四川德阳外国语学校2027届高三上学期第一次月考数学试卷

**基本信息** 结合女篮世界杯调查等社会热点情境，覆盖高三一轮核心知识，梯度设计适配月考诊断需求，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、不等式、向量、立体几何|基础概念辨析，如第4题空间线面关系充分条件判断| |多选题|3/18|函数性质、不等式应用|多选项分层考查，如第11题导数几何意义与切线存在性| |填空题|3/15|分段函数、三角恒等变换、公切线|第14题曲线公切线问题综合导数应用| |解答题|5/77|统计概率、数列、解三角形、导数、新定义|第15题女篮世界杯调查情境融合独立性检验与分布列；第19题距离新定义问题对接高考创新题型，考查逻辑推理|

德阳外国语学校高2024级高三上期2026年9月第一次月考数学试卷-【教师正稿】 【满分150分，考试时间120分钟】 题号 1234567891011 答案DBACA A C B AD ABD BCD 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.集合A={x1≤x≤2，B={xx<2,则A∩B=（ A.{r<2 B.{xx≥1} C.0,1} D.{-1≤x<2 1.【答案】D【解析】： 2.不等式21的解集为（ A.{x≤0} B.{xx≤0或x>} C.{x0≤x<1或x>1} D.{r209 2.【答案】B【解析】： 3.已知向量a=(12),万=(m,-3),若ā1，则=( A.3V5 B.3V5 C.33 D.6 3.【答案】A【解析】： 4.已知直线m,n与平面a,B,y,则能使a⊥B成立的充分条件是（ A.a⊥y,B⊥yB.mlla,mllp C.mlla,mLB D.m⊥n,a∩B=m,ncB 4.【答案】C【解析： 5.函数)-+cas2x的部分图象大致为( A. A:c. 6.有三个数：a=25,b=sin,c=log,3,大小顺序正确的是（ A.c>a>b B.axc>b C.a>b>c D.b>a>c 6【答案】A【解折1ka=2-2=5,1长a号，b=nl<1, 6=g,3>1e返-g:2-,所以e>a>h.故选：A 7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：gL)与时 间t(单位：h)间的关系为P=Be,其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染 物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477）( 1/8德阳外国语学校高2024级【2027届】高三上期2026年9月第一次月考数学试卷--【教师正稿】--【19.(3)【证明略】 A.10h B.12h C.14h D.16h 【答案】C【解析：因为P=Re”,即1 =1-e, 设消除号的污染物大约需要山，由题意 1-e=1 e5、2 3 3 -5k=m2 ,取对数可得 两式相比可得纟= lg3 可得 2， 即 1-e= 1 e-lito 5 2- 3 1g3-1g2' 3 3 3 3 则= 51g3 5×0.477 g3-1g20.477-0.301 1355≈14，所以要消除号的污染物大约需要14h.故选：C。 8.已知函数f()=血(-)，g(y=,若f()=g),则3-的取值范围是（ A. B.[1,+m) C.[2,+o) D.[e,+oo) &【答案】B【解析】：令f(s)=gs)=1,则血(5-)=专=1，所以x=e+1,6=, 所以x-x2=e2+1-et.令h(t)=e+l-et,则h(t)=e-e,则h(t)在(-w,l)上单调递减， 在(1，+o∞)上单调递增，故h(t)m=h(1)=1,故-x2的取值范围是[1，+o).故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.设z=i,则( A.三=-iB.z=i C.z2=1 D.z-i∈R 9.【答案】AD【解析】：A选项：已知z=i,根据共轭复数的定义可得：三=-1.故A正确； B选项：由z=F=1,故B错误： C选项：由=2=i2=-1,故C错误； D选项：由z-i=O∈R,故D正确， 10.已知x,y为正实数，x+y=4,则下列说法正确的是( A.y的最大值为4 B.的最小值为3 C.√x+√y的最小值为22 D.（x2+1)y2+1)的最小值为16 10.【答案】ABD【解析】：当x>0,y>0时，x+y≥2Vx,.4≥2√，.4≥xy, 当且仅当x=y=2时，取等号，A选项正确： y+4=上++y=上+x+1≥3，当且仅 x y x yx y 当x=y=2时，取等号，B选项正确： VE+V)=x+y+2V=4+2V≤8，当且仅当 x=y=2时，取等号，√+√≤22，C选项错误： (x2+1(y2+1)=x2y2+x2+y2+1=x2y2+(x+y)-2y+1=x2y2-2y+1+16=(y-1)+16 2/8德阳外国语学校高2024级【2027届】高三上期2026年9月第一次月考数学试卷--【教师正稿】--【19.(3)【证明略】 .（x2+1)(y2+1)≥16，D选项正确. 故选：ABD. 1.已知函数()。三，则下列说法正确的是( A.曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=一x 1 B.函数(x)的值域是 -00, e C.若点P是曲线y=了)上的动点，则点P到直线y=x+1距离的最小值为 4 D.若过点A(0,a)至少可以作曲线y=f(x)的两条切线，则0<a≤- 1.【答案】BCD【解析：对A选项，对函数f四求导可得了()=。，令x=0,得f(O)=l, 又f(O)=0,故曲线f(x)在x=0处的切线方程为y-0=x-0,即y=x,故A选项错误。 对B选项，令/)-。>0，则x<1:令f)-。<0,则x>1,所以当x(-)时， f)单调递增，当x∈L+)时，f(y)单调递减，所以当x=1,fe取得最大值f四， 当c→-0时，e→0，e>0,故了)=甚→0，故函数/（的值域是- 。17 所以B选项正确. 对C选项，当曲线y=f(x)在点P处的切线与直线y=x+1平行时， 点P到直线y=+1的距离最小，设点P,则了化)-1，整理得e+5-1=0, 令g(x)=e+x-1,则g'(x)=e+1>0,故g(w)单调递增，代入x=0,得g(0)=0, 因此唯一解0，此时，点P到宜线，距离为1怎故c透项正确 对D选项设过点4的切线切点为)，切线斜率为了心)=兰，切线方程为y子x0, 将点A〔0，a四代入切线方程，整理得a=t 。,若过点A至少可以作曲线y=了冈的 两条切线，则函数y=a和函数g0至少有两个交点.对g0求导得g0=2D，令g0=0得 t=0或t=2,当t<0时，g'(t)<0,g)单调递减：当0<t<2时，g't)>0,g)单调递增； 当t>2时，g')<0,g(t)单调递减：因此，g()在t=0处取得极小值g(0)=0,在t=2处取得极 y=g(t) 大值g专，所以g0的大致图象如图所示： le 由图象可知，当 4 0<a飞时，函数y=a和函数g0至沙有两个交点， 3/8德阳外国语学校高2024级【2027届】高三上期2026年9月第一次月考数学试卷-【教师正稿】--【19.(3)【证明略】 此时过点A至少可以作曲线y=(x)的两条切线.故D选项正确， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12.设函数f(x)= gx,则f-2= 12.【答案】f(f(-2)）=2【解析：因为f(-2)=102=100,所以f(f(-2)=f(100)=lg100=2. 13.已知sim0-cos0=5,6是三角形的内角，则co20= 13.【答案】5【解折】：由题设可得2sn9c0s0-名0，而sm6>0cos0>0,所以 s血8reos0=i+2sn0cms0-子，则am29=e0-如Xe0+6os列=子不，应填答案3· 14.已知函数f(x)=2x+nx(m>0),g(x)=x2,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在公切线， 则实数m的最大值为 14.【答案】号【解析：设公切线在f(y)=2mx+l血x(m>0)图象上的切点为(5,2+lhx), 结合f'()=2m+,可得公切线方程为： y=f(x)(x-x)+f(x)y= r-)+2m+l血 x+nx1-1; 设公切线在g(x)图象上的切点为(：，)，结合g(x)=2x,可得公切线方程还可表示为： 2m+上=2x,① y=g(x3)(x-x)+x台y=2x2x-x.依题意可得 由②得-lnx=x-1, nx-1=-② 即=e5-,代入0，得2m=2年25-e的，又5>0,2m-25>0,从而5>0. 令h(x)=2x-e,x>0,则(x)=2-2.xe1.令p(x)=2-2xe,x>0,则p(x)=-21+2x2)e1<0, 则p(x)=h(x)在(0，+o)上单调递减，注意到h(1)=0,则h(x)0x(0,1):h(x)0x(1,∞)， 则h(x)在(0,1)上单调递增，在L,+o)上单调递减，从而2m=h(k)≤hL)=1→m≤， 即实数m的最大值为： 四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.【本题满分13分，其中(1)6分，(2)7分】：2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕， 中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过 4/8德阳外国语学校高2024级【2027届】高三上期2026年9月第一次月考数学试卷-【教师正稿】--【19.(3)【证明略】 中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某 社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看 女篮球迷 非女篮球迷 总计 过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为 男 20 26 “女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调 女 14 查结果中随机抽取50份进行分析， 得到数据如下表所示： 总计 50 (1)补全2×2列联表，并判断是否有99%的把握认 为是否为“女篮球迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人 中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望， 附：K= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+d P(K≥k) 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 15.(1)【答案】列联表如图，没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关【解析】： 女篮球迷 非女篮球迷 总计 男 20 26 女 10 14 24 总计 30 20 50 2:=50x(20x14-10x6} ≈6.464<6.635，没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关. 26×24×30x20 15(2)【答案】X的分布列见表，数学期望为()=【解析：从抽取的“女篮球迷”人群中， 按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷”有4人，女“女篮球迷” 有2人，X的可能值是0,1,2，P(X=0)= X的分布列为： X 0 2 8 2 B0=0x5+1x8+2x2-4 ×15+1x15+2×53 15 15 5 518德阳外国语学校高2024级【2027届】高三上期2026年9月第一次月考数学试卷--【教师正稿】--【19.(3)【证明略】 16.【本题满分15分，其中(1)7分，(2)8分】：已知等差数列{an}的公差为d(d>0), 前n项和为S,等差数列b}的公差为2d,且b=3,S3=6,a=b. (1)求数列{an},{bn}的通项公式：(2)设c.=2+ 1 bb 一，求数列{c}的前n项和Tn. 16.(1)【答案】an=n,bn=2n+1【解析】：因为数列{a},b}都是等差数列，且S3=6,a=b3, +61=3+4以'解得及=1 3a,+3d=6 所以 a=1’所以a,=4+n-)d=nb,=b+0m-1D2d=2+1 综上an=n,b,=2n+1. 16(2)【答案】T,=2*1- 111 【解析：由（1)得： 4n+66 1 Cn=2”+ =2”+1 1 (2n+1)(2n+3) 22n+12n+3 所以7-+22+3r传月…+3 1 2-2）11=2-,1 1-2232n+3 4n+66 17.【本题满分17分，其中(1)5分，(2)6分，(3)6分】：在△ABC中，角A、B、C的对边分别 为a、b、c,已知b(2-cosA)=V3 asin B. (1)求A; (2)若a=2,△ABC周长为6，求BC边上的高： 3)若mBC<0,求的范围. 1(1)【答案】A=于【解析】：由正弦定理。， sinA sinB, 得a=bsm,代入己知等式 sin B b2-c0s4）=V5 asin B,得b2-csA)=V5.bs加A.sin B,化简得：2-cosA=V5sinA, sin B 即V3sinA+cosA=2,即sim(A+马-1， 6 因为0<4<，所以g4名名，所以4君受解得4号 17.(2)【答案】BC边上的高为√3【解析】：由题意知a+b+c=6,且a=2,所以b+c=4, 由余弦定理得：=b2+c2-2 be coA=b+c)2-2c-2 bc cosA,即22=4-2bc-2bc】,解得bc=4, 设8C边上的高为，所以8xcn4=山，即45}×2，解得-5. 221 618德阳外国语学校高2024级【2027届】高三上期2026年9月第一次月考数学试卷--【教师正稿】--【19.(3)【证明略】 17.(3)【答案】a+S的范围为0+V5【解析1：因为84，BC<0,即x6osB<0,所以cosB<0, b 因为：为C的内角，所以<，又因为A-骨所以8+c-,所以0<C-B<号， 即<8，所以B<行由正弦定理可得： 3 a+c sinA+sinC 2 sin((+cos) 3 2 2 2 1 b sin B sin B Sin B sin B 2 ×2coS2B 2 2sin片cos 5宁因为好贺所以导号号 BosB22tan号 423’ 2 2 因为y=tamx在（径孕单调递增，所以I=tam<tam号<tan=5, B 2 3 所以6.1店 tnB+22，即bea,1+3 2tan 2 18.【本题满分17分，其中(1)6分，(2)11分】：已知函数∫(x)=e,8(x)=sinx-ax. (1)若h(x)=f(x)+g(x)在[0，+o)单调递增，求a的取值范围： 2)者a=,证明：当x>0时，12g [f()了， 18.(1)【答案】a的取值范围为(-oo,2【解析】：依题意有： h(x)=e+sinx-ax,x∈R,∴.h'(x)=e+cosx-a.“函数y=h(x)在[0，+o)单 调递增，∴.h(x)≥0对x∈[0，+on)恒成立.即：e+cosx-a≥0对x∈[0，+o)恒成立(， 令p(x)=e+cosx-a,x≥0，则p'(x)=e'-sinx,当x∈[0，+o)时， e≥1，-1≤-sinx≤1，.e-sinx≥0，.p'(x)≥0，.函数y=p(x)在[0，+o)单调递增， ∴p(x)m=p(0)=2-a≥0，解得a≤2.因此，实数a的取值范围是(-o,2]: 1a【答案1证项见解新【解折1当a-时，要正：当0时-2小了可 即要证：当x>0时，(x-2sinx+1)e2>1.构造函数：F(x)=(x-2sinx+1)e2(x>0), F(x)=(1-2cosx)e2x+2(x-2sinx+1)e2*=(3+2x-4sinx-2cosx)e2, 先证：当x>0时，x>sinx,要证：x>sinx,即要证：x-sinx>0, 718德阳外国语学校高2024级【2027届】高三上期2026年9月第一次月考数学试卷--【教师正稿】--【19.(3)【证明略】 构造函数：u(x)=x-sinx(x>0),时u'(x)=1-coSx,当x∈(0，+o)时，-1≤cosx≤1,1-cosx≥0， d(x)≥0，则函数在(0，+o)y=u(x)单调递增.u(x)>u(0)=0,即x-sinx>0,.x>sinx r闭-B-2x-462se>32m+e-3-25mr到jp>0, ∴函数y=F(x)在(0，+w)单调递增，F(x)>F(0)=e°=1， 即：当x>0时，(x-2sinx+1)e2x>1,故原不等式成立. 19.【本题满分17分，其中(1)4分，(2)6分，(3)7分】：已知集合 Sn={XX=(5,5,,x),x∈{0，}，i=1,2,(n≥2)，对于A=(a,4,,a),B=(4,b,b)eSn, 定义A与B之间的距离为d(4,B)=∑A-b. (1)已知A=(L,11,0)eS4,写出所有的B∈S4,使得d(A,B)=1: (2)已知I=(1,l,1)eSn,若A,B∈Sn,并且d(I,A)=d(I,B)=p≤n, 求d(A,B)的最大值； (3)设集合P二Sn,P中有m(m≥2)个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为t, 求证：m≤2-t+1. 19.(1)【答案】B的所有情形有：(0,11,0)、(1,0,1,0)、(1,1,0,0)、(1,1,1,1)【解析】：已知A=(1,11,0)eS4, B∈S4,且d(A,B)=1,所以，B的所有情形有：(0,11,0)、(1,0,1,0)、(1,1,0,0)、(1,11,1)： 2p,2p≤n 19.(2)【答案】d(A,B)n= 2m-p,2p>n【解折1：设1=(4,4，，a),B=(么，，，)， 因为d(L4=2a-1=21-a)=p,则4+4++a=1-卫，同理可得6+b,++b,=n-p, 当n≥2p时，d(4B)=a-=a-1+1-b≤-a+1-b=2p;当n<2p时， d(4,B)=2-bs2a+2b=2m-2p.当A=1。10,0，，0，B= 0,0,0,1,1,…,1时， i=l p个1 p个1 [2p,2p≤n 上式等号成立.综上所述，d4B)-npj.2p>n:19.(3)【证明略】 8/8德阳外国语学校高2024级【2027届】高三上期2026年9月第一次月考数学试卷-【教师正稿】--【19.(3)【证明略】 · 德阳外国语学校2027届高三第一次月考数学试卷 · (时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题，共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，B=，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D．6 4．已知直线与平面，则能使成立的充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 5．函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       6．有三个数：，大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．设，则（    ） A． B． C． D． 10．已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为16 11．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．曲线在处的切线方程为 B．函数的值域是 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则 第Ⅱ卷 (非选择题，共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设函数，则______. 13．已知，是三角形的内角，则__________． 14．已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 四、解答题：本题共5道小题，满分77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示： 女篮球迷 非女篮球迷 总计 男 20 26 女 l4 总计 50 (1)补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．在中，角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)若，周长为6，求边上的高； (3)若，求的范围． 18．已知函数. （1）若在单调递增，求的取值范围： （2）若，证明：当时，. 19．已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 第3页（共4页） ◎ 第4页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $