30.3 正多边形与圆 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕正多边形与圆展开，涵盖定义、对称性、性质及相关计算，通过“矩形、菱形是否为正多边形”等问题导入，逐步衔接对称性分析、外接内切圆性质及中心、半径等概念，构建知识支架。 其亮点是结合实例剖析（如正六边形地基计算）和能力训练，通过“连半径、作边心距”培养几何直观，证明题发展推理意识，实际问题强化应用意识，助力学生用数学眼光观察、思维推理，教师可提升教学效率。

正多边形与圆 问题1 什么叫做正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等； 注意 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 正多边形的对称性 一 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 归纳 正多边形的性质 二 O A B C D 问题1 以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？ E F G H EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC. GH是边AD、BC的垂直平分线， ∴OA=OD；OB=OC. ∴OA=OB=OC=OD. ∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆. O A B C D E F G H AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG. ∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆. O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心. 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 内切圆的半径叫作正多边形的边心距. 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 正多边 形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60 ° 120 ° 120 ° 90 ° 90 ° 90 ° 120 ° 60 ° 60 ° 正多边形的外角=中心角 例1：完成下面的表格： 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF： ①它的中心角等于 度 ； ② OC BC (填＞、＜或＝）； ③△OBC是 三角形； ④圆内接正六边形的面积是 △OBC面积的 倍. ⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________. C D O B E F A P 60 = 等边 6 正多边形的有关计算 三 例2：如图,把⊙O分成5段等弧,依次连接各等分点得到五边形ABCDE.求证：五边形ABCD是正五边形. ∴ AB=BC=CD=DE=EA； ∴∠A=∠B. · A B C D E O 同理可得：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E. ∴五边形ABCD是正五边形. ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵ AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ BCE=CDA=3AB ⌒ ⌒ ⌒ 例3：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2). C D O E F A P 抽象成 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积 在Rt△OMB中,OB＝4, MB＝ 4m O A B C D E F M r 解：过点O作OM⊥BC于M. 2.作边心距，构造直角三角形. 1.连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · 圆内接正多边形的辅助线 O 边心距r 边长一半 半径R C M 中心角一半 正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 1. 填表 2 1 2 8 4 2 2 12 2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 . 3 3.若正多边形的边心距与半径的比为1:2,则这个多边形的边数是____. 4.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,则选用的圆形铁片的直径最小要______cm. 5.如图,已知△ABC的周长是21,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D,且OD=4,则△ABC的面积是____. 3 42 A D C B O 7. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm. 也就是要找这个正方形外接圆的直径 6.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值） 8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4， 则半径为 ∴⊙O的面积为 ∴正方形的边长AB=2. A B C D E F P 9.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18． 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. G H K ∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长. ∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK. ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6. 10.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN. (1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON= ; 图③中∠MON= ; (2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系. A B C D E A B C D . A B C M N M N M N O O O 90 ° 72 ° 120 ° 图① 图② 图③ 正多边形的性质 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 $