第二十六章 二次函数 章末训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第二十六章二次函数单元复习卷，全面覆盖二次函数图像性质、解析式求解、实际应用等核心知识点，通过基础巩固与综合应用题梯度设计，培养抽象能力、推理意识和模型意识，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|二次函数图像上点的坐标比较（1题）、解析式系数（2题）、方程解的范围（3题）|基础概念辨析与图像性质应用结合，如第6题通过表格数据判断抛物线开口方向与根的范围，培养数据分析能力| |填空题|6题|函数与x轴交点（9题）、对称轴（10题）、实际问题函数关系（11题）|设置分类讨论（9题含一次函数与二次函数两种情况）和动态几何情境（11题栅栏围仓库），渗透数学抽象| |解答题|5题|利润最大化（15题）、抛物线交点与证明（16题）、几何与函数综合（17题）|注重模型应用与逻辑推理，如15题建立利润函数解决最值问题，17题结合菱形与抛物线考查数形结合，体现数学思维与语言表达|

第二十六章 二次函数 一、单选题 1．若点，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 2．二次函数，下列说法错误的是（    ）． A． B．二次项为 C．一次项系数为 D．常数项为 3．根据下表确定方程的解的取值范围是（　　） … 4 5 6 13 5 … 5 13 A．或 B．或 C．或 D．或 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象经过点和，则对应的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的与的部分对应值如下表： … … … … 关于此函数的图象和性质有如下判断： ①抛物线开口向下．②当时，函数图象从左到右上升． ③方程的一个根在与之间． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　） A． B． C． D．1 8．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 10．若点是抛物线上的两个点，则_____ 11．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 12．已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是_____． 13．在二次函数y＝-x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y -14 -7 -2 2 m n -7 -14 则m、n的大小关系为__________． 14．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 三、解答题 15．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 16．已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 18．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 19．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，点的坐标是，顶点的坐标是，是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记，的面积分别为，．当，且直线时，求证：点与点关于轴对称． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D A B A B 1．B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴并利用函数的增减性解答是解题的关键． 根据二次函数的对称轴为轴，二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：， 函数图象开口向上， 二次函数的对称轴为轴， 当时，随的增大而增大， ， ， 故选：． 2．C 【分析】根据二次函数的定义即可求解，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：二次函数， A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. 二次项为，故该选项正确，不符合题意； C. 一次项系数为，故该选项不正确，符合题意； D. 常数项为，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 3．A 【分析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围． 【详解】解：根据表格，当和时，， 当和时，， ∴该方程的解的取值范围为或， 故选：A． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的关键． 4．D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了待定系数法解二次函数解析式．由二次函数的图象经过两点，将两点坐标代入二次函数解析式得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出二次函数的解析式. 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 代入点 得：，即 ①， 代入点 得：，即 ②， ② － ① 得： ，即 ， 将 代入①得：，即 ， ∴ 抛物线表达式为 ， 故选： A． 6．B 【分析】根据函数图象具有对称性和表格可知对称轴和顶点坐标，以及开口方向，从而可以判断选项是否正确，从而得出答案． 【详解】解：根据表格可知：①函数的对称轴为，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，故函数图象是抛物线，且开口向下，符合题意； ②函数对称轴为，当，y随x的增大而减小，所以函数图象从左至右下降，不符合题意； ③当时，，当时，，所以方程的一个根在与之间，符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，解题的关键是正确理解题意、熟练掌握其性质． 7．A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故选：A． 8．B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 9．或 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质：当函数为一次函数时满足题意，当函数为二次函数时，，据此即可求解． 【详解】解：当，即时，函数为，是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意，故； 当，即时，函数为二次函数，要使其与x轴只有一个交点， 则，即，解得； 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 10． 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，求出抛物线的对称轴是解题的关键．根据二次函数的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求出b的值． 【详解】解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向上，即可得到，解得，问题得解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴． 故答案为： 13．m＞n 【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，得函数对称轴；再根据二次函数图像的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，得当和时，函数值相等， ∴对二次函数称轴为 ∵ ∴二次函数y＝-x2+bx+c开口向下，即当时，y随着x增大而减小 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 14． 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 15．(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 16．(1) (2) (3) 证明：当时，， 解得：， ； 当时，，解得：， ， ， ， 即， ， 则有：， ， ． 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点等知识点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点求解方法． （1）将点代入即可求解． （2）联立和，结合，解出，即可解答． （3）分别求出，结合即可证明． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：． （2）解：由题意得， ， ， ∴解得：． 当时，， 与的交点坐标为． （3）略 17．(1) 证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）略 （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 18．(1) (2) (3)解：； 证明：∵点和在二次函数， ∴， 得：， ∴， ∵点和在二次函数， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴. 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点A不在坐标轴上，得到即可得到答案． （3）由点和在二次函数，可得，抛物线对称轴为直线，进一步证明即可. 【详解】（1）解：当时，图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵函数图象过点和， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵函数图象过点和， ∴根据函数图象的对称性可得， ∵， ∴． （3）略 19．(1)该抛物线的解析式为 (2) 证明：过点作轴，垂足为，    当与都以为底时， ∵， ∴， 当时，则，解得， ∵点的坐标是， ∴， ∴，， 设点的坐标为， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式， ∵， ∴，即直线的解析式为，将其代入中，得， 解得或-1， ∵点在第二象限，， ∵， ∴点与点关于轴对称； 【分析】（1）将点的坐标是，顶点的坐标是代入求解即可得到答案； （2）过点作轴，垂足为，根据得到，设点的坐标为并求出，再求出直线的解析式，结合求出的解析式，根据交点求出点N的坐标即可得到答案； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，顶点的坐标是， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $