2.1 等式与不等式性质 题型训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以5类题型构建从概念表达到逻辑证明的分层训练，通过现实情境与抽象推理结合，强化不等式性质的理解与应用，适配新授课"基础+提升"需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|用不等式表示不等关系|结合装修预算、限速等现实情境，培养用数学语言描述现实世界的能力| |方法应用|做差法比较大小与性质辨析|通过数式比较与性质正误判断，发展运算能力与推理意识| |综合提升|取值范围求解与不等式证明|多步骤推理与证明题，提升逻辑推理与数学表达能力|

2.1等式与不等式性质 目录 题型01 用不等式表示不等关系 1 题型02 做差法比较大小 2 题型03 等式与不等式性质 4 题型04 由不等式性质求代数式取值范围 5 题型05 用不等式性质证明不等式 8 题型01 用不等式表示不等关系 1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 2. 一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 3. 限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 4. 完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元， 设木工人，瓦工人，可得总的工资为， 又因为现有工人工资预算元，故，化简可得. 5. 在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 题型02 做差法比较大小 6. 已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 7. 设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】C 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】由，所以. 故选：C 8. 若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 9. 已知，试比较的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以. 10. 比较大小：与； 【答案】（1）. （2）. 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. 题型03 等式与不等式性质 11. 下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 12. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 13. 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 14. 若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 15. 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 题型04 由不等式性质求代数式取值范围 16. 已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，依次分析即可判断. 【详解】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C 17. 已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围. 【详解】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. 18. （1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 19. 已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先将的每一项都乘以2，不等号方向不变，得到的范围，将的每一项都乘以3，不等号方向不变，得到的范围，再利用同向不等式具有可加性得到的范围； （2）先将的每一项都乘以3，不等号方向不变，得到的范围，将的每一项都乘以，不等号方向改变，得到的范围，再利用同向不等式具有可加性得到的范围； （3）利用正数不等式取倒数，不等号方向改变，使用求出的范围，利用同向正值不等式具有可乘性得到的范围. 【详解】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 20. （1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）；     （ii）与． （2）已知，，求的范围． 【答案】（1）（i），（ii），（2） 【分析】（1）利用作差法即可求解， （2）根据不等式的性质即可求解. 【详解】（1）（i）， 所以； （ii）， 故． （2）由于，则，又，故. 题型05 用不等式性质证明不等式 21. （1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）略 22. 证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明：，即， ，则. (2)证明：， ， ， 则， 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）略； （2）略. 23. （1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1） 由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2） 由，，得，即， 又，所以． 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）略 （2）略 24. （1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1） 因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2） 因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】（1）略 （2）略 25. 证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【答案】(1) 证明：因为， 又因为，所以，所以． (2) 证明：由 ， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 【分析】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式与不等式性质 目录 题型01 用不等式表示不等关系 1 题型02 做差法比较大小 2 题型03 等式与不等式性质 2 题型04 由不等式性质求代数式取值范围 3 题型05 用不等式性质证明不等式 3 题型01 用不等式表示不等关系 1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 2. 一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 3. 限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 4. 完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 5. 在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 题型02 做差法比较大小 6. 已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 7. 设，，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 8. 若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 9. 已知，试比较的大小. 10. 比较大小：与； 题型03 等式与不等式性质 11. 下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 12. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 13. 若，则（   ） A． B． C． D． 14. 若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 15. 下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 题型04 由不等式性质求代数式取值范围 16. 已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 17. 已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 18. （1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 19. 已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 20. （1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）；     （ii）与． （2）已知，，求的范围． 题型05 用不等式性质证明不等式 21. （1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 22. 证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 23. （1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 24. （1）已知，，求证：； （2） 已知，，求证：． 25. 证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $