精品解析：四川省部分学校2026-2027学年高三上学期9月联考数学试题

高2027届数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，则， ， 所以. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 3. 已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式结合相等向量的概念、充分条件与必要条件的定义分析即可. 【详解】先判定充分性，对于时， 易知， 满足充分性； 再判定必要性，假设是平面中两两夹角的单位向量， 易知满足成立，但不满足，即必要性不成立，所以A正确. 4. 已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 5. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 6. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 7. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式将方程转化成，再结合正弦函数图像及对称性求解即可. 【详解】， 则，即， 即 ∵，∴     令，则, 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，与共有5个交点， 所以： 其中， 即，， 解得， 所以. 故选：C 8. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的对称性，求出数列的通项公式，再利用数列性质及函数对称性求和可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数的图象关于点成中心对称， 所以，若，则. 由，得当时，， 两式相减得，整理得，即， 因为，，所以，即， 所以对任意正整数，都有， 所以数列为常数列，故，即， 由得数列是等差数列， 所以， 故， 所以. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ） A. 曲线W围成的封闭图形面积为4+2π B. 若圆与曲线W有8个交点，则 C. 与的公切线方程为 D. 曲线W上的点到直线的距离的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项可将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，即可判断； B选项可直接由图讨论判断对错； C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线； D选项可先找到，的公切线方程为，曲线W上的点到直线的距离的最小值即为平行线间的距离. 【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆， 所以其面积为，故A选项正确. 当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G； 当或时，没有交点；当时，交点个数为8，故B选项错误. 设与的公切线方程为， 由直线和圆相切的条件可得， 解得，（舍去）， 则其公切线方程为，即，故C选项正确. 同理可得，的公切线方程为， 则两平行线的距离，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 为偶数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用累加法得即可判断ABC选项，对于D，，再根据裂项相消法可得的和，接着简单放缩即可判断. 【详解】根据题意，当时，， 累加得， ，易知也满足，所以， ，故A正确； ，故B正确； 为奇数，故C错误； ，， ， ， 即，故D正确； 故选：ABD. 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在C上，则 C. 点N在椭圆上，若，则 D. 过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目给的伯努利双纽线的概念，结合圆锥曲线中的焦点概念，直线与圆锥曲线的关系，分别判断各选项的正误. 【详解】由题意，，即， 对于A，因曲线过原点，将代入，解得，故A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，故错误； 对于，椭圆的焦点坐标恰好为与，则， 由，得：， 则，，故C正确； 对于D，设，则，而，则， 又根据勾股定理得，则，化简得， 解得，因此，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】 【分析】转化条件为，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 13. 在中，，，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，由结合正弦定理可得，两者结合利用基本不等式求最值. 【详解】由可得， 两边平方得：，又， 所以，即， 所以，所以， 由，根据正弦定理角化边得，所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数．若的最小值为，则实数a的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式，问题转化为在有解问题，然后令，利用导数求出的最小值即可得结果. 【详解】（利用了） 等号成立的条件是，即有解． 令，则， 易得． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角的对边分别为的面积为且满足 （1）求角的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知，应用三角形面积公式、余弦定理得，再由三角恒等变换得，即可求角； （2）由及三角形面积公式得，结合余弦定理有，联立求边长，进而求面积. 【小问1详解】 由余弦定理，得 所以，又， 所以，可得， 所以，，则； 【小问2详解】 由，则， 即，则， 由余弦定理有，即， 所以，可得， 所以，则，可得，所以. 16. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： （1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； （2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）记“低碳出行”为事件，根据二项分布的期望公式计算可得答案； （2）根据全概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 记“低碳出行”为事件，估计. 则，， ； 【小问2详解】 由（1）知，则有， 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， 所以. 17. 在四棱锥中，平面，是中点． （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面夹角的正弦值； ②若在线段上存在点，使得点到平面的距离为，试求的值． 【答案】（1） 证明： 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面及平面的法向量，利用向量法可得夹角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，求平面的法向量，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 设平面与平面所成角为，则，即 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 若存在点满足题意，设，， ，即， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 18. 已知函数，且. （1）求; （2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； （3）证明：对任意的，均有. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）证明：由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【小问1详解】 由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 平面直角坐标系中，，其中,直线与直线交于点 的轨迹为椭圆 的一部分． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与E交于两点， ①若 ，求实数的取值范围； ②已知点，直线与分别交于另一点为，令直线的斜率为，求 的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意表示出直线的方程和直线的方程，将两式相乘，化简即可求得答案； （2）①设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，由，可得，代入根与系数的关系，结合不等式性质求解，即可得答案；②由三点共线，推得，设直线（斜率不为0）的方程并联立椭圆方程，结合根与系数的关系可求出C点坐标，同理得D点坐标，即可表示出，结合化简，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得，直线的方程为； 直线的方程为，即； 两式相乘得，化简得； 故结合题意可知椭圆E的方程为； 【小问2详解】 ①由于直线l的斜率大于0. 故设直线l的方程为，， 由得， 需满足，解得， 则， 而， 由，可得 ， 由于，故，则，则， 故，即； ②由于三点共线，所以，即， 整理得， 设直线（斜率不为0）的方程为， 联立，得，， 则， 又，， 故， 所以， 同理可得， 则， 将代入上式，得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 6. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 7. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ） A. 曲线W围成的封闭图形面积为4+2π B. 若圆与曲线W有8个交点，则 C. 与的公切线方程为 D. 曲线W上的点到直线的距离的最小值为4 10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 为偶数 D. 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在C上，则 C. 点N在椭圆上，若，则 D. 过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 13. 在中，，，则的最小值为_____． 14. 已知函数．若的最小值为，则实数a的最小值是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角的对边分别为的面积为且满足 （1）求角的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的面积． 16. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： （1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； （2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 17. 在四棱锥中，平面，是中点． （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面夹角的正弦值； ②若在线段上存在点，使得点到平面的距离为，试求的值． 18. 已知函数，且. （1）求; （2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； （3）证明：对任意的，均有. 19. 平面直角坐标系中，，其中,直线与直线交于点 的轨迹为椭圆 的一部分． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与E交于两点， ①若 ，求实数的取值范围； ②已知点，直线与分别交于另一点为，令直线的斜率为，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $