精品解析：广东惠州市惠台学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试卷

2026年广东惠州九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，相交于O点，E为的中点，连接．若，则的长度为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 20 5. 三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 下列命题正确的是（ ）． A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形 8. 如图，一次函数与的图象交于点，则下列说法： ①对于函数来说，随的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ②③ 9. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 10. 如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 8 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 直线向下平移个单位长度得到的直线的解析式是_________． 13. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是_________． 14. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 15. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________________． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明：四边形是菱形． 18. 如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． （1）求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： （1）_________，_________，_________． （2）求该校八（1）班前5名学生成绩的方差． （3）两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 20. 跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳每根的进价之和为元；甲种跳绳每根获利元，乙种跳绳每根获利元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根，一共花费元． （1）甲、乙两种跳绳的进价分别是多少元/ 根？ （2）若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏进行实验． 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】建立平面直角坐标系，如图②所示，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y； （1）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在，请求出直线解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： （2）供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； （2）如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： （3）如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点，点，一次函数经过点． （1）求线段的长； （2）动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒． ①当的面积为6时，请求出的值； ②在线段上存在点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东惠州九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，化简二次根式，解题的关键在于熟知最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选；D． 2. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义，利用垂线法判断图象与垂直于  轴的直线的交点个数. 【详解】解：根据函数的定义，对于  的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应， 选项 A、B、D 的图象中，任意作垂直于  轴的直线，与图象均只有一个交点， ∴ 选项 A、B、D 中  是  的函数， ∵ 选项 C 的图象中，存在垂直于  轴的直线与图象有两个交点， ∴ 选项 C 中  不是  的函数. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，，相交于O点，E为的中点，连接．若，则的长度为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 5. 三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式化简原等式得到，利用勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵是三角形的三边长， ∴这个三角形是直角三角形． 6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【详解】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可， 故选：B． 7. 下列命题正确的是（ ）． A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质和判定定理分别进行分析即可． 【详解】A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，A说法错误； B选项：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如下图所示： C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下图． D选项：如图，取菱形ABCD四边的中点E、F、G、H， 依次连接E、F、G、H， 连接AC，BD，交于M点， ∵E、F分别为AB，CB中点， ∵EF//AC，EF＝AC， 又∵G、H分别为CD、AD中点， ∴HG//AC，HG＝AC， ∴EF//AC//HG，EF＝HG＝AC， ∴四边形EFGH为平行四边形， 同理有EH∥BD//FG， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC， 故∠BMA＝90°， ∴另得∠HEF＝90°， ∴平行四边形EFGH为矩形， 故D选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握菱形、矩形、正方形的判定和性质定理． 8. 如图，一次函数与的图象交于点，则下列说法： ①对于函数来说，随的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】先观察图象解答①，②；再根据函数图象在上方的函数值大解答③；然后将代入两个函数关系式，即可解答④． 【详解】解：观察图像可知函数，函数值y随着x的增大而增大，则①不正确； 函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限，则②正确； ∵两个函数与都经过点， ∴不等式的解集是，则③正确； ∵两个函数与都经过点， ∴， ∴， 即，则④不正确， 所以正确的有②③． 9. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，证明四边形是菱形；设的交点为O，利用勾股定理，菱形的面积解答即可． 【详解】解：∵两张等宽度的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴． 过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∵在和中 ∵， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设的交点为O， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， 故纸条的宽度是． 10. 如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知，当时，，此时直线平移后过点，图②中点位置表示直线平移后过点，点位置表示直线平移后过点，当时，，此时直线平移后过点．如图①，当时，直线平移后解析式为，可得，，从而可以求得当直线过点时与轴的交点为，直线过点时．由直线从点平移到过点，对应从变化到，历经的时间为秒，求得点坐标为，进而求得的长，最后根据计算求解即可． 【详解】当时，，此时直线平移后过点，图②中点位置表示直线平移后过点，点位置表示直线平移后过点，当时，，此时直线平移后过点，直线移动过程如图所示． 当时，直线平移后的解析式为， 令，则，即点坐标为， ， 点坐标为． 当直线经过点时，设直线解析式为， 代入点坐标得， 此时，直线与轴交点为． 点坐标与之间的距离为， 对应从变化到， 当直线经过点时，． 当从变化到时，该直线被矩形的边截得的线段长度为没有变化， 对应坐标向左平移个单位， 点坐标为． 又四边形为矩形， ， 点坐标为， ， ． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数是非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解得． 12. 直线向下平移个单位长度得到的直线的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】直线的平移遵循“上加下减，左加右减”，直线向下平移时只需改变解析式的常数项即可． 【详解】解：原直线解析式为，平移后可得： 因此平移后直线的解析式为． 13. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是_________． 【答案】 【解析】 【分析】一组数据每个数据同时加上同一个常数，数据波动程度不变，方差不变，结合原数据方差即可得结果． 【详解】解：设原数据的平均数为， ∵ 原数据的方差， 设新数据的平均数为， 可得， 新数据的方差， 将代入上式， 得． 14. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由勾股定理可得的长，再根据作图得出的长，即可求解． 【详解】解：由图可得，， 在中，， 在中，， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E， ∴， ∴点E表示的数为． 15. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用正方形的性质得到，，进而得到的中点的坐标为，再分当点在上时、当点在上时、当点在上时三种情况，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，， ∴的中点的坐标为，， 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点的坐标为； 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂，绝对值，二次根式的乘法，解答即可． 【详解】解：原式 ． 17. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是正确作出图形，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． （1）求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【小问1详解】 解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴处的游船到岸边的距离为米． 【小问2详解】 解：由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： （1）_________，_________，_________． （2）求该校八（1）班前5名学生成绩的方差． （3）两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 【答案】（1）86；85；85 （2）22.8 （3）八（2）班前5名的整体成绩较好. 理由：八（2）班的方差为：， 八（1）班的平均数小于八（2）班的平均数，且八（2）班的方差小于八（1）班的方差， 八（2）班前5名的整体成绩较好． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可； （2）根据方差公式进行计算即可； （3）根据平均数和方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：八（2）班成绩重新排列为：79，85，85，89，92， ∴， ∵85出现次数最多， ∴， 八（1）班成绩重新排列为：77，85，85，86，92， ； 【小问2详解】 解：由题意得： 八（1）班的方差为：； 【小问3详解】 略 20. 跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳每根的进价之和为元；甲种跳绳每根获利元，乙种跳绳每根获利元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根，一共花费元． （1）甲、乙两种跳绳的进价分别是多少元/ 根？ （2）若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 【答案】（1） 甲种跳绳的进价为元/ 根，乙种跳绳的单价为元/ 根. （2） 购进甲种跳绳根，乙种跳绳根时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）设甲种跳绳的进价为元/根，则乙种跳绳的单价为元/ 根，列一元一次方程求解即可； （2）设购买了根甲跳绳，则购买了根乙跳绳，根据费用不超过元，列不等式求出的取值范围，列出利润关于的一次函数解析式，根据一次函数的性质即可求出结果． 【小问1详解】 解：设甲种跳绳的进价为元/ 根，则乙种跳绳的进价为元/ 根， 根据题意可得：， 解得：， ， 答：甲种跳绳的进价为元/ 根，乙种跳绳的单价为进/ 根； 【小问2详解】 解：设购买了根甲种跳绳，则购买了根乙种跳绳， 根据题意可得：， 解不等式得：， 则获得的利润为， 整理得：， ， 随着的增大而减小， 当时，利润最大， 最大利润为， , 答：当购买根甲种跳绳，根乙种跳绳时所获得的利润最大，最大利润为元． 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏进行实验． 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】建立平面直角坐标系，如图②所示，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y； （1）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在，请求出直线解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由． 【结论应用】应用上述发现的规律估算： （2）供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】（1）在，直线解析式为 （2）78厘米 （3）22点钟 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点，观察各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）利用前面求得的函数表达式求出时，y的值即可得出箭尺的读数； （3）利用前面求得的函数表达式求出时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【小问1详解】 解：如图②， 观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上， 设这条直线所对应的函数表达式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴供水时间为14小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午，， ∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． （1）如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； （2）如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： （3）如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】（1）60，60 （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； （2）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，则，结合菱形的判定方法即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，，由全等的性质得到，如图所示，过点E作于点G，运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴， 由（2）得到， ∴， 如图，过点E作于点G， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点，点，一次函数经过点． （1）求线段的长； （2）动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒． ①当的面积为6时，请求出的值； ②在线段上存在点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请求出的值． 【答案】（1） （2）①或②的值为或5 【解析】 【分析】（1）分别求出、点坐标，将点代入中，确定函数的解析式，求出点坐标，即可求的长； （2）①根据点的运动情况可知，则的面积，解得或； ②以点，，，为顶点的四边形是正方形，即以点，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，设，分3种情况讨论：当且时；当且时；当且时；分别利用三角形全等的性质求的值即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ， 当时，， ， 将点坐标代入， ， ， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：①动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， 的面积， 则 解得或； ②∵在线段上， ∴设， 以点，，，为顶点的四边形是正方形，即以点，，为顶点的三角形为等腰直角三角形， 当且时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得； 当且时，过点作轴交于， 同理， ，， ∵， ∴，解得， ， 解得； 当且时，过点作轴交于，过点作交于， 同理， ，， ，解得， ， ， ， ， 解得； 综上所述：的值为或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $