学易金卷：高二数学上学期第一次月考01（北京专用，范围：人教A版必修第一册第1～2章）

**基本信息** 聚焦空间向量与直线方程，通过四棱锥线面证明、三角形中线方程及探究性点存在问题，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高二选择性必修第一册月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|直线斜率、对称点、向量模等|基础巩固，如向量运算考查符号意识| |填空题|5/25|线面垂直、投影向量等|能力提升，如平行六面体对角线计算需空间观念| |解答题|6/85|线面角、直线方程应用、探究性问题|创新应用，如第21题判断点存在并求比例，发展推理能力与创新意识|

■■■■ ■■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C]D] 2[AB][C][D] 6[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 4 3[A][B][C][D] 7[A]B][C][D] 南 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共15分) 11 12. 妇 13 14 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章直线方程。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 2．点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 4．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①；②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 8．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 9．已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知直线与直线垂直，则实数的值为________． 12．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 13．已知，，则在上的投影向量为________． 14．在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 15． 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是 ①．对于任意点，都有 ②．对于任意点，不存在∥平面 ③．过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 ④．存在点，使得三棱锥体积为 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．（14分）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 18．（14分）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 19．（14分）如图，在四棱锥中，，点在上，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)已知，．若为的中点，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．（15分）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 21．（15分）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. (1)证明：； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A D B B A A C C 第二部分（非选择题 110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. / 12. 0 13. 14. 15.①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(14分） 【详解】(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 (6分） （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以.(14分） 17．（14分） 【详解】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为.(4分） （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为.(9分） （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为.(14分） 18．（14分） 【详解】（1）因为，所以； 所以.(5分） （2）因为，，所以， 因为，所以与的夹角为.(10分） （3）， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得.(14分） 19．（14分） 【详解】（1)取的中点，连接、， 因为是的中点，所以，且， 且，所以，即且， 因此，四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面.(6分） （2）选条件①，因为，，为中点，所以， 因为， ，所以是矩形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因平面，所以， 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线作为轴， 则轴在平面内， 因为，所以， 由，，得，则， 因为，，所以， 因为，所以恒成立， 则条件①不能确定，故不唯一，则条件①不符合“唯一确定”的要求， 从而得到条件①不符合要求. 选条件②：因为为中点，，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得， 有一个高度，几何体唯一，故条件②符合要求， 则，故以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，则令，得， 设直线与平面所成角为， 则：， ， ， . 选条件③：因为，所以， 因为，，所以， 因为，所以， ， 则， 因为，所以，解得， 有一个高度，几何体唯一，故条件③符合要求， 则，故为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，则令，得， 设直线与平面所成角为， 则：， ， ， .(14分） 20．（14分） 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交.(6分） （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为．(14分） 21．（15分） 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面， ∴.(6分） （2）取的中点，连接，， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，由， 令，则，，， 假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 设，， 则， ∵平面的法向量为， 直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段（不含端点）上存在点，当或时， 直线与平面所成角的正弦值为.(15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共15分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章直线方程。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 2．点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 4．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 8．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 9．已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知直线与直线垂直，则实数的值为________． 12．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 13．已知，，则在上的投影向量为________． 14．在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 15． 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是 ①．对于任意点，都有 ②．对于任意点，不存在∥平面 ③．过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 ④．存在点，使得三棱锥体积为 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．（14分）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 18．（14分）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 19．（14分）如图，在四棱锥中，，点在上，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)已知，．若为的中点，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．（15分）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 21．（15分）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. (1)证明：； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章直线方程。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点，则直线的斜率为. 2．点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3．已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【详解】向量 ，则. 4．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 5．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 6．已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由题意有：， 所以. 故选：B. 7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， . 8．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 9．已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以且， 又因为、， 所以，整理得，解得或， 若，代入两条直线得，， 即，两直线完全重合，不满足平行， 因此的唯一解就是， 当时，可直接推出，同时也只能推出， 因此""是""的充要条件. 10．在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 【答案】C. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； A：当点M是线段BC的中点时，此时点的坐标为，显然满足， 因此本选项结论正确； B：连接，， 所以， 所以，且两直线在平面内，所以面， 则三角形的三边就是的轨迹， 由于，， ，所以三角形的周长为，因此本选项说法正确； C：假设存在点M，使得点B到平面的距离为， ， 设平面的法向量为， ，取， 因为， 所以当时，得， 当时，得， 当时，， 所以点B到平面的距离为， 当时， 点B到平面的距离为， 解得：，显然假设不存在，所以不存在点M，使得点B到平面的距离为，因此本选项说法错误； D：任意点平面，此时，所以， ， 因为，平面， 所以都有平面，因此本选项说法正确. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知直线与直线垂直，则实数的值为________． 【答案】/ 【分析】根据题意结合直线垂直列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，解得． 故答案为：. 12．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 【答案】0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 13．已知，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【详解】，， 在上的投影向量为. 14．在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 【答案】 【详解】， 则， ， 所以. 故答案为： 15． 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是 ①．对于任意点，都有 ②．对于任意点，不存在∥平面 ③．过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 ④．存在点，使得三棱锥体积为 【答案】①②③ 【详解】在正方体中，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为棱长为2，可得，，；设， 则，； 则；故对于任意点，都有，①选项正确； 因为分别是的中点，故，，； 则，； 设为平面的法向量， 则，可得，解得； 令可得，； 令，解得，不合题意， 故对于任意点，不存在∥平面，②选项正确； 在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点； 因为正方体中，平面平面，且交于； 因为平面，故平面，而平面，则； 因为平面，故平面； 平面截正方体的截面为矩形； 当与重合时，即为的中点时，截面最大， 面积为，故③正确； 由， 可得，因为是线段上的动点（不包含端点），故， 综上，不存在点，使得三棱锥体积为，故④错误． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【详解】(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 17．（14分）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【详解】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 18．（14分）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【详解】（1）因为，所以； 所以. （2）因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. （3）， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 19．（14分）如图，在四棱锥中，，点在上，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)已知，．若为的中点，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】（1)取的中点，连接、， 因为是的中点，所以，且， 且，所以，即且， 因此，四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）选条件①，因为，，为中点，所以， 因为， ，所以是矩形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因平面，所以， 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线作为轴， 则轴在平面内， 因为，所以， 由，，得，则， 因为，，所以， 因为，所以恒成立， 则条件①不能确定，故不唯一，则条件①不符合“唯一确定”的要求， 从而得到条件①不符合要求. 选条件②：因为为中点，，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得， 有一个高度，几何体唯一，故条件②符合要求， 则，故以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，则令，得， 设直线与平面所成角为， 则：， ， ， . 选条件③：因为，所以， 因为，，所以， 因为，所以， ， 则， 因为，所以，解得， 有一个高度，几何体唯一，故条件③符合要求， 则，故为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，则令，得， 设直线与平面所成角为， 则：， ， ， . 20．（14分）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 21．（15分）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为. (1)证明：； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面， ∴. （2）取的中点，连接，， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，由， 令，则，，， 假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 设，， 则， ∵平面的法向量为， 直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段（不含端点）上存在点，当或时， 直线与平面所成角的正弦值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $