精品解析：吉林省长春市榆树市2025-2026学年上学期开学五校联考九年级数学试题

吉林省长春市榆树市2025-2026学年度第一学期开学五校联考九年级数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的形式判断即可． 【详解】解： A、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意； B、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意； C、是分式，故此选项正确，符合题意； D、是多项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式，解题关键是熟记分式是的形式， A、B都是整式，B中含有字母． 2. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过一、二、三象限，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是解答的关键． 根据一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， 故只需写出的任意一个数即可， 选项B符合题意； 故选：B． 3. 下列各数中，能使有意义的是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：若有意义，则x-5≥0， 所以x≥5， 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 4. 某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（    ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了选择合适的统计量，根据题意要了解成绩的波动情况，需选择反映数据离散程度的统计量． 【详解】解：老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的方差． 故选：D． 5. 如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作一条线段等于已知线段， 根据平行四边形的性质得，再根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 根据题意，得， ∴． 故选：A． 6. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即， 则， 故选：D． 7. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质． 过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积减少了， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，若点P是矩形内部一点，连结、、、，则与的面积的和为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、点的坐标、熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．过点作的平行线，分别交轴于点，交于点，先求出，再证出四边形是矩形，则可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交轴于点，交于点， ∵四边形是矩形，且点的坐标为， ∴，，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴与的面积的和为 ， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 一箱梨的售价为元，箱子和梨的总质量为，箱子的质量为，则每千克梨的售价为________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键得到每千克梨的售价的等量关系．每千克梨的售价总售价（总质量箱子的质量），把相关数值代入即可求解． 【详解】解：梨总质量为：． 每千克梨的售价元． 故答案为： 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题关键．由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上，再结合反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：点和点均在反比例函数的图象上 由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上， ， 反比例函数图象在二、四象限，且随的增大而增大， ， ， ， 故答案为：． 12. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的性质，根据关于y轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解题即可． 【详解】解：点P的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，点P在函数的图象上，且横坐标为2．将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得点．若点在函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的平移及待定系数法求反比例函数的解析式，平面直角坐标平面内，点的平移与其坐标变化的关系是：“上加下减，右加左减”，即点向上(或下)平移a个单位，则纵坐标加a(或减a)；点向右(或左)平移b个单位，则横坐标加b(或减b). 由点P在反比例函数的图象上，且横坐标为2，可得点P的坐标，平移后得到的坐标，由的坐标即可求解． 【详解】解：由于P的横坐标为2，则点P的纵坐标为， 则P点坐标为； 将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点． 设经过点的反比例函数图象的解析式是， 把点代入， 得：． 故答案为： 三、解答题（共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得解； （2）利用因式分解法求解可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ∴，． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算； （1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先化简二次根式，再合并即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把分式中分子、分母可进行因式分解的进行因式分解，再除法化为乘法，然后约分，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当液体密度时，直接写出浸在液体中的高度的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）根据反比例函数时，在对应区间内函数值随自变量增大而减小的性质，结合，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 因为图象过，将，代入，得 ， 解得， 所以与的函数关系式为。 【小问2详解】 解：由可知，， 在时，随的增大而减小， 当时，； 当增大时，减小且； 所以当时， ． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中以线段为边画一个面积为6的平行四边形； （2）在图②中以线段为边画一个面积为12的菱形； （3）在图③中以线段为边画一个正方形. 【答案】（1） 解：如图①中，四边形即为所求； ； （2） 解：如图②中，四边形即为所求； ； （3） 解：如图③中，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，涉及平行四边形，菱形，正方形的判定． （1）根据平行四边形的判定以及题目要求画出图形即可； （2）根据菱形的判定以及题目要求画出图形即可； （3）根据正方形的判定画出图形即可． 【小问1详解】 理由：由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形，且面积为； ∴四边形即为所求； 【小问2详解】 由作图可得：， ∴四边形为菱形，面积为， ∴四边形即为所求； 【小问3详解】 由作图可得：， 连接， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； ∴四边形即为所求. 