精品解析：吉林榆树市八号镇中学等校2026-2027学年度第一学期学情自测九年级数学试题

2026－2027学年度第一学期开学考试九年级数学 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 要使分式有意义，的取值应满足( ) A. B. C. 或 D. 且 2. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点在y轴的负半轴上，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 分式和的最简公分母是__________． 10. 若分式的值为0，则的值为_____． 11. 若直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为________． 12. 在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在第二象限，且，反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为______． 13. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 14. 如图在平面直角坐标系中，已知点，点，点B，点C分别在x轴上，且点B在点C左侧，连接．若，则的最小值为______． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知函数． （1）若该函数为正比例函数，求m的值； （2）若函数图象不经过第三象限，求m的取值范围． 18. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 19. 如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）若，，，求四边形的面积． 20. 类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． （1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． （2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是等邻边四边形． 21. 如图，在中，点D、E分别为边、的中点，点H在的延长线上，连接，点G、F分别为、的中点，连接、、．求证：四边形为平行四边形． 22. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 （1）【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． （2）【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 24. 综合与探究 在《第二十一章 四边形》学习过程中，我们积累了四边形的研究经验，请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是 （填序号）． ①平行四边形； ②矩形； ③菱形； ④正方形． （2）【特例探究】如图1，在邻等对补四边形中，，．求证：； （3）如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为邻等对补四边形． （4）【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期开学考试九年级数学 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 要使分式有意义，的取值应满足( ) A. B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵分式有意义需分母不为0． ∴． ∴且． ∴且． 2. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 3. 点在y轴的负半轴上，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据y轴上点横坐标为0、负半轴上点纵坐标小于0这两个条件列方程和不等式求解． 【详解】解：∵点A在y轴的负半轴上， ∴且， 解，得或， 解，得， ∴． 4. 已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标的值，联立两直线求出交点坐标，即可得答案． 【详解】解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， ∴的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和解析式得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 5. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象与k，b的关系是解题关键． 根据一次函数解析式中k，b的符号，结合一次函数的性质判断图象经过的象限，进而确定不经过的象限． 【详解】解：一次函数中，，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 6. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 8. 如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，， 设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 分式和的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母即可． 【详解】解：分母和的系数的最小公倍数是6，字母a的最高次幂是，字母b的最高次幂是，因此最简公分母是． 故答案为：． 10. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，先求出平移后的直线解析式为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的直线解析式为， 把代入中得：， ∴， 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在第二象限，且，反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，由，，可得，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，证得，根据相似三角形的性质得，设，求出，，利用反比例函数上点的坐标特征解决问题即可，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：∵，， ， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N， ，， ， ， ∴， ， 设， ，， ， ， 点B恰好在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 13. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可． 【详解】解：根据k的几何意义，得， ∴． ∵图象在第二、四象限，即， ∴故． 14. 如图在平面直角坐标系中，已知点，点，点B，点C分别在x轴上，且点B在点C左侧，连接．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把沿x轴向右平移，使点B与点C重合，点A平移至点E的位置，作点E关于x轴的对称点F，连接，，可得，当点D，C，F三点共线时，最小，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，把沿x轴向右平移，使点B与点C重合，点A平移至点E的位置，作点E关于x轴的对称点F，连接，， ∴， ∴， ∴当点D，C，F三点共线时，最小，最小值为的长， ∵点，， ∴点， ∴点， ∵点， ∴， 即的最小值为． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时， 原式． 17. 已知函数． （1）若该函数为正比例函数，求m的值； （2）若函数图象不经过第三象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据是正比例函数，得出，，即可作答． （2）根据函数不经过第三象限，得，再解得m的取值范围，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：； 18. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 【答案】购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元 【解析】 【分析】本题考查分式解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程求解是解决问题的关键． 设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元．由用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是，用290元购买“乐融融”吉祥物数量是，然后根据题意列出分式方程，求解后验根即可得到答案． 【详解】解：设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元． 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元）， 答：购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元． 19. 如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：点是的中点， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 在和中，， ， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即，， 四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可证明结论成立； （2）证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立； （3）过点作于，过点作于，根据平行四边形的对边相等可知，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可得，，根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作于，过点作于， 四边形和四边形是平行四边形，，，， ，，，， （两直线平行，同位角相等）， ，， 四边形的面积， 即四边形的面积为． 20. 类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． （1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． （2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是等邻边四边形． 【答案】（1）解：如图，四边形即为所求 （2）解：如图，连接，     ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是“等邻边四边形” 【解析】 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可； （2）证明得，可说明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，点D、E分别为边、的中点，点H在的延长线上，连接，点G、F分别为、的中点，连接、、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：∵点D、E分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵点G、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据中位线定理即可求证． 【详解】略 22. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 （1）【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． （2）【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 【答案】（1）， （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【小问1详解】 解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为； ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， 解得， 答：电动汽车在服务区充电分钟． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），y1=－2x＋2 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． 【小问1详解】 解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 24. 综合与探究 在《第二十一章 四边形》学习过程中，我们积累了四边形的研究经验，请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是 （填序号）． ①平行四边形； ②矩形； ③菱形； ④正方形． （2）【特例探究】如图1，在邻等对补四边形中，，．求证：； （3）如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为邻等对补四边形． （4）【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，直接写出的度数． 【答案】（1）④ （2） 证明：邻等对补四边形， ， ， ， ， ， ； （3） 证明：在四边形中，， 如图，在上截取，连接， 平分， ， ， ， , ，， ， ， ， 四边形为邻等对补四边形； （4）的度数为或或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义逐项分析即可； （2）证明即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，推出，，即可得到结论； （4）分四种情况：①当，时；②当时；③当时；④当时，；分别求解即可． 【小问1详解】 解：①平行四边形邻边不一定不相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义； ②矩形邻边不一定不相等，对角互补，不满足邻等对补四边形的定义； ③菱形邻边相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义； ④正方形邻边相等，对角互补，满足邻等对补四边形的定义； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：在中，，，， 四边形是邻等对补四边形， ①当，时，如图， ，，； ②当时，如图， ，，，，，； ③当时，同②； ④当时，，如图， ； 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $