第4讲 基本不等式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求梳理了不等式成立条件、重要变形及求最值方法，通过易错辨析和题型归纳，明确配凑法、常数代换法等高频考点，构建系统备考体系。 课件亮点在于“题型突破+真题演练”策略，如例1配凑法求最值、例2常数代换法应用，培养学生数学思维和模型观念，特设易错警示和对点训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第4讲 基本不等式 1 【课标要求】 掌握基本不等式 .结合具体实例，能用基本不等 式解决简单的最大值或最小值问题. 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.基本不等式 （1）基本不等式成立的条件：____________. （2）等号成立的条件：当且仅当______时取等号. , 2.几个重要的不等式 （1） _____ . （2） ___,同号 . （3） . （4） . 2 3 3.算术平均数与几何平均数 给定两个正数,,数____称为,的算术平均数;数称为, 的几何 平均数.基本不等式可叙述为：_________________________________ _____________. 两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数 4 4.利用基本不等式求最值问题 已知, . （1）如果积是定值,那么当且仅当时, 取得最小值,是 _____.（简记：积定和最小） （2）如果和是定值,那么当且仅当时, 取得最大值,是 _ __.（简记：和定积最大） 5 常用结论 1.若,则,当且仅当 时,等号成立. 2.若,则,当且仅当 时,等号成立. 3.若,,则,当且仅当 时,等号成立. 6 ◆ 课前演练 ◆ 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对任意,, 恒成立.( ) √ [解析] 由， 可得对任意, , 恒成立，故正确. 7 （2）若,，则 .( ) √ [解析] 由,，可得，即 ， 当且仅当 时，等号成立，故正确. （3）当,同号时， .( ) √ [解析] 因为当,同号时，,，所以 ， 当且仅当 时，等号成立，故正确. 8 题组二 教材改编 1.已知，则 的最小值为( ) A.2 B.4 C. D. [解析] 由，得， 当且仅当 时等号成立，所以函数 的最小值为4.故选B. √ 9 2.已知,，且 ，则( ) A.的最大值为1 B. 的最小值为1 C.的最大值为 D.的最小值为 [解析] 因为,，且，所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以 的最大值为1， 因为，且，所以 无最小值. 故选A. √ 10 3.已知，则 的最大值为( ) A. B. C. D.3 [解析] 由题意得，即 ， 当且仅当，即,或, 时等号成立， 所以的最大值为 .故选B. √ 11 探究点一 利用基本不等式求最值 题型1 配凑法求最值 例1（1）已知，则 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为，所以 ， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故 的最小值是3.故选C. √ 12 （2）[2026·湖南岳阳期末]已知,且 ，则 的最小值为( ) A. B. C.4 D.6 [解析] 方法一：由得 ， 则 ，当且仅当, 即时取等号，此时 ，则的最小值为 . √ 13 方法二：由得 ， 则 ， 当且仅当，即， 时取等号， 则的最小值为 .故选B. 14 题型2 常数代换法 例2（1）已知两个正实数,满足,则 的最小值为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 [解析] 因为,是正实数且 ， 所以 ， 当且仅当，即， 时取等号.故选A. √ 15 （2）[2026·河北沧州联考]已知,，且 ，则 的最小值为( ) A. B.7 C. D.8 √ 16 [解析] 由题意， ， 又 ， 当且仅当,时取等号，所以 ， 故选B. 17 题型3 消元法 例3 若,，且，则 的最小值是 ( ) A. B.2 C. D. [解析] 由得，即 ， 所以，当且仅当 ， 即 时，等号成立，故选B. √ 18 总结反思 1.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法 凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方 法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 2.常数代换法主要解决形如“已知为不等于0的常数 ,求 的最值” 或“已知为不等于0的常数，求 的 最值”的问题,通常将转化为或将 转化为 ，再利用基本不等式求最值. 19 3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略:当所求最值的代数式中 的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为 常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.#1.3 【对点演练1】（1）[2025·重庆江北区期末]若正实数， 满足 ，则 的最大值为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 [解析] 由得，则， 当且仅当 时，等号成立.故选D. √ 21 （2）已知正实数,满足,则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 由得 ， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故 的最小值为 .故选A. √ 22 （3）[2025·山东青岛期末]已知，若 ，则 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由，得 ， 即，即 ， 所以或，即或. 因为 ，所以，则， 当且仅当, 时取等号.故选D. √ 23 探究点二 基本不等式的常见变形 例4 已知, ,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. √ 24 [解析] 对于A,假设成立,则 , 即 ,与事实不符,故假设不成立,故A错误; 对于B,假设成立,则,即, 即 ,与事实不符,故假设不成立,故B错误; 对于C,假设 成立,则,即 , 与事实不符,故假设不成立,故C错误; 对于D,因为,所以 , 所以,所以 ,故D正确.故选D. 25 总结反思 基本不等式的常见变形 （1） . （2） . 26 【对点演练2】 （多选题）已知, ,则下列不等式一定成立 的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 27 [解析] 对于A,因为, ,所以, 当且仅当且 ,即 时取等号, 故A中不等式一定成立; 对于B，因为,当且仅当时取等号, 所以 ,故B中不等式不成立; 28 对于C，因为,当且仅当 时取等号, 所以 , 所以,当且仅当 时取等号，故C中不等式一定成立; 对于D，,当且仅当 时取等号, 故D中不等式一定成立.故选 . 29 探究点三 基本不等式的实际应用 例5 森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.某生 物小组研究表明某类昆虫在水平速度为 （单位：米/秒）时的跳跃 高度（单位：米）近似满足 的等量关系，则该类昆虫的 最大跳跃高度约为( ) A.0.2米 B.0.25米 C.0.45米 D.0.7米 [解析] 由可知，故 ， 当且仅当 时，等号成立. 于是该类昆虫的最大跳跃高度约为0.25米.故选B. √ 30 总结反思 利用基本不等式解决实际问题的策略： （1）根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数 的最值; （2）解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围; （3）在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的 单调性求解. 31 【对点演练3】 [2025·安徽铜陵期末] 现有一家物流公司计划租地建 造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占 地费万元与仓库到车站的距离千米的函数关系近似为 ； 每月库存货物费万元与的函数关系近似为 .这家公司应该 把仓库建在距离车站___千米处，才能使两项费用之和最少. 4 32 [解析] 因为， ，所以总费用为 ， 当且仅当时等号成立， 由，解得 或 （舍）. 故这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处,才能使两项费用之和最少. 33 $