20. 某数学课外小组开展数学“闯关”游戏（游戏一共10关），根据活动结果绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图． （1）数学课外小组的总人数为______人，______，请补充完整条形统计图； （2）写出闯关结果的众数； （3）再加入名同学闯关，已知这名同学的闯关结果均大于7关，若这名同学加入后闯关结果的中位数与原闯关结果的中位数相等，则最多是______名． 【答案】（1），， （2）7关 （3）5 【解析】 【分析】此题考查了中位数、众数、扇形统计图和条形统计图的信息关联等知识． （1）用5关的人数除以对应的百分比即可得到总人数，用8关的人数除以总人数即可得到a的值，求出9关的人数，补全统计图即可； （2）根据众数的定义进行解答即可； （3）求出原中位数为，再新加入名同学闯关后，若中位数仍然为7，需最右侧的7排第13位，根据中位数定义得到，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即数学课外小组的总人数为人， ， 即， 9关的人数为（人），补全条形统计图如下： 故答案为：，， 【小问2详解】 闯关结果数最多的是7关，共6人，故闯关结果的众数为7关； 【小问3详解】 原闯关成绩分别为：5，5，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，中位数为， 再新加入名同学闯关后，若中位数仍然为7，需最右侧的7排第13位， 这时取最大值为5． 21. 如图，在中，、是上的两点且，连结、求证： 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出由平行四边形的性质推出，得到，由，得到，即可证明，推出 【详解】略 22. 已知：在四边形中，是边的中点，、互相平分并交于点O，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：连接， ∵、互相平分并交于点O， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据、互相平分并交于点O，证明四边形是平行四边形，是解答本题的关键． 连接，四边形是平行四边形，所以，，进而证得，又，所以四边形是平行四边形． 【详解】略 23. 列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 【答案】30米 【解析】 【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：引进新设备前工程队每天建造道路30米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 24. 如图，在中，已知E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，求证：； 【答案】 证明；∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得，根据已知可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 25. 在平面直角坐标系中，对于点和点．给出如下定义：若，则称点为点的伴随点．例如：点的伴随点为点． （1）若点的伴随点在双曲线上，则的值为 ； （2）已知点在直线上，点是点的伴随点，求的值． （3）若点在直线上，则点的伴随点也在直线上，求点所在直线对应的函数表达式． （4）已知点，的坐标分别为、，连接，若点在直线上，直接写出点的伴随点在线段上时的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握新定义及待定系数法求函数解析式是关键． （）按照新定义求出，然后待定系数法即可求解； （）按照新定义求出，然后代入计算即可； （）根据点在直线上，则，根据新定义得到可知，即，设所在直线解析式为，代入点坐标得，根据等式对于所有都成立可得，继而得到直线解析式； （）由坐标可得线段解析式为，根据新定义，由点在线段上可得的取值范围，再利用条件得到，代入的取值范围，然后结合即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：根据新定义可知点的伴随点， ∵点在双曲线上， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点是点的伴随点， ∴， ∵点在直线上， ∴； 【小问3详解】 解：∵点在直线上， ∴， 由新定义可知，即， 设所在直线解析式为，代入点得： ， ∴，， ∴，， ∴所在直线解析式为； 【小问4详解】 解：∵点，的坐标分别为、， ∴线段解析式为， 由新定义可知， ∵点在线段上， ∴，， 解得，， ∵点在直线上， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∵， ∴的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市榆树市2025-2026学年度第一学期开学五校联考九年级数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过一、二、三象限，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 下列各数中，能使有意义的是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 4. 某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（    ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，若点P是矩形内部一点，连结、、、，则与的面积的和为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 无法确定 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 一箱梨的售价为元，箱子和梨的总质量为，箱子的质量为，则每千克梨的售价为________元． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 11. 已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则_____0．（填“”“”或“”） 12. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 13. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 14. 如图，点P在函数的图象上，且横坐标为2．将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得点．若点在函数的图象上，则k的值为______． 三、解答题（共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当液体密度时，直接写出浸在液体中的高度的取值范围． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中以线段为边画一个面积为6的平行四边形； （2）在图②中以线段为边画一个面积为12的菱形； （3）在图③中以线段为边画一个正方形. 20. 某数学课外小组开展数学“闯关”游戏（游戏一共10关），根据活动结果绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图． （1）数学课外小组的总人数为______人，______，请补充完整条形统计图； （2）写出闯关结果的众数； （3）再加入名同学闯关，已知这名同学的闯关结果均大于7关，若这名同学加入后闯关结果的中位数与原闯关结果的中位数相等，则最多是______名． 21. 如图，在中，、是上的两点且，连结、求证： 22. 已知：在四边形中，是边的中点，、互相平分并交于点O，求证：四边形是平行四边形． 23. 列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 24. 如图，在中，已知E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，求证：； 25. 在平面直角坐标系中，对于点和点．给出如下定义：若，则称点为点的伴随点．例如：点的伴随点为点． （1）若点的伴随点在双曲线上，则的值为 ； （2）已知点在直线上，点是点的伴随点，求的值． （3）若点在直线上，则点的伴随点也在直线上，求点所在直线对应的函数表达式． （4）已知点，的坐标分别为、，连接，若点在直线上，直接写出点的伴随点在线段上时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $