2.1　第2课时　等式性质与不等式性质 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 聚焦等式与不等式性质，通过基础判断、综合应用及错误分析三阶设计，强化推理能力与应用意识，实现从概念理解到问题解决的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一性质应用|单选（1-4题）直接考查大小比较、性质判断，巩固概念| |提升层|综合性质应用|多选（5-6题）、填空（7-9题）涉及多性质结合，培养推理能力| |拓展层|复杂问题解决|解答题（10-16题）含证明、取值范围及纠错分析，提升应用意识|

第2课时　等式性质与不等式性质 1.如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） A.＜　　　　　　B.＜ C.a2＜b2 D.｜a｜＞｜b｜ 2.设a＜b＜0，则下列不等式中不一定成立的是（　　） A.＞ B.ac＜bc C.｜a｜＞－b D.＞ 3.设a，b∈R，若a＋｜b｜＜0，则下列不等式中正确的是（　　） A.a－b＞0 B.a3＋b3＞0 C.a2－b2＜0 D.a＋b＜0 4.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是（　　） A.a＞b B.b＞a C.a＞m D.m＞b 5.（多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（　　） A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd B.若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0 C.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D.若a＞b，c＞d＞0，则＞ 6.（多选）若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的有（　　） A.x－1＞1－y B.x－1＞y－1 C.x－y＞1－y D.1－x＞y－x 7.不等式a＞b和＞同时成立的条件是　　　　. 8.设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　　　　. 9.若－10＜a＜b＜8，则a＋b的取值范围是　　　　，｜a｜＋b的取值范围是　　　　. 10.若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 11.若a，b，c∈R且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（　　） A.ac2＞bc2 B.a2＞b2＞c2 C.＜ D.a＋b＞2c 12.（多选）下列命题中正确的是（　　） A.∃a，b∈R，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0 B.∀a∈R，∃x∈R，使得ax＞2 C.ab≠0是a2＋b2≠0的充要条件 D.若a≥b＞0，则≥ 13.已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围为　　　　. 14.已知：3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围： （1）a；（2）a－b；（3）. 15.已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成　　　　个正确命题. 16.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因. 甲：因为－6＜a＜8，－4＜b＜2，所以－2＜a－b＜6. 乙：因为2＜b＜3，所以＜＜，又因为－6＜a＜8，所以－2＜＜4. 丙：因为2＜a－b＜4，所以－4＜b－a＜－2.又因为－2＜a＋b＜2，所以0＜a＜3，－3＜b＜0，所以－3＜a＋b＜3. 第2课时　等式性质与不等式性质 1.A　∵a＜0，b＞0，∴＜0，＞0，∴＜. 2.B　对于A，因为a＜b＜0，所以＞0，将a＜b两边同乘，则＞，故选项A中不等式一定成立；对于B，只有当c＞0时，选项B中不等式成立，其余情况不成立，则选项B中不等式不一定成立；对于C，｜a｜＝－a＞－b，则选项C中不等式一定成立；对于D，由－a＞－b＞0，可得＞，则选项D中不等式一定成立.故选B. 3.D　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b＜0，a3＋b3＜0，a2－b2＞0，a＋b＝－1＜0.故A、B、C错误，D正确. 4.B　＞⇒－＞0⇒－＝＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a. 5.BC　若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故A错；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B对；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C对；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错.故选B、C. 6.BCD　x－1－（1－y）＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－（1－y）＜0，故选项A中不等式不一定成立；x－1－（y－1）＝x－y＞0，故选项B中不等式一定成立；x－y－（1－y）＝x－1＞0，故选项C中不等式一定成立；1－x－（y－x）＝1－y＞0，故选项D中不等式一定成立.故选B、C、D. 7.a＞0＞b　解析：若a，b同号，则a＞b⇒＜，故需a，b异号且a＞b. 8.1，0，－1（答案不唯一）　解析：若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，则取a＝1，b＝0，c＝－1，则满足条件ac＜0，但ab＜ac不成立. 9.－20＜a＋b＜16　0＜｜a｜＋b＜18 解析：①当a≥0时，0≤a＜8，0＜b＜8，故0＜a＋b＜16，而｜a｜＋b＝a＋b，所以0＜｜a｜＋b＜16. ②当a＜0时，－10＜a＜0，故0＜｜a｜＝－a＜10，又－10＜b＜8，所以－20＜a＋b＜8，－10＜｜a｜＋b＜18，又a＜b，所以｜a｜＋b＞0，所以0＜｜a｜＋b＜18.综上，a＋b的取值范围是－20＜a＋b＜16，｜a｜＋b的取值范围是0＜｜a｜＋b＜18. 10.证明：因为bc－ad≥0，所以bc≥ad，所以bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0，所以＞0，两边同乘以得，≤. 11.D　对于A，当c2＝0时，可得ac2＝bc2，所以ac2＞bc2不一定成立；对于B，例如a＝1，b＝－2，c＝－3，此时a2＜b2＜c2，所以a2＞b2＞c2不一定成立；对于C，例如a＝1，b＝－2时，可得＞，所以＜不一定成立；对于D，由a＞c，b＞c，根据不等式的性质，可得a＋b＞2c，所以不等式a＋b＞2c一定成立.故选D. 12.AD　对于选项A，当a＝2，b＝－1时，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0，故A正确；对于选项B，当a＝0时，ax＞2不成立，故B错误；对于选项C，当ab≠0时，a2＋b2≠0成立；当a2＋b2≠0时，如a＝1，b＝0，此时ab＝0，故ab≠0不成立，即“ab≠0”是“a2＋b2≠0”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D，当a≥b＞0时，≥等价于a＋ab≥b＋ab，显然成立，所以D正确.故选A、D. 13.－≤a＋3b≤1　解析：设a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－2λ2）b，则解得由已知得－≤（a＋b）≤，－2≤－（a－2b）≤－.上面两式相加，得－≤a＋3b≤1. 14.解：（1）∵3＜a＋b＜4，0＜b＜1， ∴－1＜－b＜0， ∴2＜a＋b＋（－b）＜4，即2＜a＜4. ∴a的取值范围是{a｜2＜a＜4}. （2）∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0. 又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4. ∴a－b的取值范围是{a－b｜1＜a－b＜4}. （3）∵0＜b＜1，∴＞1， 又∵2＜a＜4，∴＞2. ∴的取值范围是{｜＞2}. 15.3　解析：①②⇒③，③①⇒②，②③⇒①.由②得＞0，又由③得bc－ad＞0，所以ab＞0⇒①.同理可证①②⇒③成立；③①⇒②成立.所以可以组成3个正确命题. 16.解：甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的. 乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在题中只知道－6＜a＜8，不明确a值的正负，故不能将＜＜与－6＜a＜8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘. 丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2＜a－b＜4与－2＜a＋b＜2两边相加得0＜a＜3，又将－4＜b－a＜－2与－2＜a＋b＜2两边相加得出－3＜b＜0，又将该式与0＜a＜3两边相加得出－3＜a＋b＜3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $