30.3 正多边形与圆 课时1（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕正多边形与圆的核心知识，涵盖定义、与圆的关系、相关概念（中心、半径等）及计算公式，通过问题链（多边形外接圆内切圆、正多边形特殊性）和生活实例导入，衔接三角形知识，搭建学习支架。 其亮点是知识体系系统，分层练习结合现实案例（如延安宝塔塔基面积计算），易错点总结到位。以数学眼光观察生活中的正多边形，数学思维推理性质（如正六边形边长等于半径），数学语言表达公式与计算，助力学生巩固知识提升能力，为教师提供丰富教学资源。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 课时1 2026年8月3日 人教版九年级数学30.3 正多边形与圆（第1课时）同步练习题 一、知识梳理（课前回顾） 1. 正多边形定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。正多边形必须同时满足边相等、角相等两个条件，缺一不可。 2. 正多边形与圆的关系：把一个圆n等分（n≥3，n为整数），依次连接各分点，可作出这个圆的内接正n边形；这个圆叫做正多边形的外接圆，正多边形是圆的内接多边形。 3. 核心相关概念：①正多边形的中心：外接圆的圆心；②正多边形的半径：外接圆的半径；③边心距：中心到正多边形任意一边的距离，也是正多边形内切圆半径；④中心角：正多边形每一条边所对的外接圆圆心角。 4. 基础计算公式：①正n边形中心角度数：$$\frac{360^\circ}{n}$$；②正n边形每个内角度数：$$\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}$$；③正n边形每个外角度数恒为$$\frac{360^\circ}{n}$$；④正多边形边长、半径、边心距可构成直角三角形，结合勾股定理可相互求解。 5. 基础性质：正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；偶数边正多边形是中心对称图形，奇数边正多边形仅为轴对称图形。 二、基础巩固练习题（选择+填空，共48分） 选择题（每题6分，共24分） 1. 下列多边形中，一定是正多边形的是（） A. 各边相等的四边形 B. 各角相等的四边形 C. 正方形 D. 长方形 解析：正多边形需边、角均相等。菱形四边相等但内角不等，矩形四角相等但边长不等，只有正方形边角均相等，故选C。 2. 正八边形的中心角的度数为（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：正n边形中心角=$$\frac{360^\circ}{n}$$，$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$$，故选B。 3. 下列关于正多边形与圆的说法错误的是（） A. 正多边形的外接圆圆心就是它的中心 B. 正多边形的边心距是外接圆半径 C. 正五边形的每条边所对的中心角相等 D. 任意正多边形都有唯一的外接圆和内切圆 解析：边心距是中心到边的距离（内切圆半径），外接圆半径是中心到顶点的距离，二者不相等，B错误。 4. 正六边形的对称轴条数为（） A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 无数条 解析：正n边形有n条对称轴，正六边形有6条对称轴，故选C。 填空题（每题6分，共24分） 1. 正十边形的中心角度数为________，每个外角的度数为________。 2. 一个正多边形的中心角为60°，则这个正多边形的边数为________。 3. 正六边形的半径为5，则它的边长为________。 4. 正十二边形的每个内角的度数为________。 三、能力提升解答题（共52分） 9.（16分）已知⊙O的半径为6，求它的内接正三角形的中心角、边长和边心距。 10.（18分）求证：圆内接正六边形的边长等于该圆的半径，并利用结论求半径为8的圆内接正六边形的周长和面积。 11.（18分）一个正多边形的每个内角为144°，求：（1）该正多边形的边数；（2）它的中心角度数；（3）判断该正多边形的对称性。 四、参考答案与详细解析 选择题答案 1.C 2.B 3.B 4.C 填空题答案 5. 36°，36°（解析：$$360^\circ\div10=36^\circ$$，正多边形外角与中心角度数相等） 6. 6（解析：$$n=360^\circ\div60^\circ=6$$） 7. 5（解析：正六边形半径与边长相等） 8. 150°（解析：$$(12-2)\times180^\circ\div12=150^\circ$$） 解答题解析 9. 解：正三角形边数n=3，中心角$$=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$$； 连接圆心与两个顶点，构造等腰三角形，拆分两个直角三角形， 边长：$$2\times6\times\sin60^\circ=6\sqrt{3}$$， 边心距：$$6\times\cos60^\circ=3$$； 综上，中心角120°，边长$$6\sqrt{3}$$，边心距3。 10. 证明与求解：连接正六边形相邻顶点与圆心，所得圆心角为$$60^\circ$$，半径相等，因此圆心三角形为等边三角形，边长等于半径； 半径为8时，正六边形边长为8，周长$$=6\times8=48$$； 面积可拆分为6个全等等边三角形，单个面积$$16\sqrt{3}$$，总面积$$96\sqrt{3}$$。 11. 解：（1）设边数为n，$$\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}=144^\circ$$，解得n=10，为正十边形； （2）中心角$$=360^\circ\div10=36^\circ$$； （3）正十边形是轴对称图形，有10条对称轴，同时是中心对称图形。 五、易错点总结 1. 概念混淆：混淆正多边形半径（外接圆半径）与边心距（内切圆半径），计算边长时误用数据。 2. 公式混淆：记错中心角、内角、外角公式，牢记外角和恒为360°，正多边形外角=中心角。 3. 特殊图形性质记错：正六边形边长等于半径，正三角形、正方形无此性质，容易混淆出错。 4. 对称性判断失误：奇数边正多边形仅轴对称，无中心对称，偶数边正多边形兼具两种对称性。 （全文1212字） 问题1：我们知道，三角形有外接圆和内切圆. 多边形是否有外接圆和内切圆呢？ 对于一般的多边形，容易知道，不一定有圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切. 问题2：对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢？ 思考：什么样的多边形叫作正多边形？ 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 注意：两个条件缺一不可. 如菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以不能说它们一定是正多边形. 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案（如图）. 你还能举出一些这样的例子吗？ 正多边形和圆的关系非常密切. 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形. 这个圆就是这个正多边形的外接圆； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形. 这个圆就是这个正多边形的内切圆. 下面以圆的内接正五边形为例进行证明. 如图，把  分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE. 3 同理 . 又 五边形 ABCDE 的顶点都在  上 ∴ 五边形 ABCDE 是 的内接正五边形，是正五边形 ABCDE 的外接圆. 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心， 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距（如图 ）. 1. 返回 正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 C 举一反三 8 返回 2. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P是 上一点(点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为(　　) A．45° B．36° C．35° D．30° B 举一反三 边心距 O · 弦心距 边心距 弦心距 区别 边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离. 弦心距是圆心到圆中某一条弦的距离. 联系 边心距也可以看作正多边形的外接圆的圆心到正多边形的边 (即外接圆的弦) 的距离，即边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距. 辨析 边心距与弦心距的区别与联系 跟踪训练 如图所示，△AOB 是正三角形，以点 O 为圆心，OA 为半径作 ，直径 FC // AB，AO，BO 的延长线交  于点 D，E. 求证：六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形. 证明：∵ △AOB 是正三角形， ∴ ，OB = OA， ∴ 点 B 在  上. ∵ FC // AB，∴ ∠FOA=∠OAB=60°，∠BOC=∠OBA=60°， ∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°， ∴ ， ∴ 六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形. 思考：正 n 边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 正 n 边形的一个内角的度数是 一个外角的度数是 一个中心角的度数是 ， 正多边形中心角与外角相等. · 教材延伸 正多边形的对称性 1. 正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心； 当 n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 2. 正 n 边形是旋转对称图形，最小旋转角为  . · 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一座八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形（如图）.求塔基的面积（结果保留小数点后一位）. 例1 · A B F E O G H C D P 先求出一个三角形的面积. 解：如图，连接 OA，OB，作 ，垂足为 P. ∵ 八边形 ABCDEFGH 是半径为 6 m 的正八边形， ∴ OA=OB=6 m ， 45°. 又 △APO 为直角三角形， ∴ ∠OAP=∠AOB. ∴ AP=OP. 在 Rt△APO 中，由勾股定理，得 . ∴ APOA m. 因此，塔基的面积 S8OB×AP101.8 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一座八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形（如图）.求塔基的面积（结果保留小数点后一位）. 例1 · A B F E O G H C D P 返回 3. [济宁中考]如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为(　　) A．1 B．2 D 举一反三 返回 4. [雅安中考]如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O.则△OAB的面积为(　　) B 举一反三 跟踪训练1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC，求 △ABC 的中心角、半径、边心距、面积. 解：如图所示，过点A作 AD⊥BC 于点D，过点B作 BE⊥AC 于点E，AD，BE 交于点O，连接CO. 由题意得 BD=CD=2，AE=EC=2， 即 AD 垂直平分 BC，BE 垂直平分 AC， ∴ CO=BO，AO=CO，即 AO=CO=BO， ∴ O为等边三角形ABC的中心. ∴ ∠BOC=2∠BAC，， ∴ △ABC 的中心角 ∠BOC. ∵ OB=OC，∴ ∠OBC=∠OCB. 跟踪训练1 已知边长为 4 的等边三角形 ABC，求 △ABC 的中心角、半径、边心距、面积. 设 OD=x，则 BO=2x. 在 Rt  中，根据勾股定理,得 ， ∴ 等边三角形  的边心距为 ，半径为 . ∴ 边长为 a 的正三角形的面积是 . 特殊正多边形的有关结论 1.正六边形的边长等于其外接圆的半径； 2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍； 3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍. 跟踪训练 2 司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A~H代表八个方位. 如图，BH与 DG交于点P，则点P位于点D的（ ） D A.南偏西75°方向 B.北偏东75°方向 C.南偏西67.5°方向 D.北偏东67.5°方向 [镇江中考]如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝________． 5. 返回 10 举一反三 如图，正三角形ABC外接圆⊙O的半径为2，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积． 返回 6. 解：如图，连接OB，OA，延长AO交BC于点D. ∵正三角形ABC的外接圆是⊙O， 举一反三 返回 举一反三 7. 如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC.甲、乙两人的作法分别是： 对于甲、乙两人的作法，判断正确的是(　　) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 返回 A 举一反三 返回 8. 如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求． 举一反三 返回 9. [呼和浩特中考]如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为(　　) A．26° B．27° C．28° D．30° B 举一反三 27 正多边形与圆 正多边形与圆的关系 正多边形的有关概念 正多边形的性质 正多边形的外接圆和内切圆 各边相等，各角相等. 所有的正多边形都是轴对称图形 若有偶数条边，还是中心对称图形 正n边形的有关计算 中心 半径 中心角 边心距 内角 中心角、外角 半径（）、边长（）、边心距（）之间的关系 周长 面积 课堂小结 谢谢观看 THANKS C． D． A．4 B．4 C．6 D．6 ∴易得AD⊥BC，BD＝CD＝BC， ∠OBD＝∠ABC＝×60°＝30°， ∴正三角形ABC的边心距OD＝OB＝×2＝1. 由勾股定理得BD＝＝， ∴正三角形ABC的边长BC＝2BD＝2 ， ∴正三角形ABC的周长为3BC＝3×2 ＝6 . ∵AD＝AO＋OD＝2＋1＝3， ∴正三角形ABC的面积为BC·AD＝×2 ×3＝3 . $