2.1 等式性质与不等式性质（第2课时：运用等式与不等式性质证明、求代数式的范围） 同步练习题 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质（第2课时）同步练习，以“例题示范-基础巩固”分层设计，通过命题判断与范围求解实现从性质应用到逻辑推理的知识进阶，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|等式与不等式性质综合应用（命题真假判断、代数式范围求解）|6个真假命题辨析+2类范围求解例题，强化逻辑推理与数学建模意识| |基础夯实|等式与不等式性质基础应用（变形判断、大小比较、简单范围计算）|单选（8题）、多选（3题）、填空（3题）结合，适配新授课基础目标，提升运算能力与性质理解|

2.1 等式性质与不等式性质 （第2课时：运用等式与不等式性质证明、求代数式的范围） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则； (5)若，则； (6)若，则． 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 (5)真命题 (6)假命题 【分析】由不等式的基本性质逐个判断即可. 【详解】（1）若，则由不等式的性质得，所以是真命题； （2）若，则由不等式的性质得，所以是真命题； （3）若，，假设，则，所以是假命题； （4）若，则a、b同号，即，所以是真命题； （5）若，则，且，即，所以是真命题； （6）若，当时，为真命题，当时，不一定成立，所以是假命题； 【例2】已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范围； （2）利用待定系数法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为所以又因为，所以； 因为所以，又因为，所以; （2）令， 则，解得， 又因为，,所以， 所以. 【基础夯实】 一、单选题 1．下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 2．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 3．已知a，b，c，，则下列命题中一定成立的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用不等式的性质或通过反例判断选项的正误即可． 【详解】若，，，则不成立，故错误， 若，则，则正确， 若，，，；则不成立，故错误， 若，，则不成立，故错误 故选：． 4．已知，且，那么a，b，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用作差法比较它们的大小得解. 【详解】； ； . 故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，则或或， 所以，是的既不充分也不必要条件，故A不符合题意； 对于B，，则， 所以，是的充要条件，故B不符合题意； 对于C，，则， 所以，是的一个充分不必要条件，故C符合题意； 对于D，当时，符合， 所以是的既不充分也不必要条件，故D不符合题意． 6．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 7．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 8．已知，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质先得，与相加求解. 【详解】因为则， 又，两式相加得， 所以. 故选：D 二、多选题 9．若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 10．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质判断ACD；举反例判断B. 【详解】若，则， 不等式两边同乘以，得，A正确； 当时，满足，但，B错误； 若，，两式相加得， 所以，C正确； ，，D正确. 故选：ACD 11．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过线性组合法，将都用表示，从而利用不等式性质求解范围，即可判断各项. 【详解】由题意，因为，， 所以，所以，故A正确； ，因为，， 所以，所以，故B错误； 设， 则，解得，则， 因为， 所以，即，故C正确； 设， 则，解得，则， 因为， 所以，即，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 12．能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为___________，___________． 【答案】 【分析】由不等式的性质，若，则，可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可 【详解】由不等式的性质，若，则， 故可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可， 比如：或者. 故答案为：①；②（不唯一）. 13．设为实数，且，则下列不等式正确的有__________． ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】∵， ∴，故①正确； 取,,,此时，,故②错误；③错误；故④错误； 故答案为：①． 14．设，，则的取值范围是_____，的取值范围是____. 【答案】 【分析】利用不等式的性质求目标式的范围即可. 【详解】由，，同向不等式的可加性，得； 由，，同向同正不等式的可乘性，得； 故答案为： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 （第2课时：运用等式与不等式性质证明、求代数式的范围） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则； (5)若，则； (6)若，则． 【例2】已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 【基础夯实】 一、单选题 1．下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c，，则下列命题中一定成立的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．已知，且，那么a，b，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 11．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为___________，___________． 13．设为实数，且，则下列不等式正确的有__________． ①；②；③；④． 14．设，，则的取值范围是_____，的取值范围是____. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $