第4讲 基本不等式课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求梳理了不等式成立条件、最值求法及实际应用等核心考点，通过分析近五年高考真题明确“最值问题”占比60%的高频考查方向，归纳出拼凑法、常数代换法等常考题型。 课件亮点在于“真题演练+方法建模+素养提升”，如以2025年北京卷基本不等式判断题为载体，详解常数代换法“1的代换”技巧，培养学生数学思维与模型观念。特设易错点辨析（如忽视等号条件）和答题模板，助力学生掌握得分关键，教师可依托系统资料实现精准复习指导。

第1章 集合、常用逻辑用语与不等式 第4讲 基本不等式 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.掌握基本不等式. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 2.几个重要的不等式 （1） _____ ； （2） ___,同号 ； （3） ； （4） . 3.算术平均数与几何平均数 设，，则，的算术平均数为，几何平均数为 ，基本不等式可叙述 为：____________________________________________. 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 1.基本不等式 （1）基本不等式成立的条件：_____________. （2）等号成立的条件：当且仅当______. 【知识要点】 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 4.利用基本不等式求最值问题 已知<m></m>，<m></m>， （1）如果<m></m>是定值<m></m>，那么当且仅当<m></m>时，<m></m>有最小值是<m></m>（简记：积定和 最小）. （2）如果<m></m>是定值<m></m>，那么当且仅当<m></m>时，<m></m>有最大值是<m></m>（简记：和定积最 大）. 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)≥2.(　　) (2)已知0<x<，则x(1-2x)的最大值为.(　　) (3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.(　　) (4)不等式a2+b2≥2ab与≥有相同的成立条件.(　　) (5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(　　) √ √ × × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 教材改编 2.[必修1p48T5]已知x>0，则2-3x-的最大值是　　　　. 2-4 [解析] 2-3x-=2-≤2-2=2-4， 当且仅当3x=，即x=时等号成立. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 3.[必修1p58T5]若a>0，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值为　　　　.  9 [解析] 由ab=a+b+3≥2+3，得ab-2-3≥0， 解得≥3(≤-1舍去)，即ab≥9. 当且仅当a=b=3时取等号. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 4.[必修1p45例1]当x≥2时，x+的最小值为　　　　.  3 [解析] 设x+2=t，则x+=t+-2. 又由x≥2得t≥4，而函数y=t+-2在[2，+∞)上是增函数， 因此当t=4，即x=2时，t+-2即x+取得最小值，最小值为4+-2=3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 5.[必修1p46T1]已知4a2+b2=6，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D.3 B [解析] 由题意得，6=4a2+b2=(2a)2+b2≥2·2a·b，即ab≤，当且仅当2a=b， 即a=，b=或a=-，b=-时等号成立， 所以ab的最大值为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 角度1.拼凑法求最值 考点1 利用基本(均值)不等式求最值 例1　(1)若0<x<，则y=2x(1-3x)的最大值是　　　　.  [解析] 因为0<3x<1，0<1-3x<1，所以利用基本不等式可得≥，整理得3x(1-3x)≤，即x(1-3x)≤，当且仅当3x=1-3x，即x=时等号成立， 所以2x(1-3x)≤. 故当x=时，y=2x(1-3x)取最大值为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 (2)(2025春·福建期中)已知a>0，b>0，则++b的最小值为(　　) A.4 B.2 C.4 D.2 D [解析] 因为a>0，b>0，所以++b≥2+b=b+≥2=2，当且仅当=，且b=，即a=2，b=1时取等号.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 [小结]1.拼凑法求最值 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键. 2.拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形; (2)代数式的变形以拼凑出和或积为定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 1.函数y=(x>1)的最小值为　　　　.  2+2 [解析] 因为x>1，所以x-1>0， 则y== ==(x-1)++2 ≥2+2.当且仅当x-1=，即x=+1时，取等号. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 2.(2025春·长安区校级月考)若实数m，n满足m>0，n>0，+=，则mn的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 D [解析] 因为m>0，n>0，+=， 所以+=≥2， 即2mn≥4×，得mn≥4，当且仅当=，即m2=6，n2=时取等号，所以mn的最小值为4.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 角度2.常数代换法求最值 例2　(1)已知0<x<1，则+的最小值是(　　) A.16 B.25 C.27 D.34 B [解析] 由0<x<1，得1-x>0， 因此+=[x+(1-x)]=17++≥17+2=25， 当且仅当=，即x=时取等号， 所以当x=时，+取得最小值25.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 (2)若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a，则+的最小值为　　　　.  4 [解析] 由a2+2b=b2+2a可得(a-b)(a+b-2)=0， 因为a>1>b>0，所以a-b≠0，即a+b-2=0， 则a-1+b=1，则+=·(a-1+b)=2++≥2+2=4， 当且仅当=，即a=，b=时等号成立， 故+的最小值为4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 [小结]1.常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值. 2.常数代换法求解最值应注意的问题 (1)条件的灵活变形,确定或分离出常数是基础; (2)已知等式化成“1”的表达式,是代数式等价变形的关键; (3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式取等号的前提条件. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 3.已知正数m，n满足2m+n=6，则+的最小值为　　　　.  [解析] 由2m+n=6得(2m+1)+(n+1)=8， 所以+ = [(2m+1)+(n+1)]· =≥+=， 当且仅当=，即m=，n=3时等号成立. 所以+的最小值为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 4.(2024·山西临汾·模拟)已知a>0，b>0，且a+2b-2ab=0，则8a+b的最小值是(　　) A. B.25 C.4 D.8 A [解析] 因为a+2b-2ab=0，所以+=2， 所以8a+b=(8a+b)=. 因为a>0，b>0，所以+≥8， 当且仅当=，即a=，b=时等号成立，则8a+b≥. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 角度3.消元法求最值 例3　已知x>0，y>0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为　　　　.  6 [解析] 解法一(换元消元法) 由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·， 即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0， 令x+3y=t，则t>0且t2+12t-108≥0， 得t≥6，当且仅当x=3y，即x=3，y=1时取等号. 即x+3y的最小值为6. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 解法二(代入消元法) 由x+3y+xy=9，得x=， 所以x+3y=+3y= == =3(1+y)+-6≥2-6 =12-6=6， 当且仅当3(1+y)=，即y=1，x=3时取等号，所以x+3y的最小值为6. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 变式探究 本例条件不变，则xy的最大值为　　　　.  3 [解析] 9-xy=x+3y≥2， ∴9-xy≥2，令=t，∴t>0， ∴9-t2≥2t，即t2+2t-9≤0， 解得0<t≤， ∴，∴xy≤3， 当且仅当x=3y，即x=3，y=1时取等号， ∴xy的最大值为3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 [小结]通过消元法求最值的方法 消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 5.设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是　　　　.  [解析] 解法一:令2x+y=t，则y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1， 整理得6x2-3tx+t2-1=0，其Δ=9t2-24(t2-1)=-15t2+24≥0， 解得-≤t≤，当t=时， 故2x+y的最大值是. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 解法二:由1=4x2+y2+xy=(2x+y)2-3xy=(2x+y)2-·2x·y≥(2x+y)2-，即(2x+y)2≤，当时，2x+y=. 故2x+y的最大值是. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 考点2 基本(均值)不等式的实际应用问题 例4　某项研究表明:在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位:辆/h)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位:m/s)及平均车长l(单位:m)的值有关，其公式为F=.若不限定车型，l=6.05，则最大车流量为(　　) A.1000辆/h B.1200辆/h C.1500辆/h D.1900辆/h D [解析] F===1900，当且仅当v=，即v=11时，等号成立，此时车流量最大为1900辆/h. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 [小结]利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 6.五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位游客在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野?(最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值)(　　) A. B. C.3 D.2 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 [解析] 如图所示: 已知AB=3，BD=3.5-1.5=2， 设CD=t，则tan∠BCD=，tan∠ACD=， tan∠ACB====， 所以当且仅当t=，即t=时等号成立， 因为∠ACB∈，所以当CD=时，可以获得观看的最佳视野. [答案] B 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 考点3 基本(均值)不等式的综合应用 角度1.求参数值或取值范围 例5　(2025春·平凉月考)已知a>b>1，且a3-b3=4a2-4b2-5a+5b，若a+b<λ恒成立，则λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 [解析] 因为a>b>1，且a3-b3=4a2-4b2-5a+5b，所以a2+ab+b2=4(a+b)-5， 即(a+b)2-4(a+b)+5=ab≤，当且仅当a=b时取等号，显然等号无法取得， 解得2<a+b<，若a+b<λ恒成立，则λ≥.故选A. [答案] A 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 角度2.基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例6　若锐角α，β满足3cos(α+β)=cos αcos β，则tan(α+β)的最小值为(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 D [解析] 3cos(α+β)=cos αcos β⇒3cos αcos β-3sin α·sin β=cos αcos β⇒tan αtan β=. 于是tan(α+β)==3(tan α+tan β)≥6=2， 当且仅当tan α=tan β=时取等号， 则tan(α+β)的最小值为2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 [小结](1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求参数的值或范围:观查题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 7.已知等比数列{an}满足a5a6a7=-27，则a2a6+a2a10+a6a10有(　　) A.最小值-9 B.最大值18 C.最小值27 D.最大值-81 C [解析] 方法一:因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3，所以a2=<0，所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27， 当且仅当-3a2=-，即a2=-3时取等号. 方法二:因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3， 所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27， 当且仅当a4=a8=-3时取等号. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 8.已知x，y>0，5x+12≤a(x+y)，则实数a的最小值是　　　　.  9 [解析] 因为x，y>0，所以≤a， 所以a≥， 又===9， 当且仅当x=y时，取等号，所以a≥9，所以实数a的最小值是9. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 走进高考 1.(2025·北京)已知a>0，b>0，则(　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+ C [解析] 对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误; 对于BD，取a=，b=，此时+=2+4=6<=8=+=2+4=6>=4=，故BD错误; 对于C，由基本不等式可得a+b≥2>，故C正确.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 2.(2025·天津)若a，b∈R，对∀x∈[-2，2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b的最小值为　　　　.  -4 [解析] 设t=2a+b，原题转化为求t的最小值， 原不等式可化为对任意的-2≤x≤2，tx2+(t-2a)x-a-1≤0， 不妨代入x=-，得t-(t-2a)-a-1≤0，得t≥-4， 当t=-4时，原不等式可化为-4x2+x-a-1≤0，即-+a2≤0， 观察可知，当a=0时，-(2x+1)2≤0对-2≤x≤2一定成立，当且仅当x=-时取等号， 此时，a=0，b=-4，说明t=-4时，a，b均可取到，满足题意， 故t=2a+b的最小值为-4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 $