北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷

牛栏山一中2025一2026学年度第一学期1月考试 高二数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，共32分. 1.在空间直角坐标系0-2中，点M(2,-3,1)关于原点对称的点的坐标为（) k:（-2,-3,-1) B.(2,3,-1) C.（-2,3,1) D.（-2,3,-1) 2.己知直线1的一个方向向量为(-1,1)，则直线1的倾斜角为() A.45 B.90 C.120° D.135 3.抛物线y=12x的焦点为F,点P在此抛物线上，PF=6,则点P的横坐标为() A.2 B.3 C.4 D.6 4.圆(x-3)2+0y+2)2=1与圆(x-7)2+(y-1)2=16的位置关系是() rek A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 5.已知正四棱锥P-ABCD的高为4，梭AB的长为2，点H为侧棱PC上的一动点，则△BD面积的取 小值为（) A.√2 B.4V2 3 c. D.2 2 3 6.已知直线1：5x+y-4=0,圆下：x2+y2=r2(r>0),若直线1上存在两点A,B,圆T上存在点C, 使得AB=2,且∠ACB=90,则r的取值范围是（) A.[1,3] B.[2,3] c.[,+oo) D.[2,+o) 7.已知直线，的斜率分别为k,k,倾斜角分别为4，必2，则“cos(C-2)≤0”是“kk2≤0”的 (). A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C,充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页/供4页 8.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x+y=2围成的平面区域的直径 为() A.32 B.3 c.2W2 D.4 二、填空题：本大题共5小题，共25分、 9.如图，直线1：x一2y+2=0过椭圆的左焦点和一个顶点B,该椭圆的离心串为 10.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线+y-1=0的距离为1，则a的值为 11.某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率 为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为 12.双曲线M:x-上=1的满近线方程为 :若M与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D 3 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r= 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动， 且满足平面AA,P⊥平面BBE,给出下列四个结论： ①△44，P的面积的最大值为√5： B ②满足△A4P的面积为2的点P有且仅有4个： ③点P可能为CC的中点； ④线段AP的最大值为3. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本题共5小题，共63分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题10分)已知A(2,4),B(-1,1),0为坐标原点，圆C为△AOB的外接圆， (1)求圆C的标准方程； (2)过原点的直线1被圆C截得的弦长为3√，求直线1的方程. 第2页/供4页 15.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，CC⊥平面 B ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,点D,E分别在搜4和搜CC上， 且AD=LCE=2M为棱AB的中点， (1)求证：CM⊥RD: (2)求二面角C-BE-D的余弦值， 16.(本小题13分)为了了解某校高二学生一次体育健康测试 的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生 频率 组距 的成绩作为样本，来估计本校高二学生的得分情况，并以 0.06 0.05 [75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分组，作出了 0.04 0.03 如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀” 0.02 (①)从该学校高二学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次 0V75808的905100成绩/分 体育健康测试成绩“优秀的概率，) 高二 (2)从样本成绩优秀的[90,95)，[95,100]两组学生中任意选取2 人，记为{4，}，[90,95)中的学生为a(1=1,2,[95,100]中的学生为0=1,2)，求这2人来自同 .一组的概率； (3)从成绩在[80,85)的学生中任取3名生记为A组，从成绩在[85,90)的学生它任取3名学生记为B组， 这两组学生的得分记录如下： A组：82,83，a；B组：85,86,87 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明)， 17.(本小题14分)如图，正方体ABCD-4BCD的棱长为2，E为BC的 中点.点M在BD上再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定 并解答问题， 条件①：MA=MC条件：②，EM⊥AD,条件③：EM∥平面CDDC. (1)求证：M为BD的中点； (2)求直线EmM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离. 第贡共贡 18（本小题14分)已知椭圆C:等+茶=a>b>0)的离心率为号，且经过(，号). (I)求椭圆C的标准方程； 血)已知0为能标原点。kB为椭圆c上两点，若孤乎-0，且- ,求△OAB的面积. 0,A·AB- 0. 高二数学数学答案 1D 2.D 3.B 4.c 5.B 6.c 1.A 8.B 92y5 11.0.05 12.y=tV5x;5 13.①④ 5 14.解：（1)设边AOB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+y+F=0, ,A,B,O均在圆C上， [4+16+2D+4E+F=0, 1+1-D+E+F=0, F=0. 「D=-2, 解得E=4,所以圆C的方程为x2+y2-2x-4y=0. F=0. 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.…5分 (2)由(1)知圆心C(1,2),半径为√5，因为直线1被圆C截得的弦长为3√2， 所以点C到直线1的距离为d= 3v2 2 2 2 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=:, 则k-2-2 V1+k22 时方用“能- . ,解得k=1或k=7. 当直线1的斜率不存在时，不满足条件 所以直线I的方程为x一y=0或7x-y=0.:…10分 【说明】如果采用点斜式直线方程求解，没有考虑斜率不存在的情况，请扣掉1分. 15. 解：(I)由丁CC,⊥CA,CC⊥CB,AC⊥BC,故建立如图所示的空间直角 B 坐标系，则 E 4(2,0,3),B(0,2,3),M(1,1,3),C(0,0,3),D(2,0,),E(0,0,2), CM=(（1,1,0),BD=(2,-2,-2) 故CM.BD=(11,0)(2,-2,-2)=2-2+0=0, 第1页/共4页 故CM⊥丑D,因此CM⊥BD…5分 ②)由于AC⊥平面BCCB,故平而CBE的-个法向：为m=(1,0,0),， 设平面BED的一个法问量为7=(（x,少，z), BE=(0,-2-1),8D=(2,-2-2), 放85万=-2y-2=0 D.月=2x-2y-22=0令z=2,则i=0-1,2列， 设二面角C,一BE-D的平面角为0，由图可知8为钝角， 故os0=小os(a,训=一同阿66 m为。16 …12分 16解：（1)频率分布直方图中，成绒优秀的两组学生，频率为0.04×5+0.02×5=0.3， 所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀的概率为03.…3分 (2)样本中，[90,95)组中有20×0.04×5=4人，95,100组中有20×0：02×5=2人， 从样本成缀优秀的[90,95)，[95,100]两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为： R=faabtaasbfaag.(abf(avb}fazablaz,aj.a.bh,faz.by {a,a},{a,6}{ab},{a,{a,b2},{4,bz}共包含15个样本点， 记事件A:两人米自同一组， 则1={a,a},{a,a},{a,a},{a,4}{a,a{o,a4}{,b},共包含7个样本点， 所以这2人来自同一组的概率P(=名·…10分 (3)这两组学生的得分记录：A组：82,83,4；B组：85,86,87 方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等， 对比两组数据，可知：a=81或a=84.…l3分 17.解：(1)选条件①：由MA=MC, 根据正方体ABCD一AB,CD,的对称性，此时点M为BD上的任意一点，所以不成立； 选条件②：EM⊥.AD, 连接CD,在正方体ABCD-AB,C,D中，由BC⊥平面CDD,C, 因为CD,C平面CDD,C,所以BC⊥CD, 第2页/共4页 又因为EM⊥AD,AD/IBC,所以EM⊥BC, 因为EM,CDc平面BCD,所以EMI/CD, C 又因为E为BC的中点，所以M为BD的中点. B 选择条件③：EM∥平面CDD,C, 连接CD,因为EM∥平面CDD,C,EMC平面BCD, 且平面BCD,A平面CDD,C=CD,所以EMI/CD, 因为E为BC的中点，所以M为BD的中点.…5分 (2)在正方体ADCD-AB,C,D,中，DA,DG,DD,两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示，则D(0,0,0),C(0,2,0),1,2,0),M(1,1,1), 所以DC=(0,2,0),DM=01,1),成=(0，-1,1)， 设平面MCD的法向量为m=(x,y,z),则 m.DC=y=0 DM=x+y+z=0 令x=1,则y=0,2=-1.于是m=(1,0,-1), 设直线EM与平面MCD所成的角为B,则sin0=cosm,EM m.EM 1 网2’ 所以直线EM与平面MCD所成角的大小为30°， 点E到平面MCD的距离为d=|M sine9=反×si血30=Y2 …14分 2 18.解：(1)椭圆C过 又e=-5,2=8+e(a>b>0,c>0),解得a=2,b=l6=5, a 2 C的方程为：苦+护=1…3分 （2)依题意，直线AB斜率存在，设直线方程为y=c+m, y=kx+m 联立 2+42=4'得x2+4(c+m)2=4, ∴.(4k2+）x2+8kmx+4m2-4=0, 第3页供4页 4=(8m)2-44k2+10(4m2-4)=16(4k2+1-m2）>0, 4k2+1>m2y 设小.86小则烤= .-8km 4=+Ek-=+k2V(x+)}-4x =V1+k -8km）1 4k2+1 -4可 4k2+1 O.店=0，六0A1仙，则k*0,直线oA为：y=-2x 联立y=女+m、得y=k(-y)+m, 六%=-=将 以+城=4（离品4m4 ÷4+1-m=4收+1-+_++4-4化+_然烂 k2+4 k2+4 k2+4 Ma-16+42+1-m）。14+) (42+1) (4k2+1(+4) f-(+-ee品g ,AB36k29 o味“(+可，得16-(+. (42-=0,- 此时m4+25<4代1=2，A>0成立 无2+417 josp 42+） 20 k2+4 17 △01B的面积5=p44-o4引04=04f=号…l4分