第一章勾股定理单元检测卷2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理单元核心，通过工人固定木桩、长方形剪角等实际情境，设计从基础计算到动点探究的分层问题，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|勾股数判定（题1）、定理应用（题2）、实际建模（题3）|结合网格（题9）、图形变换（题8）考查空间观念| |填空题|5|逆定理应用（题11）、最短路径（题13）|以长方体表面爬行（题15）体现数学建模| |解答题|5|综合计算（题16）、动点探究（题20）|通过多结论判断（题10）提升推理能力|

第一章 勾股定理 单元检测卷 一、单选题 1．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 3．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 4．如图，在中，为边上的中线．若，则的面积为（    ） A．60 B．68 C．120 D．240 5．如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 6．如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 7．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，．则下列结论中正确的有：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为9，12，15，则三角形零件的面积是____． 12．已知a、b、c是的三边长，且满足关系，则的形状为__________． 13．如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则的最小值是___________． 14．如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则_______． 15．如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是_________． 三、解答题 16．在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 17．在中，，，． (1)求边和的长； (2)求的面积． 18．如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 19．如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 20．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 单元检测卷》参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、0.1，0.2，0.3不是正整数， 0.1，0.2，0.3不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【详解】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形的中线，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴； 故选C． 5．A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴ ， ∴的值为25． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 8．D 【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答． 【详解】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形， 运用勾股定理得： BC2=（15-3）2+（20-4）2=122+162=400， 所以BC=20． 则剪去的直角三角形的斜边长为20cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算． 9．B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 10．C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据角平分线性质即可对结论①进行判断； ②根据，，得，根据平分，得，进而得，再根据，得，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出，证明，得，进而得，设，则，在中，由勾股定理得，继而得，由此可对结论③进行判断；④过点G作于点H，根据角平分线性质得，由三角形面积公式得，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理求出，继而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴，故结论②正确； ③在中，，，， 由勾股定理得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴，故结论③错误； ④过点G作于点H，如图所示： ∵点G是平分线上的点，， ∴， ∴，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：C． 11．54 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求三角形的面积， 先说明这个三角形是直角三角形，再根据面积公式得出答案. 【详解】解：因为， 所以这个三角形是直角三角形. 因为， 所以这个三角形的面积. 故答案为：54. 12．等腰直角三角形 【分析】由非负数的性质得出，进而得出△ABC的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴△ABC的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理和等腰三角形的定义（至少有两边相等的三角形），直接利用非负数的性质，得出a，b，c之间的关系是解题关键． 13． 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于．此时有最小值，根据线段垂直平分线性质和两点之间线段最短，，的长度就是所求的的最小值，勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于，连接，如图所示： ，，， 则， 由两点之间线段最短，当四点共线时，有最小值，为的长， ， ， 则是直角三角形， 在中，由勾股定理得， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称的性质、两点之间线段最短、直角三角形判定、勾股定理等知识，根据题意，作出图形，利用轴对称的性质求出线段长是解题的关键． 14．/135度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得，，连接．证明，是等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：，， 取格点D，使得，， 连接， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 15． 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理等知识，在展开图中，根据勾股定理求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知，此时的路程最短， 在中，， ∴它爬行的最短路程是， 故答案为：． 16．(1)12 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键． （1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解； （2）由题意设，，由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：12； （2）解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，． 17．(1)， (2)24 【分析】本题考查了勾股定理，求三角形的面积，掌握勾股定理，求三角形的面积是解本题的关键． （1）设，，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，     ∵， ∴设， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，； （2）解：∵， ∴的面积． 18．(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）设，，然后利用勾股定理列式求出，进而可得答案． 【详解】（1）解：在中，； （2）∵， ∴设，， 在中，， ∴（负值已舍去）， ∴，． 19． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定的方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质推出，进而求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20．(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $