第十三章《三角形》 专项训练 2026-2027年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，整合8大考点21类题型，通过表格化方法提炼与典型例题实现三角形知识的系统性突破，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |必备知识|8考点（含3类性质/2种分类）|三边关系6大应用方法、高线中线性质判定、内角和外角转化技巧|从定义出发，经分类构建概念体系，通过三线性质与边角关系形成知识网络| |题型训练|21题型（20道典例）|折叠问题角度转化、中线面积计算模型、直角三角形锐角互余应用|按“识别-计算-证明-综合”梯度设计，题型与考点精准对应，强化知识迁移能力|

第十三章《三角形》单元高频考点培优专项训练 必备知识 考点01 三角形及其相关概念 1. 三角形的概念： 如图，由不在同一直线上的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的相邻与相对关系： AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的邻边，BC与∠A相对，所以是∠A的对边； 同理可得∠B、∠C的邻边与对边。 考点02 三角形的分类 （1）按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 考点03 三角形的三边关系 1、三角形三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边． 2、三角形三边关系的常见应用 应用方式 方法解读 判断三条线段能否构成三角形 把较短的两条线段相加，所得的和与第三条线段比较 已经两条线段，求第三条线段的取值范围 已知线段，第三条线段x的取值范围是： 解决等腰三角形腰、底边和周长问题 两腰之和大于底边 化简绝对值 利用三角形三条线段的不等关系判断绝对值里面的正负符号，再利用绝对值法则化简 证明线段间的不等关系 利用三角形三边的关系，结合等线段的代换和不等式的性质，证明线段间的不等关系 求线段之和的最小值或线段之差的最大值 构造三角形，利用三边关系求解 考点04 三角形的高线 1. 三角形的高线： 过顶点作对边的垂线，顶点与垂足之间部分叫做三角形的高线。 2. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线画法： 三角形有3条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 ①锐角三角形的三条高都在三角形内部，垂心在三角形内。 ②直角三角形有两条高是三角形的边，垂心在三角形上。 ③钝角三角形有两条高在三角形外，垂心在三角形外。 考点05 三角形的中线 1. 三角形的中线： 三角形的顶点与对边中点的连线叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： 如图，AM是△ABC的中线，则： ①AM是三角形的中线M是BC的中点BM＝ CM＝BC。 ②中线平分三角形的面积。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有3条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的重心。 考点06 三角形的内角和 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 考点07 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°． 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 考点8 三角形的外角定理 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 目录 题型01 三角形的识别与有关概念 题型02：三角形的个数问题 题型03：三角形的分类 题型04：构成三角形的条件 题型05：确定第三边的取值范围 题型06：三角形三边关系的应用 题型07：三角形的稳定性及应用 题型08：四边形的不稳定性 题型09：角平分线、高 题型10：根据三角形中线求长度 题型11：根据三角形中线求面积 题型12：三角形角平分线的定义 题型13：与三角形的高有关的计算问题 题型14：三角形内角和定理的证明 题型15：与平行线有关的三角形内角和问题 题型16：与角平分线有关的三角形内角和问题 题型17：三角形折叠中的角度问题 题型18：直角三角形的两个锐角互余 题型19：锐角互余的三角形是直角三角形 题型20：三角形的外角的定义及性质 题型21：单元提升卷 典例精析 题型01 三角形的识别与有关概念 1．观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 题型02：三角形的个数问题 2.（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 题型03：三角形的分类 3．已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 题型04：构成三角形的条件 4．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型05：确定第三边的取值范围 5．一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 题型06：三角形三边关系的应用 6．等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型07：三角形的稳定性及应用 7．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 题型08：四边形的不稳定性 8．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（    ）    A．四边形由矩形变为菱形 B．对角线的长度不变 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 题型09：角平分线、高 9．如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 题型10：根据三角形中线求长度 10．如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： (1)根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） (2)若，点B到边的距离是，求的面积． 题型11：根据三角形中线求面积 11．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 题型12：三角形角平分线的定义 12．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 题型13：与三角形的高有关的计算问题 13．如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 题型14：三角形内角和定理的证明 14．已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 题型15：与平行线有关的三角形内角和问题 15．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型16：与角平分线有关的三角形内角和问题 16．如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 题型17：三角形折叠中的角度问题 17．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型18：直角三角形的两个锐角互余 18．如图，，，求，的度数． 题型19：锐角互余的三角形是直角三角形 19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 题型20：三角形的外角的定义及性质 20．已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 第十三章《三角形》单元提升检测卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时90分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：八年级数学第十三章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 3．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，是边上的高，是的角平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，，，垂足为点D，，，．给出下列结论： ①；②；③图中互余的角共有3对；④点B到直线的距离为． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．如图，在中，是角平分线，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，，，，点P是直线上一个动点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．若三角形的三边长分别为2，，4，则a的取值范围为________________； 12．如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 13．若AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为_____． 14．如图，把的一角折叠，若，则的度数为 ______ ．    三、解答题（公58分） 15．已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 16．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 17．如图，在中，．求x的值． 18．如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 19．如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 20．如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 21．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 22．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章《三角形》单元高频考点培优专项训练 必备知识 考点01 三角形及其相关概念 1. 三角形的概念： 如图，由不在同一直线上的三条线段首位顺次连接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的相邻与相对关系： AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的邻边，BC与∠A相对，所以是∠A的对边； 同理可得∠B、∠C的邻边与对边。 考点02 三角形的分类 （1）按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 考点03 三角形的三边关系 1、三角形三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边． 2、三角形三边关系的常见应用 应用方式 方法解读 判断三条线段能否构成三角形 把较短的两条线段相加，所得的和与第三条线段比较 已经两条线段，求第三条线段的取值范围 已知线段，第三条线段x的取值范围是： 解决等腰三角形腰、底边和周长问题 两腰之和大于底边 化简绝对值 利用三角形三条线段的不等关系判断绝对值里面的正负符号，再利用绝对值法则化简 证明线段间的不等关系 利用三角形三边的关系，结合等线段的代换和不等式的性质，证明线段间的不等关系 求线段之和的最小值或线段之差的最大值 构造三角形，利用三边关系求解 考点04 三角形的高线 1. 三角形的高线： 过顶点作对边的垂线，顶点与垂足之间部分叫做三角形的高线。 2. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线画法： 三角形有3条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 ①锐角三角形的三条高都在三角形内部，垂心在三角形内。 ②直角三角形有两条高是三角形的边，垂心在三角形上。 ③钝角三角形有两条高在三角形外，垂心在三角形外。 考点05 三角形的中线 1. 三角形的中线： 三角形的顶点与对边中点的连线叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： 如图，AM是△ABC的中线，则： ①AM是三角形的中线M是BC的中点BM＝ CM＝BC。 ②中线平分三角形的面积。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有3条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的重心。 考点06 三角形的内角和 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 考点07 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°． 2. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 考点8 三角形的外角定理 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 目录 题型01 三角形的识别与有关概念 题型02：三角形的个数问题 题型03：三角形的分类 题型04：构成三角形的条件 题型05：确定第三边的取值范围 题型06：三角形三边关系的应用 题型07：三角形的稳定性及应用 题型08：四边形的不稳定性 题型09：角平分线、高 题型10：根据三角形中线求长度 题型11：根据三角形中线求面积 题型12：三角形角平分线的定义 题型13：与三角形的高有关的计算问题 题型14：三角形内角和定理的证明 题型15：与平行线有关的三角形内角和问题 题型16：与角平分线有关的三角形内角和问题 题型17：三角形折叠中的角度问题 题型18：直角三角形的两个锐角互余 题型19：锐角互余的三角形是直角三角形 题型20：三角形的外角的定义及性质 题型21：单元提升卷 典例精析 题型01 三角形的识别与有关概念 1．观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【思路引导】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【规范解答】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 题型02：三角形的个数问题 2.（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【思路引导】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【规范解答】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 题型03：三角形的分类 3．已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出的最大内角的度数，再将其与比较后，即可得出结论． 【规范解答】解：A．， ， 又， ， 是直角三角形，选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， ， 是锐角三角形，选项B符合题意； C．， ，， 又， ， ， ， 是钝角三角形，选项C不符合题意； D．，， ， ， 是钝角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 题型04：构成三角形的条件 4．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【规范解答】解：A、∵，不能画出，故本选项不符合题意； B、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 题型05：确定第三边的取值范围 5．一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【规范解答】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：． 故选：B． 题型06：三角形三边关系的应用 6．等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【思路引导】本题主要考查等腰定义，三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系求解即可． 【规范解答】解：设腰长为，则， ． 故选：D． 题型07：三角形的稳定性及应用 7．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【规范解答】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 题型08：四边形的不稳定性 8．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（    ）    A．四边形由矩形变为菱形 B．对角线的长度不变 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【规范解答】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，但邻边不变且不相等，不可能变为菱形，故A不正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度变大，故B不正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C不正确，不符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，符合题意， 故选：D． 题型09：角平分线、高 9．如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【思路引导】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 题型10：根据三角形中线求长度 10．如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： (1)根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） (2)若，点B到边的距离是，求的面积． 【答案】(1)中线 (2) 【思路引导】本题考查了尺规作图——垂线，三角形的中线，点到直线的距离，根据作图的痕迹得出所作线段垂直平分是解题关键． （1）根据尺规作图求解即可； （2）过B作，垂足为H，先求出，再根据三角形的中线求解即可． 【规范解答】（1）解：由作图的痕迹可知，所作线段垂直平分， 则点是的中点， 是的中线， 故答案为：中线 （2）解：如图，过B作，垂足为H， 点B到边的距离是， ， ， 是边上的中线， ． 题型11：根据三角形中线求面积 11．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【规范解答】解：如图，在上取一点，使，连接，作，   平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【考点剖析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 题型12：三角形角平分线的定义 12．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 【答案】(1)见详解； (2)平行 (3)见详解 【思路引导】（1）根据三角形的高线和中线的定义即可作图； （2）根据网格特点得到，即可得到； （3）先求出，结合网格特点即可作出． 【规范解答】（1）解：如图，为中边上的高，为中边上的中线： ； （2）解：如图，连接，由作图可得， ∴； 故答案为：平行； （3）解：如图，即为要求作的三角形； 证明：由题意得， ， ∴． 【考点剖析】本题考查了三角形高线、中线的定义，平行性的判定，三角形的面积公式等知识，理解相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键． 题型13：与三角形的高有关的计算问题 13．如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 【答案】 【思路引导】该题主要考查了三角形的面积，中线，高线，解题的关键是理解题意． 根据的面积是24，算出，再根据中线得出，根据，即可算出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵是边上的高线，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又 ， ∴， ∴． 题型14：三角形内角和定理的证明 14．已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【思路引导】直接根据直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60， ∴∠B＝30， 故选：A． 【考点剖析】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质两锐角互余解答． 题型15：与平行线有关的三角形内角和问题 15．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【考点剖析】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 题型16：与角平分线有关的三角形内角和问题 16．如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出结论． 【规范解答】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴，， ∴． 题型17：三角形折叠中的角度问题 17．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】连接、，由折叠的性质得，则，，又由折叠的性质得，，得出，，由三角形外角性质得出，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可得出结果． 【规范解答】解：连接、，如图所示： 由折叠的性质得：， ， ， 又由折叠的性质得：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质与等腰三角形的性质与解题的关键． 题型18：直角三角形的两个锐角互余 18．如图，，，求，的度数． 【答案】； 【思路引导】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件和直角三角形的性质得出的值，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【规范解答】解： ， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴＝． 题型19：锐角互余的三角形是直角三角形 19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【规范解答】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 题型20：三角形的外角的定义及性质 20．已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 【规范解答】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上： 或或； 故答案为：或或． 第十三章《三角形》单元提升检测卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时90分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：八年级数学第十三章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 3．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。若存在两边之和等于或小于第三边，则无法构成三角形；逐一验证各选项是否满足三角形三边关系即可. 【详解】解：选项A：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项B：，，，最长边，，等于第三边，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形；符合题意； 选项C：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项D：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 故选：B 4．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可． 【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 5．如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 6．如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【详解】解：∵都是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．如图，中，是边上的高，是的角平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质、角平分线的定义．先求出，根据角平分线的定义得，再运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在三角形中，，，垂足为点D，，，．给出下列结论： ①； ②； ③图中互余的角共有3对； ④点B到直线的距离为． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】点到直线的距离、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了点到直线的距离，余角，对直角三角形的有关性质熟练掌握并能灵活运用是解题关键．根据直角三角形的有关性质求解．因为，所以，①符合题意，，因为，即，可得，②符合题意，数出图中互余的角可证③，因为，已知，，，可得的长，即证④． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意， ∴， ∵，即， ∴，故②符合题意， ∵，， ∴，，，， ∴图中互余的角共有4对， 故③不符合题意， ∵，，，， ∴，故④符合题意， 故正确的结论是①②④， 故选：B． 9．如图，在中，是角平分线，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和的定理，根据可得出，根据角平分线的定义可得出，利用平角的定义求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 故选：C． 10．如图，，，，，点P是直线上一个动点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】当时，的值最小，利用等积法即可求出的长． 【详解】解：点到直线的距离，垂线段最短， 当时，线段的值最小， 在中，，，，， ， 即， ． 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．若三角形的三边长分别为2，，4，则a的取值范围为________________； 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键．直接利用三角形三边关系列不等式，求解即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，，4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．若AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为_____． 【答案】90°或50° 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°； ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°，    综上所述，∠BAC的度数为90°或50°． 故答案为：90°或50°． 【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论． 14．如图，把的一角折叠，若，则的度数为 ______ ．    【答案】65° 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据折叠的性质得到∠3=∠5，∠4=∠6，利用平角的定义有∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6=360°，则2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°，而∠1+∠2=130°，可计算出∠3+∠4=115°，然后根据三角形内角和定理即可得到∠A的度数． 【详解】如图，∵△ABC的一角折叠，∴∠3=∠5，∠4=∠6，而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6=360°，∴2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°． ∵∠1+∠2=130°，∴∠3+∠4=115°，∴∠A=180°﹣∠3﹣∠4=65°． 故答案为65°．    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了折叠的性质．作出辅助线，把图形补充完整是解题的关键． 三、解答题（公58分） 15．已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式组，由题意知，，，即，计算求解即可． 【详解】解：分别为的三边，且满足， 解得，， 的取值范围为． 16．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 【答案】． 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，垂直定义，等角的余角相等，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到， 由三角形的内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，在中，．求x的值． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，由题意利用三角形内角和定理求出，由，求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， ∵， ∴， ∴，即． 18．如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 【答案】(1)3 (2)2 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线性质与面积公式（）的应用，解题关键是灵活运用中线对面积的分割作用及周长差的化简逻辑． （1）先利用三角形面积公式结合为高求出的面积，再根据F是中点，由中线分三角形面积的性质得到的面积； （2）先通过为高结合面积求出的长度，再根据F是中点得到，进而分析和的周长差． 【详解】（1）解：是的高， F为的中点，是的中线， ； （2）解： 是的高， ，即， 解得． F是的中点， ， 又是公共边，的周长为，的周长为， 和的周长差为． 19．如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，则有，得到，即可解答； （2）先求出，再推导出，可得到 ， ，即可解答． 【详解】（1）解：是的两条高， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， 答：的度数，的度数． 20．如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) ， 理由：由（1）知是直角三角形， ， ． (3)， 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）略 （3）解：∵， ， ， ． 21．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3) 延长，过点C作，如图所示： ∴， ∵， ∴． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）略 22．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【知识点】对顶角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $