第1章 第4讲 基本不等式(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课程标准要求掌握求最值及实际应用，通过考点分层（配凑法、常数代换法等）对接高考评价体系，结合2025年上海卷等真题及名校联考实例，归纳四大常考题型，明确高频考点权重，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题实战+技巧建模”，如典例2用常数代换法解析2025上海卷题，培养数学思维，总结“一正二定三相等”前提及消元、构造不等式等突破方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

第4讲　基本不等式 高三总复习数学 广东专版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课程标准 1.掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，并能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　 2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 ≥ a＞0，b＞0 2 常用结论 几个重要的不等式 当且仅当a＝b 时，等号成立. 自测诊断 1.(多选)下列说法错误的是 A.不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 B.函数y＝x＋(x＞0)的最小值为2 C.函数f(x)＝sin x＋的最小值为4 D.已知x，y均为实数，则“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件 √ √ √ 2.(链接人教A必修一P45例1)设a＞0，则9a＋的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 由x(10－x)≥0知0≤x≤10.当x＝0或10时，＝0；当0＜x＜10时，10－x＞0，由基本不等式可得≤＝5，当且仅当x＝10－x，即当x＝5时等号成立.综上，的最大值为5. 3.(链接人教A必修一P48复习巩固T1(2))的最大值为___. 5 设矩形的一边长为x m，面积为y m2，则另一边长为×＝m，其中0＜x＜10，所以y＝x≤＝25，当且 仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积为25 m2. 4.(链接人教A必修一P46例3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积为_____m2. 25 返回 考点探究　能力提升 返回 考点一　利用基本不等式求最值(高考超重点) 多维探究 因为x＞，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号. 角度1　配凑法 (1)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为____. 典例1 5 x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号. (2)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为_____. 灵活利用“1”的代换，再利用基本不等式计算即可. 易知b＋＝＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1，即a＝，b＝2时取得最小值. 角度2　常数代换法 (1)(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为____. 典例2 4 灵活利用“1”的代换，再利用基本不等式计算即可. 由x＞0，y＞0，且＋＝1，可得xy＝x＋y，所以4xy－3x＝4x＋4y－3x＝x＋4y，所以x＋4y＝(x＋4y)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号，所以4xy－3x≥9. (2)(2025·湘豫名校联考)已知正实数x，y满足＋＝1，则4xy－3x的最小值为____. 9 因为正实数a，b满足＋b＝1，＝1－b＞0，0＜b＜1，＝·2b＝(1－b)·2b＝2·b·(1－b)≤2＝，当且仅当b＝1－b，即b＝，a＝2时等号 成立. 角度3　消元法 (1)已知正实数a，b满足＋b＝1，则的最大值为_____. 典例3 因为x2＋2xy－3＝0，x＞0，y＞0，所以y＝，x∈(0，)，所以2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时 取等号. (2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值为_____. 3 角度4　构造不等式法 (多选)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是 A.a2＋b2的最小值为2 B.a＋b的最大值为2 C.＋的最小值为2 D.lg a＋lg b＜0 典例4 √ √ 对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，当且仅当a＝b时等号成立，则a2＋b2≤2，故A不正确；对于B，由ab≤≤≤1，当且仅当a＝b时等号成立，得≤1，即a＋b≤2，故B正确；对于C，由＋＝＝＝＋＝－. 因为0＜ab≤1，所以≥1，当＝1时，＋取得最小值为2，故C正确；对于D，因为0＜ab≤1，所 以lg a＋lg b＝lg(ab)≤0，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故D不正确.故选BC. 利用基本不等式求最值的方法 规律方法 前提：“一正”“二定”“三相等” 配凑法 一般形如“y＝ax＋b＋或y＝ax(c－bx)(b≠0)”的形式常用配凑法求最值 常数代换法 一般形如“已知x＋y＝t(t≠0)，求＋(ab≠0)的最值”或“已知＋＝t(t≠0)，求ax＋by(ab≠0)的最值”的问题常用常数代换法求最值 规律方法 前提：“一正”“二定”“三相等” 消元法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值 构造不等式法 当已知含“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值时，可利用“公式”转化为解不等式或构造定值求最值 还有直接法、换元法等都可以求“和为常数”或“积为常数”的形式的最值 因为x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，所以3x＋9y≥2＝2＝2，当 且仅当时，等号成立，所以3x＋9y的最小值为 2.故选A. 对点练1.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则3x＋9y的最小值为 A.2 B.3 C.3 D.2 √ 法一 ：由a＋2b＝ab得b＝.因为b＞0，所以a－2＞0，所以2a＋b＝2a＋＝2(a－2)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当a－2＝，即a＝b＝3时，等号成立.故选B. 法二：因为a＞0，b＞0，且a＋2b＝ab，所以＝＋＝1.所以2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a ＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.故选B. 对点练2.(一题多解)若a＞0，b＞0，且a＋2b＝ab，则2a＋b的最小值为 A.6 B.9 C.4 D.8 √ 对点练3.(多选)(2025·山东青岛模拟)若实数a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是 A.a＋b≤8 B.ab≥16 C.a＋3b≥4＋6 D.＋≥ √ √ √ 对于A，由a＋b＋8＝ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t，则t2－4t－32≥0，解得t≥8或t≤－4.因为a＞0，b＞0，则a＋b≥8，故A错误；对于B，由ab－8＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设＝s，则s2－2s－8≥0，解得s≥4或s≤－2.因为s＞0，则s≥4，即ab≥16，故B正确； 对于C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1＞0，且a＝，则a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6，当且仅当＝3(b－1)，即b＝＋1，a＝3＋1时取等号，a＋3b有最小值4＋6，故C正确；对于D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1＞0，b－1＞0，则＋≥2 ＝，当且仅当＝时等号成立，由即当且仅当a＝，b＝7时，＋，故D正确.故选BCD. 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 师生共研 由题意＋≥m恒成立，即5＋＋≥m恒成立.又5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时取等号.故实数m的最大值为 9.故选D. (1)若不等式＋≥恒成立，则实数m的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.9 √ 典例5 因为不等式x＋＜m2－3m有解，所以＜m2－3m. 因为x＞0，y＞0，＋＝1，所以x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时等号成立，所以m2－3m＞4，所 以(m＋1)(m－4)＞0，所以m＜－1或m＞4.故选D. (2)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是 A.{m｜－1＜m＜4} B.{m｜m＜－4，或m＞1} C.{m｜－4＜m＜1} D.{m｜m＜－1，或m＞4} √ 利用基本不等式求参数的值或取值范围时，一般需要结合题目特征，分离参数，利用基本不等式求解，常用的求解方法有两种：一是“∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a”；二是“∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a”. 规律方法 对点练4.已知a＞0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.8 因为x＞－1，x＋1＞0，所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号，所以x＋有最小值2－1.因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以 2－1≥3，解得a≥4，所以a的最小值为4.故选C. √ 对点练5.已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是 A.(－∞，4＋6) B.(6＋4，＋∞) C.(－∞，7＋4) D.(8＋4，＋∞) √ 因为(x－1)(y－2)＝2，x＞0，y＞0，所以xy＝2x＋y，即＋＝1，所以由基本不等式可得3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当时等号成 立，综上所述，3x＋2y的最小值为7＋4.因为不等式3x＋2y＞m恒成立，所以m＜7＋4.故选C. 考点三　利用基本不等式解决实际问题 师生共研 典例6 (双空题)(链接人教A必修一P58T9)某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210 元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，则S的最小值为________，此时x的值为_______. 118 000 由题意知，AM＝，又AM＞0，则0＜x＜10，S＝ 4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×＝4 200x2＋ 42 000－210x2＋＝4 000x2＋＋ 38 000≥2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即 x＝时等号成立，所以当x＝时，S取最小值118 000. 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 规律方法 对点练6.近年来冬季气候干燥，冷空气频繁袭来，为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为 A.5千米 B.6千米 C.7千米 D.8千米 √ 设供热站到社区的距离为x(x＞0)千米，则月自然消费y1＝，月供热费y2＝k2x.由题意得当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝＝，所以y1＝，y2＝x.所以两项费用之和为y1＋y2＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即x＝5时等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为5千米.故选A. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为 A. B.4 C. D.2 √ 由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，所以ab的最大值为2.故 选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.(2025·山东齐鲁名校大联考一模)已知实数x＞0，y＞0，x＋3y＝2，则＋的最小值为 A.3 B.1＋ C.2＋ D.2＋ 因为x＞0，y＞0，且x＋3y＝2，所以＋＝＝≥2＋＝2＋，当且仅当＝，即y＝，x＝－1 时取等号.故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.设实数x，y满足x＋y＝1，y＞0，x≠0，则＋的最小值为 A.2－1 B.2＋1 C.－1 D.＋1 √ 当x＞0时，＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x＜0时，＋＝＋＝＋－1≥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2－1＝2－1，当且仅当＝，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1.所以＋的最小值 为2－1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.已知x＞0，y＞0，且x＋y－xy＋3＝0，则xy的最小值为 A.3 B.3 C.9 D.27 √ 由题意可知xy＝x＋y＋3≥2＋3，当x＝y＝3时等号成立，即xy－2－3≥0.令＝t(t＞0)，则t2－2t－3≥0，解得t≥3或t≤－1(舍)，即≥3，xy≥9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.已知a＞b，且ab＝8，则－2的最小值为 A.6 B.8 C.14 D.16 √ 因为ab＝8，所以＝＝a－b＋.因为a＞b，所以a－b＞0，所以a－b＋≥2＝8，即≥8，当且仅当a－b＝4时，等号成立，故－2的最小值为6.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造 价是 A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 √ 由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y＝20×4＋ 10×(2x＋)≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价是160元.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(多选)下列各式中，最小值是6的有 A.x＋ B.2x2＋ C. D. √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，由于x可能为负，所以x＋的最小值不是6，故A错误；对于B，因为x2＋1＞0，所以2x2＋＝2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x2＝1时等号成立，故B正确；对于C，＝＋＋4，当x，y异号时其最小值应小于4，故C错误；对于D，因为＞0，所以＝＝＋≥2＝6，当且仅当x＝8时等号成立，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (多选)下列说法正确的是 A.函数y＝2x＋(x＜0)的最大值为－4 B.函数y＝的最小值为2 C.函数y＝x＋(x＞－2)的最小值为6 D.若x＋y＝4，则x2＋y2的最小值为8 教师备选 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，对于函数y＝2x＋(x＜0)，2x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当－2x＝，即x＝－1时等号成立，故A正确；对于B，y＝＝＋≥2＝2，当＝时，无实数解，所以等号不成立，故B错误；对于C，对于函数y＝x＋(x＞－2)，x＋2＞0，x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时等号成立，故C正确；对于D，由基本不等式得≥，所以x2＋y2≥2·＝2×22＝8，当且仅当x＝y＝2时等号成立，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.(多选)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 A.x2＋y的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.log2x＋log4y没有最大值 √ √ 因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以y＝1－x，x∈(0，1).所以x2＋y＝x2－x＋1＝＋，当x＝时，x2＋y的最小值为，故A正确；＋＝＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 y＝时等号成立，故B错误；＝x＋y＋2＝1＋2≤1＋x＋y＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立，故＋≤，即＋，故C正确；log2x＋log4y＝log2x＋log2＝log2，x2y＝x2＝x·x·≤)3＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时等号成立，所以x≤.所以log2x＋log4y有最大值log2，故D错误.故选AC. [注：本题答案D用的三元均值不等式，详细掌握见本章教材拓展1，同时也可运用导数法求x2的最值] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.设实数a＞0，x＋(x＞－2)的最小值为6，则a＝_____. 由于a＞0，x＋2＞0，根据基本不等式x＝x＋2＋－2≥2 －2＝2－2，当且仅当x＝－2时，x＋(x＞－2)取到最小值2－2，即2－2＝6，解得a＝16. 16 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.已知a＞1，b＞0，且＋＝1，则2a＋b的最小值为______. 因为a＞1，b＞0，a－1＞0，所以2a＋b＝2(a－1)＋b＋2＝[2(a－1)＋b] ＋2＝7＋＋≥7＋2＝11，当且仅当即a＝4，b＝3时等号成立. 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(2025·河北石家庄一模)已知x∈，则f＝＋的最小值为 A. B. C. D. √ x∈，－x∈，4－x∈，f＝＋＝＝(17＋＋)≥(17＋2)＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(2025·河南郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为_________. 12－8 设AE＝x，AF＝y，，则EF＝ .因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋ ＝4，因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅 当x＝y＝4－2时取等号，故≤＝4－2，则 xy≤24－16，则△AEF面积满足xy≤12－8.故△AEF面积的最大值为12－8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)(多题同解)(1)已知正数x，y满足xy＝8，求的最大值； 解：根据题意，＝xy－2x－y＋2， 因为2x＋y≥2＝8，所以－2x－y≤－8， 从而xy－2x－y＋2≤8－8＋2＝2，当且仅当2x＝y＝4时，等号成立， 所以的最大值为2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求的最小值； 解：根据题意， ＝＝＝＋＋8≥2＋8＝8＋4，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立， 所以的最小值为8＋4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (3)已知正数x，y满足x＋2y＋xy＝30，求： ①xy的最大值； 解：因为x＞0，y＞0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号). 令＝t(t＞0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3. 又t＞0，所以0＜t≤3，即0＜≤3， 所以0＜xy≤18，故xy的最大值为18. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 ②2x＋y的最小值. 解：由x＋2y＋xy＝30可知，y＝＞0，0＜x＜30， 所以2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(2025·天津红桥一模)已知a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为 A.4 B.2 C.4 D.2 √ 因为a＞0，b＞0，所以＋＋b≥2＋b＝b＋≥2＝2，当且仅当＝，且b＝，即a＝2，b＝1时，取等号，所以＋＋b的最 小值为2.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为 A.9 B.1 C. D.4 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题意可知，z＝x2－3xy＋4y2，所以＝＝.因为x＞0，y＞0，所以＋－3≥2－3＝1，当＝，即x＝2y时，等号成立，此时取最大值为1，z＝xy＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋＝－＋4，当y＝时，上式取得最大值4，所以＋－ 的最大值为4.故选D. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 基本不等式 $