学易金卷：九年级数学9月学情自测卷（四川成都专用，新教材北师大版九上第1～2章：特殊平行四边形+一元二次方程）

**基本信息** 立足北师大版九年级上册1-2章，以中国结、赵爽弦图等文化素材及DeepSeek对话等科技情境为载体，分层考查一元二次方程与特殊四边形，适配月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|一元二次方程定义、菱形判定、根的判别式|结合人行横道菱形标志（几何直观）、DeepSeek对话（创新意识）| |填空题|10/40|配方法、菱形面积、坐标系中点坐标|中国结面积计算（文化传承）、动点最小值问题（空间观念）| |解答题|8/78|方程求解、菱形与矩形证明、几何解法探究|欧几里得与赵爽几何解法（推理能力）、动点面积模型（模型意识）|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] A卷第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][CJ[D] 7.A][B][C][D] 8.[A][B][CJ[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共20分） 9. 10. 11 12. 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 14.(8分)解方程： (1)x(x-3)=x-3 (2)2x2-7x+3=0 15.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(10分) 17.(10分) xx+10 D x+10 x+10 x C A x+10x 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 18.(10分) B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 20. 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) D D D G B B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~2章。 A卷（共100分） 第Ⅰ部分（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 6．如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 7．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的个数是（     ） ①的垂直平分线交于点； ②； ③当时，； ④当为中点时，． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ部分（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 10．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 12．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 13．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）解方程： (1) (2) 15．（满分10分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 16．（满分10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 17．（满分10分）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 18．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示） (2)当时，的面积为__________； (3)①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示） ②当的面积为时，直接写出的值为__________． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．已知，且，，则__________． 20．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边和上，若，，则小正方形的边长为______________________． 21．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 22．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 23．如图，在中，，以的三条边为边作三个正方形，得到正方形，正方形，正方形，且点N恰好是边的中点．若图中阴影部分的面积为8，则边的长为__________________________． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进A，B两种型号的自行车共50辆，但投入的资金不超过3万元，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 25．（满分10分）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 26．（满分12分）【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． (1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） (2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】 (3)如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~2章。 A卷（共100分） 第Ⅰ部分（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 6．如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 7．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的个数是（     ） ①的垂直平分线交于点； ②； ③当时，； ④当为中点时，． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ部分（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 10．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 12．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 13．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）解方程： (1) (2) 15．（满分10分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 16．（满分10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 17．（满分10分）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 18．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示） (2)当时，的面积为__________； (3)①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示） ②当的面积为时，直接写出的值为__________． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．已知，且，，则__________． 20．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边和上，若，，则小正方形的边长为______________________． 21．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 22．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 23．如图，在中，，以的三条边为边作三个正方形，得到正方形，正方形，正方形，且点N恰好是边的中点．若图中阴影部分的面积为8，则边的长为__________________________． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进A，B两种型号的自行车共50辆，但投入的资金不超过3万元，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 25．（满分10分）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 26．（满分12分）【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． (1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） (2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】 (3)如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~2章。 A卷（共100分） 第Ⅰ部分（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 5．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 6．如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 7．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理与完全平方公式，求出，进而算出菱形面积． 【详解】解：四边形为菱形，， ，，， ， ，即， ， ，即， ， ∴， 故该标志的占地面积为． 8．如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的个数是（     ） ①的垂直平分线交于点； ②； ③当时，； ④当为中点时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，利用直角三角形斜边中线定理得，根据垂直平分线的判定即可判断①；结合已知得，利用等边对等角得、，结合三角形外角性质可得，即可判断②；设，则，结合等腰直角三角形性质及勾股定理用含的式子表示，列比例式化简即可判断③；结合垂直平分线性质可证、是等边三角形，利用三线合一证得，利用直角三角形性质得，根据同高三角形面积规律计算面积比即可判断④． 【详解】解：如图，连接， ，是中点， ， 点到、距离相等，即在垂直平分线上，故①正确； ∵，， ， ， ， ∵， ∴， ，故②正确； 当时，为等腰直角三角形，， 设，则，，， 在中，， ，故③正确； 当为中点时，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴， 为等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ， ，故④错误； 综上，正确的①②③，共3个． 第Ⅱ部分（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 10．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】96 【分析】根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 12．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】首先根据菱形的性质得到，，推出轴，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在轴上， ∴轴，即轴， ∵点的坐标为， ∴，点B的横坐标为3， ∴点B的纵坐标为， ∴点的坐标为． 13．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 【答案】/ 【分析】连接，根据对称性得到，进而得到，易得为等边三角形，根据三线合一和勾股定理求出的长即可. 【详解】解：连接， ∵菱形的周长为4，， ∴，垂直平分， ∴为等边三角形，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值是. 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 15．（满分10分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 16．（满分10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 17．（满分10分）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 18．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题： (1)点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示） (2)当时，的面积为__________； (3)①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示） ②当的面积为时，直接写出的值为__________． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题； （3）①当点运动到线段上时，，计算即可； ②当的面积为时，分三种情况讨论：点在线段上，在线段上，在线段上，分别求出的面积和运动时间之间的数量关系，再把分别代入求出的值并判断是否符合题意． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点是的中点， 点的坐标为， ∴． 四边形是正方形，且点在第一象限， ∴，， 点的坐标为． ∵，， ∴， ∵点P以每秒个单位长度的速度运动， ∴点在线段上时，， ∴． （2）解：，点的速度为每秒个单位长度， 点从点运动到点用时秒， 当时，点已经经过点，进入到线段上， ． （3）①当点运动到线段上时，，点在上的移动距离为， 点的横坐标为，即， ； ②当的面积为时，分三种情况讨论： 情况：当点在线段上时，，点的横坐标， ， 令，即， 解得，不符合题意，舍去； 情况：当点在线段上时，，点的横坐标一直为， 此时，所以点不可能在线段上，不符合题意，舍去； 情况：当点在线段上时，，把直接代入①中， 即，解得，因为，符合题意． 综上所述，当的面积为时，点在线段上，． 【点睛】本题考查动点问题，分段进行计算是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 20．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边和上，若，，则小正方形的边长为______________________． 【答案】 【分析】将每个小正方形分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，根据，，列出二元一次方程组，求出x和y，再求出边长即可． 【详解】解：如下图，将每个小正方形分成四个全等的直角三角形和一个正方形， 设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y， ， ∴， 解得， ∴小正方形的边长为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键． 21．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 22．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 【答案】 【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式． 【详解】解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ， ∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 23．如图，在中，，以的三条边为边作三个正方形，得到正方形，正方形，正方形，且点N恰好是边的中点．若图中阴影部分的面积为8，则边的长为__________________________． 【答案】 【分析】设交于点H，交于点L，由及正方形的性质得，，，推导出，，可证明，得，再证明，得，推导出，求得，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点H，交于点L， ∵，四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴B、C、E三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进A，B两种型号的自行车共50辆，但投入的资金不超过3万元，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 【答案】(1)该商城4月份卖出自行车辆 (2)A型车购进40辆，B型车购进10辆利润最大 【分析】（1）根据某运动商城自行车销售量自2021年起逐月增加，设该商城前4个月自行车销量的月平均增长率为x，由1月份销售自行车数量与3月份销售自行车数量之间的关系建立方程，解出自行车销量月平均增长率x的值，进而求出该商城4月份卖出自行车数量； （2）该商城准备购进A，B两种型号的自行车共50辆，且全部售完使利润最大，则设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元，用含字母a的代数式表示总利润；根据商城投入的资金不超过3万元建立不等式，解出a的取值范围；再根据一次函数图象的增减性找出a值进而确定商城的进货方案． 【详解】（1）解：设该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，根据题意得： ， ∴， ∵， ∴， 解得， 故该商城4月份卖出自行车数量为：（辆）． （2）解：设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元， 根据题意得：， ∵，解得， 又因为，y随a的增大而减小， 所以，当a取最小值40时，y有最大值． ∴A型车购进40辆，B型车购进10辆时，该商城利润最大． 25．（满分10分）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 26．（满分12分）【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． (1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） (2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】 (3)如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用菱形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质，即可解答； （2）先连接，再利用菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，进行解答即可； （3）如图③，取的中点，连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质和判定证出．连接，证明，得出，从而得，过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方，连接，则可得，结合点在的内部或边上运动，得出当点在上时，最短，的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是菱形的对角线，且， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∵点都落在对角线上， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图②，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是菱形，且， ∴，与互相垂直平分，， ∴，是等边三角形， ∴． ∵三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴是直角三角形，． ∴． （3）解：如图③，取的中点，连接， ∴． ∵是菱形的对角线，且， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴． 连接， 由（2）可知，是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， 过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方（包含点），连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，最小值为，此时点在上， 设交于点，连接， ∵点在的内部或边上运动， ∴， ∴当点在的边上时，最小，即最小， ∵四边形是菱形， ∴点与点关于对角线对称， ∴此时点与点重合， 即的最小值为的长． ∵是等边三角形，为的中点，， ∴,， ∴． 即的最小值为． 答：增设的灌溉水管的最小值为． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A D B D C C 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 9. 4 10. 11. 96 12. 13. / 3、 解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.【详解】（1）解： 或 解得，．（4分） （2） 或 解得，．（8分） 15.【详解】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形；（3分） （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴．（6分） ∵四边形是矩形， ∴，， ∴．（10分） 16.【详解】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即，（4分） ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴．（10分） 17.【详解】】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长；（3分） （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或，（4分） 因为为正数， 所以，（5分） 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即．（10分） 18.【详解】（1）解：点A的坐标为，点是的中点， 点的坐标为， ∴．（1分） 四边形是正方形，且点在第一象限， ∴，， 点的坐标为． ∵，， ∴，（2分） ∵点P以每秒个单位长度的速度运动， ∴点在线段上时，， ∴．（3分） （2）解：，点的速度为每秒个单位长度， 点从点运动到点用时秒， 当时，点已经经过点，进入到线段上， ．（5分） （3）①当点运动到线段上时，，点在上的移动距离为， 点的横坐标为，即， ；（6分） ②当的面积为时，分三种情况讨论： 情况：当点在线段上时，，点的横坐标， ， 令，即， 解得，不符合题意，舍去；（7分） 情况：当点在线段上时，，点的横坐标一直为， 此时，所以点不可能在线段上，不符合题意，舍去；（8分） 情况：当点在线段上时，，把直接代入①中， 即，解得，因为，符合题意．（9分） 综上所述，当的面积为时，点在线段上，．（10分） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 20. 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.【详解】（1）解：设该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，根据题意得： ，（1分） ∴， ∵， ∴， 解得，（2分） 故该商城4月份卖出自行车数量为：（辆）．（3分） （2）解：设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元， 根据题意得：，（4分） ∵，解得，（6分） 又因为，y随a的增大而减小， 所以，当a取最小值40时，y有最大值． ∴A型车购进40辆，B型车购进10辆时，该商城利润最大．（8分） 25.【详解】（1）解： ；（2分） （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为；（4分） （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（6分） 设，则， ∴ （8分） ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8．（10分） 26.【详解】（1）解：∵是菱形的对角线，且， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∵点都落在对角线上， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴．（3分） （2）解：如图②，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴．（4分） ∴． ∵四边形是菱形，且， ∴，与互相垂直平分，， ∴，是等边三角形， ∴． ∵三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴是直角三角形，． ∴．（6分） （3）解：如图③，取的中点，连接， ∴． ∵是菱形的对角线，且， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴．（7分） 连接， 由（2）可知，是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴，（8分） 过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方（包含点），连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，最小值为，此时点在上， 设交于点，连接， ∵点在的内部或边上运动， ∴，（10分） ∴当点在的边上时，最小，即最小， ∵四边形是菱形， ∴点与点关于对角线对称， ∴此时点与点重合， 即的最小值为的长． ∵是等边三角形，为的中点，， ∴,， ∴． 即的最小值为． 答：增设的灌溉水管的最小值为．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： A卷第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解方程： (1) (2) 15. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. （10分） 17.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（10分） B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．_________________ 20．_________________ 21．________________ 22．_________，________ 23．________，________ 　　 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $