4个小正方形，第2个图中共有7个小正方形，第3个图中共有10个小正方形，…，则第5个图中小正方形的个数为（   ） A．13个 B．16个 C．19个 D．22个 【答案】B 【分析】观察可知后一个图形比前一个图形多3个小正方形，进行求解即可． 【详解】解：观察可知后一个图形比前一个图形多3个小正方形， ∴第n个图形中小正方形的个数为， ∴第5个图形中小正方形的个数为． 10．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中的值是（   ）    A．420 B．422 C．424 D．426 【答案】B 【分析】根据已知的三角形中的三个数，找到规律，代值求解即可得到答案． 【详解】根据题中前4个三角形中的三个数的规律，可知如下规律：    ∴当时，． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，这个三位数是_____． 【答案】 【详解】解：一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， ∴这个三位数是． 12．多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 13．当=______时，关于的多项式中不含有项． 【答案】 【分析】当多项式不含某一项时，该项合并同类项后的系数为，先合并多项式中的同类项，再令项的系数为，即可求解的值。 【详解】解：对多项式合并同类项得： ， 多项式不含有项， 项的系数为，即， 解得． 14．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】由变形得到的整体数值，待求式可变形为，所以将的整体数值代入该变形后的式子即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得，． 15．按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 【答案】 【分析】先观察已知数中分子底数的变化规律，推导出第个数的表达式，再将代入计算即可． 【详解】解：观察已知排列的数：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 由此可得规律，第个数为， 当时，代入得：． 16．如图，按上面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为72，则满足条件的x的值为________． 【答案】或或14 【分析】本题主要考查了代数式的求值和解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出72，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案． 【详解】解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得， 当时，解得，不符合题意，舍去； 所以，满足条件的x的值为或或14， 故答案为：或或14． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简为，求值为12 【分析】先去括号、合并同类项化简代数式；再利用平方和绝对值的非负性：，，两个非负数相加等于，则各自为求出、的值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， ，且， ， 解得：，， 把，代入： 原式． 19．“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形（阴影部分）和一个长方形（阴影部分）得到一个“囧”字图案．设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，． (1)用含a、x、y的式子表示“囧”的面积； (2)当，，时，求该图形面积的值． 【答案】(1) (2)114 【分析】（1）根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可； （2）把a、x、y的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：“囧”的面积为：； （2）解：当，，时， “囧”的面积为： ． 20．如图所示，是一个正方体的平面展开图，每个面内都标注了字母，相对两个面所表示的整式都相等． (1)的相对面是_________； (2)已知．求的值，其中．甲同学把错抄成，但他计算的结果也是正确的，这是怎么回事呢？ 【答案】(1) (2)只要没有抄错，结果就是正确的 【分析】本题主要考查了小正方体的展开图、整式的加减运算、合并同类项法则，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则，通过化简判断代数式的值与变量的关系是解题的关键． （1）根据正方体的展开图特征求解即可； （2）先将多项式代入，再通过去括号、合并同类项化简表达式，观察化简结果是否含字母，以此解释抄错的值但结果仍正确的原因． 【详解】（1）解：由图可得的相对面是， 故答案为：； （2）解： ， 当时 原式， 因为多项式化简后的结果为，不含字母，故原多项式的值与的取值无关． 因此，只要没有抄错，结果就是正确的． 21．已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，且互为倒数，数在数轴上对应的点到原点的距离等于1，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了数轴、相反数、倒数、绝对值、有理数的乘方，整式的加减，代数式求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由数轴得出，从而得出，再根据绝对值的意义化简即可； （2）根据相反数、倒数的定义得到，，再根据数在数轴上对应的点到原点的距离等于1，得出，代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知： 原式 （2）解：，且 互为相反数，即： 互为倒数 数在数轴上对应点到原点的距离为 当时，原式； 当时，原式 综上所述，的值为或． 22．定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2) (3)任意一个“和倍数”都能被整除，理由如下： 设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∴ ， ∵，都是整数， ∴是整数， ∴是的倍数； 故任意一个“和倍数”都能被整除． 【分析】（1）计算是否为的倍即可判断； （2）根据“和倍数”的定义即可得出结果； （3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， 故三位数不是“和倍数”； （2）解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得； （3）略 23．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)请写出第5个等式：________； (2)请写出第n个等式（n是正整数）________； (3)根据上述规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律可得 ； （3）结合上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 则第4个等式为： ∴第5个等式为： 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第个等式为：． 故答案为：； （3）解：由上述规律可知， 原式 ． 24．【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 【答案】（1）12，14，4052，4054；（2）  ；（3）该图案中正方形有1014个 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题中所给图形规律进行求解即可； （2）由（1）可总结该图形类规律； （3）由（2）及题意可进行求解． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054； （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，； （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为． 25．【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)， (3) ， 理由：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴． 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先合并同类项，再根据“关于x的多项式的值与x的取值无关”得到，进而求解即可； （2）求出的值，根据“结果与x取值无关”得到，，进而求解即可； （3）设，则，，求出，根据“S为定值”得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，； （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $