4.4.3　不同函数增长的差异课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，基础落实与素能提升各5题，覆盖函数增长差异的概念辨析、数据拟合到综合应用，通过问题情境培养数学眼光与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实|单一函数增长速度比较、数据规律拟合、简单图象分析|选择题结合具体函数（如eˣ、log₂x），解答题聚焦二次函数与指数函数模型比较，夯实概念理解| |素能提升|函数图象交点、实际增长问题（营业额/运动路程）、跨情境建模|多选题考查图象信息提取，解答题融合生活情境（锻炼评分），提升推理能力与应用意识|

4.4.3　不同函数增长的差异 一、基础落实 1.下列函数中,y随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A.y=ex B.y=ln x C.y=2x D.y=e-x 2.某校开展研究学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据: x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 给出下列四个模拟函数,能近似地反映这些数据的规律的是(　　) A.y=0.58x-0.16 B.y=2x-3.02 C.y=x2-5.5x+8 D.y=log2x 3.若x∈(1,2),则下列结论正确的是(　　) A.2x>>lg x B.2x>lg x> C.>2x>lg x D.>lg x>2x 4.(多选题)在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示. 下列说法正确的是(　　) A.前5 min温度增加的速度越来越快 B.前5 min温度增加的速度越来越慢 C.5 min以后温度保持匀速增加 D.5 min以后温度保持不变 5.某汽车制造商在2024年初公告:公司计划2024年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示. 年份 2021 2022 2023 产量/万辆 8 18 30 将2021年,2022年,2023年,2024年定义为第一、第二、第三、第四年,现在有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系? 二、素能提升 6.设集合A={(x,y)|y=2x},B={(x,y)|y=x2},则A∩B的元素个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 7.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知当年9月份两食堂的营业额又相等,则当年5月份(　　) A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定哪个食堂的营业额较高 8.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论: ①当x>1时,甲走在最前面; ②当x>1时,乙走在最前面; ③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面; ④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面; ⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲. 其中,正确结论的序号为　　　　　.  9.如图,在平面直角坐标系中,过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A,B两点,过点B作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C,若直线AC平行于y轴,则点A的坐标是　　　　　.  10.某学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,且每天能用于锻炼的课余时间有90 min.现制订一个课余锻炼考核评分细则,需要建立一个每天得分y(单位:分)与当天锻炼时间x(单位:min)的函数关系,要求:A.每天运动时间为0 min时,当天得分为0分;B.每天运动时间为30 min时,当天得分为3分;C.每天得分最多不超过6分.现有以下三个函数模型供选择.①y=kx+n(k>0,n∈R);②y=k·1.2x+n(k>0,n∈R);③y=klog2(+2)+n(k>0,n∈R). (1)请选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式; (2)求每天得分不少于4.5分时,至少需要锻炼的时间.(结果保留整数,参考数据:≈1.414) 参考答案 一、基础落实 1.A 2.D 解析:A项,y=0.58x-0.16的增长速度不变,不符合题意.B项,y=2x-3.02的增长速度越来越快,不符合题意.C项,y=x2-5.5x+8在x≥3时增长速度越来越快,不符合题意.D项,y=log2x的增长速度越来越慢,符合题意.故选D. 3.A 解析:∵x∈(1,2),∴2x>2,∈(1,),lg x∈(0,1).∴2x>>lg x. 4.BD 解析:由题中图象可知前5 min温度增加,但是增加的速度越来越慢,所以B中说法正确,A中说法错误. 5 min以后图象是一条水平线,所以温度保持不变,故D中说法正确,C中说法错误. 5.解:建立年产量y与年份x的函数,可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30). (1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点的坐标代入,可得解得则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1. (2)构造指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),将点的坐标代入,可得解得a=,b=,c=-42,则g(x)=·()x-42,故g(4)=×()4-42=44.4,与计划误差为1.4. 由(1)(2)可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系. 二、素能提升 6.C 解析:集合A为函数y=2x图象上的点构成的点集,集合B为函数y=x2图象上的点构成的点集,如图,两个函数的图象有三个交点,所以A∩B的元素个数为3.故选C. 7.A 解析:设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可知,m+8a=m(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m(1+x)4=.因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2.故当年5月份甲食堂的营业额较高. 8.③④⑤ 解析:作出四个函数的图象(图略),根据图象易知,③④⑤正确. 9.(log32,2) 解析:由题意设点A(n,3n),B(m,3m), 由9n=32n=3m得m=2n,即n=,则点A(). 又因为A,B,O三点共线,所以设直线AB对应的函数解析式为y=kx(k>0),则 解得m=2log32,所以n=log32,3n=2. 所以点A的坐标为(log32,2). 10.解:(1)由题意知函数的增长速度比较慢,而模型②呈爆炸式增长,所以②不合适.若模型①合适,则由要求A和B可得n=0,k=,即y=x,则当x=80时,y=8>6,不符合要求C,故模型①不合适.故选模型③:y=klog2(+2)+n(k>0,n∈R). 将x=0,30以及相应的y值分别代入解析式,得所以y=3log2(+2)-3(0≤x≤90). 当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6,满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以符合要求的函数模型的解析式为y=3log2(+2)-3(0≤x≤90). (2)由y=3log2(+2)-3≥4.5,得log2(+2)≥,即+2≥=4≈5.656,所以x≥54.84≈55. 所以每天得分不少于4.5分时,至少需要锻炼55 min. 5 学科网（北京）股份有限公司 $