第二十六章二次函数章末训练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册二次函数章末同步练，通过基础巩固、中档综合、拔高探究三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、图象性质（开口/顶点/对称轴）、简单平移|选择1-5/填空11-13，直接考查概念辨析与基本运算，落实抽象能力| |中档|函数值比较、平移综合、实际应用（面积/利润）|选择6-8/填空14-15/解答19-20，结合几何直观与生活情境，体现模型意识| |拔高|动态几何、综合探究（存在性问题）|选择9-10/填空16/解答21，需逻辑推理与多知识点融合，发展推理能力与创新意识|

第二十六章二次函数章末训练2026-2027学年 人教版九年级上册 一、选择题 1．下列函数中不属于二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4.在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 5.已知点都在二次函数   的图象上，且，则的大小关系是（      ） A． B． C． D． 6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7.二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（     ）    A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m 10．如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 13.已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m______n．（填“”、“ ”或“”）． 14.如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是 ． 15．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 16. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A、B在抛物线y＝x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），b的值为 　　 ． 三、解答题 17.已知二次函数的图象经过，两点． （1）求b和c的值； （2）自变量x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小？ 18．如图，已知抛物线y＝a(x﹣1)2+h与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）． （1）求该抛物线的表达式； （2）点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标． 19.家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）． （1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？ （2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？ 20.某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为50元，经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体解析式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w(元)． (1)求w关于x的函数解析式； (2)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大？最大利润是多少？ 21.如图所示，抛物线（≠0）与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，6），对称轴为直线=1．点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(1＜m＜4)，连接AC，BC，DC，DB． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是轴上的动点，点N是抛物线上的动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章二次函数章末训练2026-2027学年 人教版九年级上册 一、选择题 1．下列函数中不属于二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 【答案】C 3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 4.在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 5.已知点都在二次函数   的图象上，且，则的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 7.二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 8．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 9．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（     ）    A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m 【答案】B 10．如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 12．已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 13.已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m______n．（填“”、“ ”或“”）． 【答案】 14.如图，抛物线与直线的交点为，．当时，的取值范围是 ． 【答案】 15．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 【答案】3.25 m 16. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A、B在抛物线y＝x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），b的值为 　　 ． 【答案】2 三、解答题 17.已知二次函数的图象经过，两点． （1）求b和c的值； （2）自变量x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小？ 【答案】 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 由（1）可知：， 则抛物线的对称轴为直线，，开口向上， ∴当时，随的增大而减小． 18．如图，已知抛物线y＝a(x﹣1)2+h与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）． （1）求该抛物线的表达式； （2）点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标． 【答案】（1）解：由题意，抛物线y＝a(x﹣1)2+h与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），则 解之得 ∴该抛物线的表达式为 （2）解：当y=0时，， 解得：x1=﹣2，x2=4， ∴A（﹣2，0），B（4，0） 又∵点E是线段BC的中点， ∴E（2，2）， 设直线AE的解析式为：y=kx+b， 解得 直线A E的解析式为 解得 由图可得点D的坐标为（3，） 19.家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）． （1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？ （2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）AB边为5m时，猪舍面积为90m2； （2） AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2． 【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝27+1﹣2x＝（28﹣2x）m， 由题意得：x（28﹣2x）＝90， 整理得：x2﹣14x+45＝0， 解得：x1＝5，x2＝9， 当x＝5时，28﹣2x＝28﹣10＝18＞13，不合题意舍去， 当x＝9时，28﹣2x＝28﹣18＝10＜13，符合题意， ∴AB＝9m， ∴所围矩形猪舍的AB边为5m时，猪舍面积为90m2； （2）设AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，猪舍面积为Sm2，由题意得： S＝x（28﹣2x）＝﹣2x2+28x＝﹣2（x﹣7）2+98， ∵﹣2＜0， ∴当x＝7时，S有最大值，最大值为98， 此时28﹣2x＝28﹣14＝14＞13，不和题意， ∴当X＝8时，28﹣2x＝28﹣16＝12＜13， 此时，S＝﹣2（8﹣7）2+98＝﹣2+98＝96（m2）， ∴所围矩形猪舍的AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2． 20.某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为50元，经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体解析式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w(元)． (1)求w关于x的函数解析式； (2)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1）解：． 所以w关于x的函数解析式为． （2）． 因为，所以w有最大值．当时，w的值最大，为2450． 答：当绿茶的销售单价是85元/千克时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元． 21.如图所示，抛物线（≠0）与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，6），对称轴为直线=1．点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(1＜m＜4)，连接AC，BC，DC，DB． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是轴上的动点，点N是抛物线上的动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：由题意得：  ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． （2）过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于点F，如图所示： ∵点A 的坐标为（-2，0）， ∴OA=2， ∵点C得坐标为（0，6）， ∴OC=6， ∴S△AOC=×OA × OC=×2×6=6， ∴S△BCD=S△AOC=×6=， 当y=0时，-x2+x+6=0， 解得x1=-2，x2=4， ∴B(4，0)， 设直线BC的函数解析式为y＝kx＋n，则解得， 即直线BC的函数解析式为y＝-x＋6， 则点D的坐标为（m，-m2＋m＋6）， 点G的坐标为（m，-m＋6）， ∴DG＝-m2＋m＋6-（-m＋6）＝-m2＋3m， ∵点B的坐标为（4，0）， ∴OB＝4， ∴S△BCD＝S△CDG＋S△BDG＝DG∙CF＋DG∙BE＝DG（CF＋BE）＝DG∙BO， ＝×（m2＋3m）×4＝-m2＋6m， 则有-m2＋6m＝， 解得m1＝1，m2＝3， ∵1＜m＜4， ∴m的值为3． （3）存在， 由（2）得，m=3， 则y＝-＋＋6＝， ∴D（3，）， 分两种情况讨论： 当DB为对角线时，如图， 易知， ∴点D与点N关于直线x=1对称， ∴N( -1，   )，DN=4， ∴BM=4， 又∵B(4，0)， ∴M1(8，0) ， 当DB为边时，有以下三种情况： 情况1：如图， N(-1，)，DN=4， ∴BM=4， 又∵B(4，0)， ∴M2(0，0) ， ∵D(3，)，B(4，0)， 根据D→B与M→N的平移规律一致，易知点N的纵坐标为， 将 代入中，得 ， 解得x1=1+，x2=1-， 情况2：如图， 当x=1+时，点N的位置如图（3）所示， 分别过点D，N作x轴的垂线，垂足分别为点E，Q， ∵DM=BN，DE=NQ， ∴△DEM≌△NQB， ∴EM=BQ， ∵BQ=1+-4=-3， ∴EM=-3， 又∵E（3，0）， M3(，0 )， 情况3：如图， 当x=1-时，点N的位置如图所示，则N（1-，）， 分别过点D，N作x轴的垂线，垂足分别为点G，H， ∵DB=NM，NG=DH， ∴△MGN≌△BHD， ∴MG=BH=4-3=1， ∴点M的横坐标为1--1=-， ∴M4( - ，0 )， 综上所述，点M的坐标为（8，0），（0，0），(，0 )或( -, 0 ) ． 学科网（北京）股份有限公司 $