第13章 三角形 专题训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以“模型化方法+递进式训练”构建三角形角关系专项体系，通过方法点睛提炼核心结论，结合变式与拓展培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线与高的夹角|4题（含动态探究）|夹角=另两角差的一半|从静态计算到动态变式，构建“结论应用-规律证明-运动拓展”逻辑链| |内外角平分线模型|10题（3模型+综合应用）|两内角平分线夹角=90°+第三角一半；一内一外夹角=第三角一半；两外角夹角=90°-第三角一半|按“内角-内外-外角”递进，通过母题证明、变式训练、跨情境应用深化模型认知| |数学活动|6题（操作与探究）|等边三角形搭建规律、多边形三角剖分公式|从具象操作（搭三角形）到抽象归纳（对角线公式），发展空间观念与创新意识|

第13章三角形专题训练 专题训练一、三角形角平分线与高的夹角模型 方法点睛 三角形一个角的平分线与这个角的对边上的高所形成的夹角等于另两个角 之差（大角减小角）的一半」 已知AD⊥BC于点D,AE 平分∠BAC,∠B>∠C 0 B DE 结论：∠DAE=∠B-∠C 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,交BC于点E (1)若∠C=70°，∠B=30°，则∠DAE的度数为 (2)若∠C-∠B=20°，则∠DAE的度数为 D 1/16 2.如图，已知AD平分∠BAC,交BC于点D,F是AD反向延长线上的一点， FE⊥BC于点E,∠1=40，∠C=65,则∠F的度数为 3.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠ACB=115°，AE,AD分别是△ABC 的角平分线和高，求∠EAD和∠AEB的度数. 4.如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,交BC于，点 E,∠B=70°，∠C=34° (I)求∠DAE的度数： (②)你能把∠B,∠C,∠DAE(∠B>∠C)之间的数量关系规律化吗？请证 明你的结论； (3)如图②③，设F为射线AE上一动，点，当它在射线AE上运动，AD变成 2/16 FD时，探索∠DFE,∠B,∠C∠B>∠C之间的数量关系，并证明你的结论 专题训练二、三角形中内、外角平分线的常见模型 模型一、三角形两内角平分线的夹角 一、教材母题 如图，在△ABC中，BE,CF是角平分线，且BE,CF相交于点G,求证： (L)∠BGC=180-|∠ABC+∠ACB: ②∠BcC-90+A 3/16 二、变式训练 1.如图，△ABC的两条内角平分线BE,CD相交于点F,∠A=62°，则 ∠BFC的度数是（) A59 B118 C121 D124 D 2.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD,CD分别平分∠ABC和 ∠ACB,BE,CE分别平分∠DBC和∠DCB,则∠BEC等于（） A.140°B.150°C.165° D170 3.如图，在△ABC中，∠A=64°，O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点， p是∠BOC,∠OCB的平分线的交点.若∠P=100,则∠ACB的度数是 4/16 模型二、三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角 三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角等于第三个内角的一半 Q.,O是∠ABC的平分线与外角∠ACD的 平分线的交点 L0=∠A B C D 4.如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于，点 D,∠D=40,则∠A的度数为() A.50°B.60°C.70°D.80° 5.如图，在四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，∠DAB的平分线与 ∠CBE的平分线相交于点P,且∠D+∠C=2I0,则∠P等于（） 5/16 A.10°B15 C.30° D.40° 6.如图，在△ABC中，∠A=64°，D为BC延长线上的一点，∠ABC与 ∠ACD的平分线相交于点A则∠A,=一∠A,BC与∠A,CD的平分线 相交于，点A2,得∠A2,…,∠An-1BC与∠An-1CD的平分线相交于点An,得 ∠An,要使∠A的度数为整数，则n的最大值为 模型三、三角形两外角平分线的夹角 三角形两外角平分线的夹角等于90°与第三个内角一半的差. ∠0=90°-t∠A O是∠DBC与∠BCE两外角 D E平分线的交点 6/16 7.如图，在△ABC中，BI,CI分别是△ABC的外角平分线， ∠A+∠I=130,则2A的度数为（) A.50 B60C70 D·80 8.如图，在△ABC中，∠A=80°，BF平分外角∠CBD,CF平分外角 ∠BCE,BG平分∠CBF,CG平分LBCF,则∠F=一，∠G= 9.要测量作业纸上两条相交直线a,b所夹锐角∠的大小，发现其交点不 在作业纸内，无法直接测量」 (1)小明的方案：画直线c与a,b相交，如图①，测得∠1=m°，∠2=n, 则∠a= (用含m,n的代数式表示)： (2)小刚的方案：画直线C与Q,b相交，再画与∠1，∠2相邻的角的平分 7/16 线交于点O,如图②，测得∠O=p°，则∠Q= .(用含P的代数式表示) 10,在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题.在 △ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P 【问题研究】 (1)①如图①，若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC=_------- 口°； ②猜测∠BPC与∠A之间的数量关系，并证明. 【问题延伸】 (2)如图②，作△ABC的外角∠CBM,∠BCN的平分线相交于点Q,则 ∠Q与∠BPC之间的数量关系为 【拓展应用】 (3)如图③，在(2)的条件下，延长线段BP,QC相交于点E,在△BQE中， 当∠E与∠Q两锐角存在3倍的数量关系时，求∠A的度数. 8/16 1 专题训练三、数学活动 一、活动1搭等边三角形 1.用6根长度相同的牙签搭等边三角形，要求每个三角形的边长都与牙签 的长度相同，那么最多可以搭 个这样的三角形.（提示：可以考虑立体图 形) 2.利用火柴棒按如图所示方式搭等边三角形： (1)搭5个等边三角形需要多少根火柴棒？ (2)搭n个等边三角形需要多少根火柴棒？ △△7△☑ 1个 2个 9/16 二、活动2多边形的三角剖分 1.把如图所示的两个图形分割成三角形，每个图形至少可以分割成多少个 三角形？ ① ② 2.某中学八年级(1)班数学课外兴趣小组在探究“n边形共有多少条对角 线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 8 从多边形一个顶点出发可 引出的对角线条数 多边形对角线的总条数 ()探究：假若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表； (②)猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从边形的 一个顶，点出发可引出的对角线条数为 ,n边形对角线的总条数为 (n>3): 10/16 3三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形把一个多 边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干 个三角形，叫作多边形的三角剖分.如图，将四边形ABCD进行三角剖分，有两 种方法.瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数Dn的公式.后 来数学家发现并证明：当n≥3时，D1-4n6D,-1例如：当n=3时， D n D4=4×3-6=2,则D,=2:当n=4时，D=4×4-6=5,则D,=5根据公式计 D33 D442 算八边形的三角剖分方法数D8= 答策 专题训练一 1120 210 11/16 2.15 3.∠EAD=40°∠AEB=130° 4.(1)∠DAE=18 ②∠DAF=∠R-人C 证明：：∠BAC=180°-∠B-∠C,AE平分∠BAC, ÷∠nc-<BMC=180-∠B∠C=90<B-C 2 .AD⊥BC,∴.∠ADC=90. ∴.∠DAC=90°-∠C. DaE=∠Dac-∠EAC=90-∠C-90<B-C-<B-∠Cl a)∠DFE=∠B∠C 证明：分两种情况： 当点F在线段AE上时，过，点A作AH⊥BC于点H,如图① 由②得2HME=B-∠Cl .AH⊥BC,FD⊥BC,.AH/IFD 六上DE=<A=∠B∠C D B HDE ① ② 当，点F在AE的延长线上时，过，点A作AH⊥BC于，点H,如图② 12/16 由(Q)得∠HAE=∠B.∠C .AH⊥BC,FD⊥BC,∴.AH/IFD ∠DFE=∠HE=B-∠C 综上所述，∠DFE,∠B,∠C之间的数量关系 为∠DFE=引∠B-∠CL 专题训练二 教材母题 证明：（①）：BE,CF是△ABC的角平分线， :∠EBC=号∠ABC,∠FCB=号∠ACB, 六∠EBC+∠CB=∠ABC+∠ACB .∠BGC=180°-∠GBC-∠GCB ∠BGC=180∠ABC+∠ACB (2):∠ABC+∠ACB+∠A=180? .∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A :∠BGC=180-∠ABC+∠ACB, ∠BGC=1802180-∠A=90+2∠A. 13/16 变式训练 1.C 2.B 3.76 4.D 5.B 6.32 6 7.D 8.50 115 9.(1)(180-m-n) (2)(180-2p) 10.(1)①120 ②∠BPC=90+1∠A.证明如下」 ,∠A+∠ACB+∠ABC=180, .∠ACB+∠ABC=180°-∠A :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∠PBC=∠ABC,∠BCP∠ACB .∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°， ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP =1803∠ABC-克∠ACB =180'∠ABC+∠ACB 14/16 =180-2180∠A =90+4A (2)∠Q+∠BPC=180° (3)∠A的度数为45°或135 专题训练三 活动1搭等边三角形 1.4 2.(1)11根 (2)2n+1根 活动2多边形的三角剖分 1.解：如图（分割方法不唯一）： ① ② 从图形中可以看出，图①至少可以分割成3个三角形，图②至少可以分割 成6个三角形. 2.(1)表内第一行填：1,2,3,4,5 15/16 第二行填：2,5,9,14,20 (②)n-3nn-3 2 3.132 16/16