第十三章 三角形 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学三角形单元复习卷，全面覆盖三边关系、内角和、中线高线等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习需求，助力几何直观与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系（1题）、三角形类型判断（3题）、高线作图（6题）|结合几何图形考查空间观念，如第6题通过三角板摆放强化动手能力| |填空题|6/18|多边形对角线（12题）、中线性质（13题）、动态三角板叠放（15题）|设置动态问题（15题），培养抽象能力与创新意识| |解答题|8/72|内角和证明（20题）、等面积法应用（23题）、“八字图形”综合（24题）|注重推理与模型意识，如24题通过新定义图形整合角平分线与内角和知识，体现数学思维的逻辑性|

第十三章三角形（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列长度的三条线段不能组成三角形的是（) A.3,3,6B.6,6,3 C.4,4,4 D.3,4,5 【答案】A 【详解】解：A、3+3=6,所以不能构成三角形，故符合题意； B、3+6>6,所以能构成三角形，故不符合题意； C、4+4>4,所以能构成三角形，故不符合题意； D、3+4>5,所以能构成三角形，故不符合题意； 2、一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为() A.13 B.12 C.11 D.10 【答案】B 【详解】解：，一个三角形的两边长分别为2和5， ∴.5-2<第三边<2+5，即3<第三边<7， 第三边长为奇数， 第三边长为5， ∴.该三角形的周长为2+5+5=12， 3、在△ABC中.若∠A=60°，则△ABC是() A.锐角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】D 【详解】解：.·∠A=60°，∠B和∠C无法确定， △ABC可能是锐角三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形， 一1 4、下列语句中，正确的是（) A.三角形的外角和大于它的内角和B.三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C.三角形的内角小于它的外角 D.三角形的外角和是180° 【答案】A 【详解】解：A、三角形的外角和大于它的内角和，故特合题意； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故不符合题意 C、三角形的内角不一定小于它的外角，故不符合题意； D、三角形的外角和是360°，故不符合题意； 5、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABD=130°，则∠ACB的度数是() A DB C E A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【详解】解：由三角形的外角的性质得，∠ABD=∠A+∠ACB, ·∠A=90°，∠ABD=130°， .∠ACB=∠ABD-∠A=130°-90°=40° 6、如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是() 【答案】B 2 【详解】解：A.作出的是△ABC中BC边上的高线，故该选项不符合题意； B作出的是△ABC的边AB上的高线，故该选项符合题意； C:不能作出△ABC的高，故该选项不特合题意； D作出的是△ABC中AC边上的高线，故该选项不特合题意； 7、如图，在△ABC中，AD交边BC于点D.设△ABC的重心为Q,若点Q在线段AD上，则下列 结论正确的是() A.AD平分∠BAC B.AD⊥BC C.BD=CD D.△ABD的周长等于△ACD的周长 【答案】C 【详解】解：因为△ABC的重心为Q,点Q在线段AD上， 所以BD=CD,故C符合题意； AD不一定平分∠BAC,AD不一定垂直BC,只有当AB=AC时△ABD的周长等于△ACD的周 长， 所以A、B、D都不特合题意. 8、如图，在△ABC中，SAABC=20,AB=AC=10,点D在BC上，DE⊥AB,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为P,则DE+DF=（) 3 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接AD. A E B D 因为5m号ABDE,Sm-号ACDF,S=20, 所以ABDE+AC·DF=20. 因为AB=AC=10, 所以ABDE+DF=20, 所以DE+DF=4. 9、如图，在△ABC中，点D,E分别是BC,AD的中点，且S△ABE=2,则图中阴影部分的面积为 () E B D A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【详解】解：点E分别是AD的中点， .SADBE=SAABE=2, :点D分别是BC的中，点， ∴.S△BCE=2 SADBE=4. —4 10、如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于，点P,且∠D+∠C =210°，则∠P=() P C B A.10° B.15° C.30° D.40° 【答案】B 【详解】解：如图，.∠D+∠C=210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°， .∠DAB+∠ABC=150°. 又'∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P, ∠2MB+∠ABP=3∠DAB+∠ABC+3180-∠ABC-90P+3(∠DAB+∠AC)-165, ∴.∠P=180°-（∠PAB+∠ABP)=15° 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻 两螺丝的距离依次为3,4,5,7，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木 框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为」 5 【答案】9 5 【详解】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7； ①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为 7; ②选5+4、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为 9; ③选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；4+3<12，不能构成三角形，此种情况不成 立； ④选7+3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而5+4<10，不能构成三角形，此种情况不成 立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9. 故答案为：9 12、若过多边形的一个顶，点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是 【答案】8 【详解】过多边形的一个顶，点的所有对角线把多边形分成6个三角形， ∴.这个多边形的边数是6+2=8. 故答案为：8 13、如图，△ABC中，AB=10,AC=8,AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD 的周长是· D 【答案】24 6 【详解】解：AD为BC边上的中线， ..BD=DC, ,△ACD的周长为22， .AC+AD+CD=22, .·AC+AD+BD=22, .AC=8, .AD+BD=14, .AB=10, △ABD的周长=AB+AD+BD=10+14=24, 故答案为：24. 14、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,若∠ACD=26°，则LB= 【答案】26° 【详解】解：∠ACB=90°，∠ACD=26° .∠BCD=∠ACB-∠ACD=64°， CD⊥AB, .∠CDB=90° ∴.∠B=90°-∠BCD=90°-64°=26° 故答案为：26°」 15、将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若∠1=80°，则∠2的度数是 -7 【答案】95° 【详解】如图， 1A53 4 30° 2 Q .:∠3=∠1-45°=35° .∠4=∠3=35 .·∠5=90°-30°=60° :∠2=∠4+∠5=95°， 故答案为：95°. 16、在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，点D在边AB上，连接CD.若△ACD为直角三角形，则 ∠BCD 的度数为 【答案】50°或30 【详解】解：分两种情况： 如图①，当∠ADC=90°时，∠BDC-90°. :∠B=40° ∴.∠BCD=180°-90°-40°=50° 如图②，当∠ACD=90°时， ∠A=20°∠B=40° ∴.∠ACB=180°-20°-40°=120° ∴.∠BCD=120°-90°=30° 8 综上所述，∠BCD的度数为50°或30°. A D D B 图① 图② 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-20，每题8分，21-22，每题10分，23- 24,每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，延长BA至点E,连接EC.设∠B=,∠E=β， 若∠BAC=a+2B,求证：CE平分∠ACD C D 【答案】证明见详解】 【详解】证明：：'∠BAC=∠E+∠ACE=B+∠ACE, .:∠BAC=a+2B, .∠ACE+B=a+2β， ∴.∠ACE=a+B, ,∠DCE=∠B+∠E=a+B, ∴.∠ACE=∠DCE, .CE平分∠ACD 18、如图，CD,CE分别是△ABC的高和中线. —9 D B (1)若AB=6,SAABC=12,求高CD的长； (2)若AC=3,BC=4,求△EBC与△ACE的周长之差. 【答案】(1)4(2)1 【详解】(1)：AB=6,SAAc=12, 小×ABD方x6×D-2 解得CD=4, .高CD的长为4. (2).△ABC的中线是CE, ∴，AE=BE, ·△EBC与△ACE的周长之差为： BE+CE+BC-AC+CE+AE=BC-AC=4-3=1 19、如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A=∠2，∠I=∠B. (1)判断△ABC的形状； (2)判断CD是否与AB垂直. 【答案】(1)△ABC是直角三角形(2)CD⊥AB 【详解】(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下： .∠A=∠2，∠1=∠B, .∠A+∠2+∠1+∠B=180° —10— LA+∠B=90°， .∠ACB=90°， △ABC是直角三角形. (2)解：CD⊥AB,理由如下： ∠A+∠B=90°，∠A=∠2， .∠2+∠B=90°， .∠CDB=90°， .CD⊥AB. 20、一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于180° 【定理证明】 (1)小赵的证明思路是：如图1，在△ABC中，过，点A作DE∥BC,再利用平行线的相关知识来 证明：∠BAC+∠B+∠C=180°.请按照小赵同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 (2)如图2，若∠1=20°，∠2=30°，∠BDC=95°，求∠A的度数. 图1 图2 【答案】(1)见详解 (2)45° 【详解】(1)证明：：DE∥BC, ∴.∠DAB=∠B,∠EAC=∠C :∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∠BAC+∠B+∠C=180° 11 (2)解：如图，延长BD交AC于E, D. 由三角形的外角性质得，∠3=∠1+∠A,∠3+∠2=∠BDC=95°， .∠1+∠A+∠2=∠BDC=95°， .:∠1=20°.∠2=30° .∠A=95°-20°-30°=45° 21、如图，在△ABC中，AD L BC于，点D,AE平分∠BAC交BC于，点E. BL D E (1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数； (2)若B-∠C=40°，求∠DAE的度数. 【答案】(1)20°(2)20° 【详解】(1)解：∠B=70°，∠C=30°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°， AE平分∠BAC, BE-号a4C=80=40 AD L BC,∴.∠BDA=90°， ∴.∠DAB=90°-∠B=90°-70°=20° ∠DAE=∠BAE-∠DAB=40°-20°=20°； (2)解：AE平分∠BAC, —12— ∠BaE=∠B4c=80-∠B-∠C) :∠BAD=90°-∠B ∠DME=∠BAE-∠BD-80-∠B-∠C)-(0P-∠B)=(B-∠C) 2B-<C=40,2Da=40=2 22、如图，在△ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线，BP,CP分别是 ∠EBC,∠FCB 的平分线. A D B (1)当∠ABC=64°，∠ACB=66°时，∠D= 、∠P= (2)∠A=56°，求∠D,∠P的度数； (3)请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由. 【答案】(1)115°.65 (2)∠D=118°，∠P=62° (3)∠D+∠P的值不变.理由见详解 【小问1详解】 解：·BD,CD分别是∠ABC,LACB的平分线，∠ABC=64,∠ACB=66°， ,∠DBC=∠ABC=32,∠DCB=∠ACB=330 ∠EBC=116°，∠BCF=114°， 13 .∠D=180°-∠DBC-∠DCB=115°； :BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线， CBP-E8C-58./8CP-/RCF-37 .∠P=180°-∠CBP-∠BCP=65°； 小问2详解】 解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线， .nac-ABc.∠DCB-4C0 :∠D=180°-（∠DBC+∠DCB) =180-iac+4Ac8 =180-l80-40 1 =90°+24 又.∠A=56° ∠D=0+34=90+5×56=18 :BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线， .∠CBP+∠BCP -EBC+∠BCF) -4+A8c+4cB+④ -080+2 :∠P=180-(∠CBP+∠BCP) =180°-7080°+∠40 —14— 90-4 又.∠A=56° .P=90°-2∠1=90o1 ×56°=62° 2 【小问3详解】 解：∠D+∠P的值不变， 由2知D=90+4P=90-∠4 2 2 .∠D+∠P=180° .当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变. 23、等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. N B D 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足为，点D, 则BD的长是」 (2)如图2，在△ABC中，AB=3,BC=6,则△ABC的高AD与CE的比是 (3)如图3，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且 ∠EBC=∠C,DM⊥BE?DN⊥AC,垂足分别为点M?N若AB=8,DM=3,求DN的值. 【塔1 (2)1:2 (3)5 【详解】(1)解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC, S袋-分AB-BC-AG~BD, .AB=6,BC=8,AC=10, —15 BD=6×8-24 105 4 故答案为：5 ②解5aAB-CE-BCAD,AB=3,BC=6, ×3×CE=x6xAD, ..2AD=CE, .AD:CE=12; 故答案为：1：2； (解：Sa方AB-CE，Sme号DM-BE,SAcm-DN-CE, 且S△BCE=S△BDE+SADE, An-cE-号DM~BE+DNGE, 又∵BE=CE, ∴.AB=DM+DN, ,AB=8,DM=3, .DN=5. 24、如图，已知线段AB、CD相交于点O,连接AB、CD,我们把形如这样的图形称为“八字图 形” B B M D 图① 图② (1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D; (2)如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,与CD、AB分别交于，点M,N. ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与(1)类似的结论：； 16 ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数； ③根据②的结果直接写出∠B,∠C,∠P之间的关系（不需要证明）· 【答案】(1)见详解 (2)①∠CAM+∠C=∠PDM+∠P(答案不唯一；②∠P=110°；③2∠P=∠B+∠C 【详解】(1)证明：在△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC, 在△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD, ·.·∠AOC=∠BOD ∴.∠A+∠C=∠B+∠D; (2)解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM,△ACO和△BOD,△ACO和 △DNO; 以，点O为交，点的“8字型”有：△ACO和△BDO,△ACO和△DNO,△AMO和△BDO, △AMO和△DNO; 故答案为：∠CAM+∠C=∠PDM+∠P; ②，在△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM, 在△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN, ∴.∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN, ,PA平分∠BAC,PD平分∠BDC, '.∠CAM=∠PAN,∠BDN=∠PDM, .∠C+∠B=2∠P,即120°+100°=2∠P, ∴.∠P=110°； ③∠B、∠C、∠P之间的关系为2∠P=∠B+∠C. 理由如下： 如下图， —17 B M :AP和DP分别平分∠CAB和∠BDC, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4， 在△AMC和△DMP中，∠C+∠1=∠P+∠3， ∴.∠C-∠P=∠P+∠3-∠1， 在△BDN和△PAN中， ∠B+∠4=∠P+∠2， .∠B=∠P+∠2-∠4， ∴.∠B+∠C=∠P+∠2-∠4+∠P+∠3-∠1=2∠P, ∴.∠B、∠C、∠P之间的关系为2∠P=∠B+∠C. 18- 第十三章 三角形（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5 2、一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 3、在中．若，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4、下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 5、如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6、如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 7、如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 8、如图，在中，，点D在上，，垂足为，垂足为F，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9、如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 10、如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框形状不限，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为，，，，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为____________． 12、若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是 ． 13、如图，中，，为边上的中线，若的周长为22，则的周长是 ． 14、已知：如图，在中，，，若，则 ． 15、将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是 ． 16、在△ABC中，，，点D在边上，连接．若△ACD为直角三角形，则的度数为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-20，每题8分,21-22，每题10分, 23-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在中，点D在延长线上，延长至点E，连接．设，，若，求证：平分． 18、如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长； (2)若，，求与的周长之差． 19、如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 20、一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小赵的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小赵同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 21、如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 22、如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线． （1）当时，　 　°，　 　°； （2），求的度数； （3）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 23、等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 24、如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $