4.4.3不同函数增长的差异2同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数增长差异，分层设计基础巩固、模型应用、综合拓展三阶练习，通过实际情境与数据分析，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数增长特性|直接应用概念（如一次函数变化量计算）| |中档|函数模型选择与辨析|结合实际数据选择模型（如沙漠化数据拟合）| |提升|复杂情境分析与应用|综合比较与决策（如植树方案优劣分析）|

不同函数增长的差异2 1、 选择题 1．【2026·河北石家庄高一期末】已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(　　) A．y减少1个单位 B．y增加1个单位 C．y减少2个单位 D．y增加2个单位 【答案】C 【解析】结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确． 2．【2025-2026·吉林四平月考】下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝1　　 B．y＝x C．y＝3x D．y＝log3x 【答案】C 【解析】结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x. 3．【2026·河南·专题练习】某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 【答案】C 【解析】用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项． 4．【2026·河北石家庄高一期末】函数y＝2x－x2的图象大致是(　　) A　　　 　B　　　 　　C　　 　D 【答案】A 【解析】分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D，故选A. 5.【2026·天津高一期末】若，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，结合，及的图象易知，当时，，本题选择A选项. 6．【2025-2026·吉林四平月考】在一次试验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由试验数据得到下面的散点图．下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A． y＝a＋bx B． y＝a＋bx C． y＝a＋logbx D．y＝a＋ 【答案】B 【解析】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数函数模型． 7．(多选)【2026·河北石家庄高一期末】当a>1时，下列结论正确的有(　　) A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快 【答案】AD 【解析】结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．故选AD. 8．(多选)【2025-2026·吉林四平月考】以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知a>1，则对任意的x>0，ax>logax C．对任意的x>0，xa>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xa>logax 【答案】BD 【解析】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错误；对于选项B，因为a>1，所以结合指数函数及对数函数图象，易知对任意的x>0，ax>logax，故B正确；对于选项C，当0<a<1时，结合图象易知对任意的x>0，xa>logax不恒成立，故C错误；对于选项D，当a>1时，结合图象易知，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xa>logax，但若去掉限制条件“a>1”，则结论不成立，故D正确． 2、 填空题 9．【2026·天津高一期末】某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示． 以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________． 【答案】②③　 【解析】结合图象可知②③正确，故填②③. 10．【2026·河北石家庄高一期末】函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . 【答案】y＝x2　 【解析】当x变大时，x比ln x增长要快， ∴x2要比xln x增长的要快．] 11．【2025-2026·吉林四平月考】某商场2020年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)； ②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f(x)＝x2＋px＋q. (1)能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)； (2)若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________. 【答案】(1)③　(2)x2－8x＋17　 【解析】(1)①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③. (2)由f(1)＝10，f(3)＝2，得 解得p＝－8，q＝17， 所以，f(x)＝x2－8x＋17.] 三、解答题 12．【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 【解析】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)． 13．【2026·天津高一期末】某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度． t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 【解析】 据表中数据作出散点图如图： 由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理． 将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)． 当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第8年的松树高度为2米． 14.【2026·河南·专题练习】每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？ 【解析】 试题分析：最优方案问题，需要将两种方案的函数模型都求解出来，再进行比较，得到最优方案。本题中，方案一的函数模型为，方案二的函数模型为，根据题意，将代入，进行比较即可。 试题解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)， 因为15.386>15，所以方案二较好． 学科网（北京）股份有限公司 $ 不同函数增长的差异2 1、 选择题 1．【2026·河北石家庄高一期末】已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(　　) A．y减少1个单位 B．y增加1个单位 C．y减少2个单位 D．y增加2个单位 2．【2025-2026·吉林四平月考】下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝1　　 B．y＝x C．y＝3x D．y＝log3x 3．【2026·河南·专题练习】某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 4．【2026·河北石家庄高一期末】函数y＝2x－x2的图象大致是(　　) A　　　 　B　　　 　　C　　 　D 5.【2026·天津高一期末】若，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 6．【2025-2026·吉林四平月考】在一次试验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由试验数据得到下面的散点图．下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A． y＝a＋bx B． y＝a＋bx C． y＝a＋logbx D．y＝a＋ 7．(多选)【2026·河北石家庄高一期末】当a>1时，下列结论正确的有(　　) A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快 8．(多选)【2025-2026·吉林四平月考】以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知a>1，则对任意的x>0，ax>logax C．对任意的x>0，xa>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xa>logax 2、 填空题 9．【2026·天津高一期末】某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示． 以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________． 10．【2026·河北石家庄高一期末】函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . 11．【2025-2026·吉林四平月考】某商场2020年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)； ②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f(x)＝x2＋px＋q. (1)能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)； (2)若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________. 三、解答题 12．【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 13．【2026·天津高一期末】某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度． t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 14.【2026·河南·专题练习】每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？ 学科网（北京）股份有限公司 $