精品解析：北京市汇文中学2025-2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题

北京市汇文中学2025-2026学年高一上学期12月阶段检测 数学试题 第一部分 选择题 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：D. 2. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“”不能推出“”； “”能推出“”， 所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】AC可举出反例；B选项，由不等式性质判断正确；D选项，作差法比较大小. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，，由不等式性质得，B正确； C选项，不妨设，此时满足，但，C错误； D选项，， 因为，所以，但不确定的正负，若，则， 若，则，若，则，D错误. 故选：B 4. 已知扇形的圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形面积公式求出答案. 【详解】设扇形的半径为cm，则， 则该扇形的面积为. 故选：C 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小即可. 【详解】因为单调递增，所以， 又因为，所以. 故选：A. 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 7. 近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（ ）（参考数据：） A. 305 B. 483 C. 717 D. 879 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程，再应用指对数转换计算求解. 【详解】因为臭氧含量与时间（单位：年）的关系为， 所以当臭氧含量为初始含量的时，得， 计算得，化简得， 所以. 故选：C. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是以2为周期周期函数 C. 在区间上单调递减 D. 若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A，定义在上的奇函数，则.令得出判定；对于选项B，要通过已知条件推导出函数的周期；对于选项C，根据函数的周期性和已知区间的单调性来判断指定区间的单调性；对于选项D，利用函数的对称性来确定方程两根的和. 【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，则. 由，取可得，故A错误； 对于B，因为是定义在上的奇函数，则， 又因，则. 用替换可得，故有 所以是以为一个周期的周期函数，故B错误； 对于C，已知在上单调递减，因是奇函数，故在上也单调递减，即在上单调递减. 由于的周期是，那么在上的单调性与上的单调性相同. 由可知的图象关于直线对称， 所以在上的单调性与上的单调性相反，即在上单调递增，所以在上单调递增，故C错误； 对于D，因的图象关于直线对称，且周期可取为，故的图象关于直线对称. 若关于的方程在区间上有两个实数根，， 根据函数图象的对称性可知，则，故D正确. 故选：D. 9. 已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设可得时，恒成立，故可求参数的取值范围. 【详解】因为时，，故需时，恒成立， 故即，所以的最大值是， 故选：A. 10. 悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（ ） A. B. 函数的值域 C. ，恒成立 D. 方程有且只有一个实根 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数的值域，故B正确； 对于C，因为， 即，故C错误； 对于D，， 令，函数为增函数，且， 而函数在上为增函数， 所以函数是增函数， 令， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又， 所以函数有唯一零点，且在上， 即方程有且只有一个实根，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得，故函数定义域为. 故答案为： 12. 已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出解析式，代入，求出，得到答案. 【详解】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明为假命题的一个的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性、周期性及任意角的定义求解即可. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 又为第一象限角， 取， 则，由为假命题，则， 令，，则，满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】由基本不等式直接进行求解，得到，再变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， ，故，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：， 15. 设，函数给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，存在最小值； ③若在区间上单调递增，则的取值范围是； ④设记两点之间的距离为，则存在负数，使得． 其中所有正确结论序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①代入解析式求函数值即可；②根据单调性分析最小值即可；③分和两种情况讨论；④通过特殊值的思路判断即可. 【详解】当时，，，故①正确； 当时，时，单调递减，时，单调递增， ，则，图象如上所示， 所以当时，不存在最小值，故②错； 当时，，解得， 当时，成立， 所以若在区间上单调递增，则的取值范围为，故③正确； 当时，取，， ， 因为，所以， 所以存在负数，使得，故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设集合． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）转化为的两个根分别为，2，且，由韦达定理得到，求出结果； （2）求出，利用补集和交集概念求出集合. 【小问1详解】 依题意，可知一元二次方程的两个根分别为，2，且． 由韦达定理，得， 解得，故． 【小问2详解】 由，可得， 所以． 由（1）知，， 所以或， 故或． 17. 设函数． （1）当时，求的值； （2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （3）当时，的最小值为3，求m的值． 【答案】（1）2 （2）在区间上的单调递增，证明见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）求出函数的解析式，进而求出的值； （2）利用函数单调性的定义证明单调性； （3）由（2）的单调性，可得，求出的值. 【小问1详解】 当时，， 所以. 【小问2详解】 在区间上的单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则， 因为，，所以， 所以，即， 所以，即，所以， 即在区间上的单调递增. 【小问3详解】 时，由（2）可得上单调递增， 所以， 所以. 18. 在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 （1）求的值； （2）求的值、 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据单位圆上的点的坐标特征列式计算求出，再根据角的定义计算即可； （2）先应用诱导公式化简，最后根据弦化切计算即可. 【小问1详解】 因为角的终边与单位圆交于点 所以解得． 因为，所以． 由三角函数的定义知，． 【小问2详解】 原式= 19. 设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定． （1）求的解析式及单调递增区间： （2）若在区间上的值域为，求的取值范围 条件①：的最小正周期为； 条件②：； 条件③：的图象关于直线对称． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件①可得，根据条件②可得，根据条件③知，，即可分三种情况求解唯一性得解， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 选条件①②： 由条件①知，， 所以，即． 由条件②知，． 因为，所以， 所以 令， 解得， 故的单调递增区间为 选条件①③： 由条件①知，， 所以，即． 由条件③知，，所以, 因为，所以，以下同选条件①②， 选条件②③： 由条件②知，． 因为，所以，即 由条件③知，， 所以，此时不唯一，不符合要求 【小问2详解】 因为，所以． 因为 且在区间上的值域为， 所以，解得， 故的取值范围是 20. 某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和． （1）求出S关于的函数解析式； （2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数） 【答案】（1）, （2）6 【解析】 【分析】（1）利于给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和. （2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可. 【小问1详解】 依题意，当时，，所以， 所以，， 则（万元），. 【小问2详解】 若， 不等式化为， 解得 又， 所以隔热层的厚度不能超过6厘米. 21. 设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集． 条件①：； 条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得． （1）若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）； （2）若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值： （3）若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值． 【答案】（1）集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集 （2）4 （3）1013． 【解析】 【分析】（1）首先要理解和谐子集的定义，根据定义来判断给定集合是否为和谐子集； （2）（3）对于求元素个数最大值，需要根据和谐子集的条件，通过分析元素之间的关系，逐步确定可以选取的元素. 【小问1详解】 对于集合，其中，不满足和谐子集的条件②， 所以不是集合的和谐子集. 对于集合，满足和谐子集的条件①， 且对集合中任意三个元素， 不存在，使得，满足条件②， 所以是集合的和谐子集. 综上所得，集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集. 【小问2详解】 将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类： 被3除所得的余数为0的元素有6： 被3除所得的余数为1的元素有4，7： 被3除所得的余数为2的元素有5，8． 因为，所以4与7，5与8不能同时属于集合， 否则，或者，与已知矛盾． 设为集合中元素的个数，则． 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是4. 【小问3详解】 不妨设集合中的最小元素是， 则存在唯一非负整数数对，使得，其中． 将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类： 被除所得的余数为1的元素有； 被除所得的余数为2的元素有；… 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为的元素有； …… 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为0的元素有． 因为是集合中的最小元素，所以上述各行任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合． 设为不大于的最大整数， 则在前行中，每行至多有个元素符合题意， 在剩下的行中，每行至多有个元素符合题意， 所以 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是1013． 【点睛】关键点睛：此题涉及整数集合的新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，按照被将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类，进行推理判断解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市汇文中学2025-2026学年高一上学期12月阶段检测 数学试题 第一部分 选择题 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的 A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知扇形的圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数.已知，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（ ）（参考数据：） A. 305 B. 483 C. 717 D. 879 8. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是以2为周期的周期函数 C. 在区间上单调递减 D. 若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则 9. 已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 10. 悬链线指是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（ ） A. B. 函数的值域 C. ，恒成立 D. 方程有且只有一个实根 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为______． 12. 已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______． 13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明为假命题的一个的值为______． 14. 已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______． 15. 设，函数给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，存在最小值； ③若在区间上单调递增，则的取值范围是； ④设记两点之间的距离为，则存在负数，使得． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设集合． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求． 17. 设函数． （1）当时，求的值； （2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （3）当时，的最小值为3，求m的值． 18. 在平面直角坐标系中，角顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 （1）求的值； （2）求值、 19. 设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定． （1）求的解析式及单调递增区间： （2）若在区间上的值域为，求的取值范围 条件①：的最小正周期为； 条件②：； 条件③：的图象关于直线对称． 20. 某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和． （1）求出S关于的函数解析式； （2）若使隔热层建造费用与30年能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数） 21. 设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集． 条件①：； 条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得． （1）若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）； （2）若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值： （3）若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $