第十三章《三角形》暑期专项训练2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与性质，通过基础计算、性质综合及拓展探究，构建从概念到应用的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-4、填空11|等腰三角形边长计算、分类讨论|从定义出发，结合周长公式，强化三角形三边关系应用| |性质综合|单选3、10、填空12-13|内角和、角平分线、高线综合计算|以角平分线性质为桥梁，推导角度关系，体现几何直观| |拓展探究|单选7、21题|折叠问题、新定义“好玩角”|通过图形变换与规律探究，发展空间观念与推理能力|

人教版八年级上册数学第十三章《三角形》暑期专项训练 姓名： 班级： 一、单选题 1．等腰三角形底边长为2，周长为10，则此三角形的腰长为（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 2．等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．如图，在中，D、E分别在上，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 6．如图，直线，，若，则三角形的面积等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（　　  ） A．299 B．201 C．205 D．207 8．如图，以为边的三角形面积为2，其中点B的横、纵坐标均不超过4，且都不小于0，在下列叙述中，错误的是（   ） A．若点B的横坐标是4，则满足条件的点B有且只有1个 B．若点B是整点（即横、纵坐标都是整数）则满足条件的点B有4个 C．在坐标系内，对于任意满足题意的点B，一定存在一点C，使得三角形、三角形、三角形面积相等 D．在坐标系内，存在一个定点D，使得任意满足条件的点B，面积相等 9．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，的平分线BE，CD相交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是___________． 12．如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为_________． 13．如图在中，是与的角平分线的交点，的延长线交于，且，则的度数为______． 14．已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 15．如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为___________．    三、解答题 16．如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． (1)的三个顶点是什么?三条边是什么? (2)是哪些三角形的边? 17．如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 18．已知，如图，在中，角平分线，相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，，试求，之间的数量关系． 19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，并保留必要的画图痕迹． (1)在图①中画出关于直线的对称的图形； (2)在图②中画出的中线． (3)求出图③的面积． 20．（1）已知的三边长分别为a，b，c．化简：； （2）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． 21．如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 22．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 23．如图，一束光线沿方向射入，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，判断是不是等腰三角形，并说明理由．（提示：入射光线和反射光线与平面镜的夹角相等） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册数学第十三章《三角形》暑期专项训练 解析 一、单选题 1．等腰三角形底边长为2，周长为10，则此三角形的腰长为（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，熟记等腰三角形的两腰相等是解本题的关键． 【详解】解：∵底边为2，周长为10， ∴腰长是， 故选：B． 2．等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论． 【详解】解：若等腰三角形的三边长为：，满足三角形的三边关系， 则等腰三角形的周长为：； 若等腰三角形的三边长为：，满足三角形的三边关系， 则等腰三角形的周长为：, 综上，等腰三角形的周长为20或22； 故选：C． 3．如图，在中，D、E分别在上，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示，再在中，运用三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180度”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决． 4．如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设等腰三角形的底边长为： 则腰长为： 再根据三角形的周长列方程，解方程可得答案. 【详解】解：设等腰三角形的底边长为： 则腰长为： 故选： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键. 5．在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答案． 【详解】解：如图， 过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠； 先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠； 过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠； ∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确， 故选：C． 6．如图，直线，，若，则三角形的面积等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据，推出，再根据，推出，最后利用求得面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（　　  ） A．299 B．201 C．205 D．207 【答案】B 【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个小三角形，若有n个点时，一定是有2n+1个三角形，据此即可求解． 【详解】解：根据题意当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形； 当有2个点时，有5个小三角形； 当n=3时，有7个小三角形， …… 若有n个点时，一定是有2n+1个三角形． ∴三角形的个数为：2n=1=2×100+1=201， 故选B． 【点睛】此题主要考查了利用平面内点的个数确定三角形个数，根据n取比较的数值时得到的数值，找出规律，再利用规律解决问题． 8．如图，以为边的三角形面积为2，其中点B的横、纵坐标均不超过4，且都不小于0，在下列叙述中，错误的是（   ） A．若点B的横坐标是4，则满足条件的点B有且只有1个 B．若点B是整点（即横、纵坐标都是整数）则满足条件的点B有4个 C．在坐标系内，对于任意满足题意的点B，一定存在一点C，使得三角形、三角形、三角形面积相等 D．在坐标系内，存在一个定点D，使得任意满足条件的点B，面积相等 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，三角形的重心和中线性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 画出以OA为边的△OAB面积为2的格点B，可判断选项A和B，由三角形的重心和中点的性质可判断选项C和D，即可求解． 【详解】解：如图，画出以为边的面积为2的格点B， 故选项A错误，选项B正确； 当点C是三角形的重心时，则面积相等，故选项C正确； 当点D为的中点时，则面积相等，故选项D正确； 故选：A． 9．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 10．如图，在中，，的平分线BE，CD相交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据角平分线的定义求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后结合邻补角的性质求出的度数． 【详解】因为是的角平分线，且，根据角平分线的定义（将一个角分成两个相等的角），可得． 因为是的角平分线，且，同理可得． 在中，根据三角形内角和定理，可得． 由于与是邻补角，因此． 综上，的度数为，故选 ． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理及邻补角的性质．解题关键是通过角平分线拆分角度，再利用三角形内角和或邻补角关系推导目标角的度数． 二、填空题 11．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是___________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形． 根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等 ①当腰为时：三角形的周长为：； ②当腰为时：三角形的周长为：； 故答案为：或． 12．如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图在中，是与的角平分线的交点，的延长线交于，且，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，首先根据邻补角的概念求得：，再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵D是与的角平分线的交点， ∴， ∴． 故答案为：． 14．已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，根据的周长用表示出和的长度，再根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：设，由可得， 又∵的周长为， ∴． 则，解得：， 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 解第三个不等式得， 综上得，， 即． 15．如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为___________．    【答案】/度 【分析】根据平行线的性质，可得内错角相等，根据角的和差，可得、，根据三角形的内角和公式，可得答案． 【详解】解：如图，    根据方向角的定义，可得． ∵， ∴． ∵是正南正北方向， ∴， 又∵， ∴， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键． 三、解答题 16．如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． (1)的三个顶点是什么?三条边是什么? (2)是哪些三角形的边? 【答案】(1)的三个顶点是点，，，三条边是，， (2)是，，，的边 【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可； （2）根据三角形的边解答即可． 【详解】（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，； （2）解：是，，，的边． 【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念． 17．如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可； （）由点是中点得，又，从而求解； 此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．已知，如图，在中，角平分线，相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，，试求，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可； （3）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵角平分线，相交于点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵角平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵角平分线，相交于点， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理和角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的概念． 19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，并保留必要的画图痕迹． (1)在图①中画出关于直线的对称的图形； (2)在图②中画出的中线． (3)求出图③的面积． 【答案】(1) 即为所求： (2) 即为所求： (3) 【分析】本题考查作图—轴对称、中线、三角形面积，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质得出点、、的对应点、、的位置，顺次连接即可； （2）找到中点，连接即可； （3）用过点、、三点的矩形减去三个三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）的面积为． 20．（1）已知的三边长分别为a，b，c．化简：； （2）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． 【答案】（1）  （2）， 【分析】本题考查三角形三边关系，整式的加减，等腰三角形的定义，掌握分类讨论是解题的关键． （1）先根据三角形三边关系得到，，，然后去绝对值合并解题即可； （2）分为是腰长和是底边长两种情况分别计算，然后根据三角形三边关系将不合题意的解舍去． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）当是腰长时，底边是，则不能构成三角形； 当是底边长时，则腰的长为：， 则另外两边是，． 21．如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 【答案】(1) (2)； (3)和或和 【分析】（1）设，根据好玩角的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解； （2）根据好玩角的定义以及三角形外角的性质，即可求解； （3）由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图③，设， ∵经过两次折叠，是的好玩角， ∴， 又∵是的外角， ∴， 由题意， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，    ∵经过三次折叠是的好玩角， ∴第三次折叠的， ∵，， ∴， 由此可猜想经过n次折叠是的好玩角，则； 故答案为：；； （3）解：由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据题意： ， ∴， ∴m，n均为正整数， ∴有两种情况： ①，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； ②，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； 综上所述：三角形另外两个角的度数和或和． 【点睛】本题主要考查了折叠问题的综合题，涉及了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，图形类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 22．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 23．如图，一束光线沿方向射入，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，判断是不是等腰三角形，并说明理由．（提示：入射光线和反射光线与平面镜的夹角相等） 【答案】不是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的定义，根据入射角等于反射角，可得，根据三角形的内角和定理得，则，故，从而求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：不是等腰三角形，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $