四川省部分学校2026-2027学年高三上学期9月联考数学试题

高2027届 数学试卷 (满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 Z+i 1.已知复数z=2-i,则2-司=（） A.√2 B.-2i C.√2-√2i D.V2+√2i 2.已知M=(x,y)x=y,x∈R},N=(x,yy=x2,x∈R},则MnN=() A.{xx20} B.{xx∈R} C.{,1} D.{,1),(0,0)} 3.已知a,b,c是平面上的非零向量，则“a=b”是“a.c=b.c”的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 4.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A(2,1),若P为抛物线C上的动点，则AP+PF的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4, PC=PD=2√2，该棱锥的高为（). A.1 B.2 C.√2 D.5 6.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少 有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有()种。 A.216 B.360 C.432 D.672 7.已知函数fx)=5、 2 sin xcosx-Is x+好记方程f)-=名在xe[ π19元 68 上的根从小到大依次为x,x2…,xm, 则x+2x2+2x+…+2xm1+xn的值为() B.32x C.34r 37π 3 3 D. 3 9 8.若f)=(c-+2c-)-h2+2,数列a,}的前n项和为S,且S=0,2,=m,则fa)=（) 2-x A.76 B.38 C.19 D.0 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.如图所示，该曲线W是由4个圆：（x-1)+y2=1,(x+1)2+y2=1,x2+(y+1)=1,x2+(y-1)=1的一部分所 构成，则下列叙述正确的是() 第1页共4页 A.曲线W围成的封闭图形面积为4+2π B.若圆x2+y2=2(r>0)与曲线W有8个交点，则V2≤r≤2 C.BD与DE的公切线方程为x+y-1-√2=0 D.曲线W上的点到直线x+y+5√2+1=0的距离的最小值为4 10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上 层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有an个球，则（) A.a=15 B.{a1-a}是等差数列 C.as为偶数 D.1s+++<2 a az an 11.双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比 来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点 的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.已知曲线C(如图所示)过坐标原点O, 且C上的点P(x,y)满足到两个定点F(-a,0),F(a,0)(a>0)的距离之积为4，则下列结论正确的是() A.a=2 B.点M(x,1)x>0)在C上，则|MFl=2√2 C.点N在椭圆+=I上，若FN⊥FN,则NEC 62 D.过F作x轴的垂线交C于A,B两点，则AB<2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d= 13.在△ABC中，2AB-AC=AB+AC,sin2A=sinB-sinC,则元的最小值为 14.已知函数f(x)=xem-lnx-a.若f(x)的最小值为0，则实数a的最小值是 第2页共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S且满足S= 5a2-(b-c2 (1)求角A的大小： (2)若∠BAC的平分线交BC于点D,且AD=√3，BC=2,求△ABC的面积. 16.(15分)某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游 客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式)，具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为X,求P(X=2)和E(X): (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续 参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率。 17.(15分)四棱锥P-ABCD,PA⊥面ABCD,ADI∥BC,PA=2,AB=1,BC=1,AD=2,M是PD中点. (1)求证：CM∥平面PAB; (2)若AB⊥AD, ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为√2？若存在，求出 品的值：若不存在，清说明理由 第3页共4页 18.(17分)已知函数f(x)=a(x-1)-xlnx,且f(x)≤0. (1)求a; 2)已知了(0为函数f)的导函数，证明：对任意的0<西<，均有fx)>f,)-f2, x-x 3)证明：对任意的neN*,均有1+1 1 n+2tn+3++2n+h2. 19.(17分)平面直角坐标系xOy中，4(2，元)，A(2(1-元)，0)，B(0,1),B2(0,-1),其中0<元<1，直线4B,与直线4，B2 交于点@，0的轨迹为椭圆E号+芳-6>b>0)的部分、 (1)求椭圆E的方程： (2)过点P(-4,O)作斜率为k(k>0)的直线1与E交于A,B两点， ①若AP+BP=4AP:BP,求实数u的取值范围； k ②已知点M(,0),直线AM,BM与E分别交于另一点为C,D,令直线CD的斜率为：，求无的值. 第4页共4页 高2027届 数学参考答案 (满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. Z+i 1.已知复数z=2-i,则 -1() A.2 B.-2i C.√2-√2i D.√2+√2i 【答案】D 【详解】由z=2-i,得z=2+i,则z+i=2+2i, 1z-1H1-iVP+(-)2=2, z+i=2+21=2+N2i 所以z-2 2.已知M={《xyx=yxeR},N={《x,yy=x2,x∈R},则MnN=（) A.{x20 B.{xx∈R} c.{,} D.{1,1),(0,0)} 【答案】D x=y x=0「x=1 【详解】联立方程组 y=x2,解得 =0或=1 则交点为(1,1)，(0,0)，得到M∩N={1,),(0,0)} 3.已知a,b,c是平面上的非零向量，则“a=b”是“ac=bc”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充 分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积公式结合相等向量的概念、充分条件与必要条件的定义分析即 可 【详解】先判定充分性，对于a=b时， 易知(a,e=6,c,d=同ac=dcos(a,c)=.c=-cos6,c, 试卷第1页，共18页 满足充分性； 2 再判定必要性，假设ā，6，c是平面中两两夹角π的单位向量， 易知满足ac=bc成立，但不满足a=b,即必要性不成立，所以A正确 4.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A(2,1),若P为抛物线C上的动点，则AP+PF 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果。 【详解】因为抛物线C方程为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线为x=-1, 设点P到准线x=-1的垂线段为PM,垂足为M, 根据抛物线定义得PF=PM,所以AP+PF=AP+PM, 根据两点之间线段最短得到AP+PM≥AM,A,M,P三点共线时等号成立， 且此时M(-1,-),所以AM=2-（-1)=3,即AP+PF的最小值为3， 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4, PC=PD=2√2，该棱锥的高为(). A.1 B.2 C.2 D.√3 试卷第2页，共18页 【答案】D 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD,可知PO⊥平面ABCD, 利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面ABCD为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设PA=PB=AB=4,PC=PD=2√2， 分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF, 则PE⊥AB,EF⊥AB,且PEOEF=E,PE,EFC平面PEF, 可知AB⊥平面PEF,且ABC平面ABCD, 所以平面PEF⊥平面ABCD, 过P作EF的垂线，垂足为O,即PO⊥EF, 由平面PEF∩平面ABCD=EF,POc平面PEF, 所以PO⊥平面ABCD, 由题意可得：PE=2V3,PF=2,EF=4,则PE2+PF2=EF2，,即PE⊥PF, 则ERP0E即，可得0-E-5, EF 所以四棱锥的高为√3， 故选：D 6.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演 且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有()种. A.216 B.360 C.432 D.672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排4个歌舞节目：A4=24,排好后会产生5个空位（包括两端）； 步骤2：将2个机器人节目插入空位：A?=20: 试卷第3页，共18页 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置， 有A】=24种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器 人歌舞机器人”的排列， 有A3=2种方法.故不满足条件的情况有A}·A?=48 故总数为：24×20-48=432 故选：C 7.已知函数fy)= 「π19元 -sin xcosx- 记方程fx)=上在x 6’8 上的根从小到 4 6 大依次为x,x2…,xn,则x+2x2+2x+…+2xm1+xn的值为（) A. 29m B. 32π C. 34π 37π D. 3 3 3 3 【答案】C 【分析】由箱助角公式将方程转化成如(2x+},再结合正弦函数图像及对称性求解即可。 【详解】f=5 sim xcos-sim2x+5 sm2x+2x=m2x+8 4 则f-名即2+名 2 66 即2x+月 2x+∈，59m 62'12 令0=2.x+ 则0∈ [π59π 6 2’12 函数y=sin0在0∈ π59π 2’12 上的图象如下图所示， y=sine 3π 7π y3 元22元3元24元f 70 0,5π0 049π055π0 2 2 由图可知，y=sin0与y=。共有5个交点， 所以： 试卷第4页，共18页 其中0+02=3π，02+0=5π，0+0，=7m,04+0,=9π， 即2+培+2%+名=3x2+后+2+后-5玩24++2x+名-7,2++2x+名=%， 6 6 6 6 13π 解得x+x2= 上=0r,x+x三 3 所以+2x2+2x3+…+2x4+x=(x+x2)+(x2+x)+(x+x4)+(x4+x)= 34π 3 故选：C 8.若f=x-1+2x-)-n,+2,数列{a,}的前n项和为S,且S=10,2S。=ma, 2-x 则2fa)=() l A.76 B.38 C.19 D.0 【答案】B 【分析】分析函数f(x)的对称性，求出数列{a}的通项公式，再利用数列性质及函数对称性 求和可得结果。 【详解】因为函数/=(c-+26x-)-加2+2的定义城为02)， 且f2-+f)=0-x+20-0-n2-+2+x-y+20x-)-1n +2=4, -x 所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称， 所以x,x2∈(0,2)，若x+x2=2,则f(x)+f(x2)=4. 由2Sn=nan1,得当n≥2时，2Sn1=(n-1)an, 两式相减得2an=na-(n-1)a,整理得na1=(m+1a,即a=8(n≥2）， n+l n 因为4=8=025=m,所以28=4，即号-0马， 2101 所以对任意正整数n,都有a=a, 'n+l n 所以数列色}为常数列，故马=4= h1=0,且pan=, 由a-a,=。得数列{a,}是等差数列 所以a+ag=a2+a1g=…=ag+a1=2a0=2, 故f(a)+f(ag)=f(a2)+f(a8)=…=2f(ao)=4, 试卷第5页，共18页 所以2fa)=4x9+fa）=38. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图所示，该曲线W是由4个圆：（x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=1,x2+(y+1)2=1, x2+(y-1)2=1的一部分所构成，则下列叙述正确的是() A E G A.曲线W围成的封闭图形面积为4+2π B.若圆x2+y2=r2(r>0)与曲线W有8个交点，则√2≤r≤2 C.BD与DE的公切线方程为x+y-1-√2=0 D.曲线W上的点到直线x+y+5V2+1=0的距离的最小值为4 【答案】ACD 【分析】A选项可将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1 的相同的半圆，即可判断； B选项可直接由图讨论判断对错； C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线： D选项可先找到B,HG的公切线方程为x+y+1+√2=0，曲线W上的点到直线 x+y+5V2+1=0的距离的最小值即为平行线间的距离 【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半 圆， 所以其面积为2×2+2×π×12=4+2π，故A选项正确： 试卷第6页，共18页 当r=√2时，交点为B,D,F,H;当r=2时，交点为A,C,E,G 当0<r<√2或r>2时，没有交点；当√2<r<2时，交点个数为8，故B选项错误， 设BD与DE的公切线方程为y=x+1(k<0,1>0), 由直线和圆相切的条件可得上一】=1=k+4 V1+k2V1+k2 解得k=-1,t=1+√2（1-√2舍去)， 则其公切线方程为y=-x+1+√2，即x+y-√2-1=0，故C选项正确. 同理可得B,HG的公切线方程为x+y+1+V2=0, 则两平行线的距离d= 52+1-1-√2 =4,故D选项正确。 √2 故选：ACD. 10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”. “三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设 第n层有an个球，则() A.a=15 B.{a1-an}是等差数列 C.ams为偶数 D.1s1t1++ 1 <2 aa a 【答案】ABD 【分析】根据题意a,41=心4-4，=n-,44=2,利用累加法得4，-n+即可判断 2 ABC选项，对于D,L=2 =2-1 11 ann(n+1）nn+l 再根据裂项相消法可得。+一+…+一的 a 和，接着简单放缩即可判断。 【详解】根据题意，当n≥2时，an-an1=n,an1-an2=n-l,…,a2-4=2, 累加得a,-4=2+3+4++n=(2+mn-)_2+n-2 2 2 试卷第7页，共18页 n(n+1) 易知a=1也满足，所以an= n(n+1) ..a 2 2 ∴.a5= 5x6=15,故A正确； 2 anl-an=n+l,故B正确； 2025×2026 2025= 2 =2025×1013为奇数，故C错误； ao",日-日 2 2，a。n(n+) 1+1++1=2 1-1+-++1-1 aa an (223 "neN,.152-2 -<2, + 即1≤+++<2，故D正确： 1 aa a 故选：ABD 11.双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其 作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形 线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨 迹便为伯努利双纽线.已知曲线C(如图所示)过坐标原点O,且C上的点P(x,y)满足到两 个定点F(-a,0),F(a,0)(a>0)的距离之积为4，则下列结论正确的是() A.a=2 B.点M(x,1)(x>0)在C上，则|MEI=2√2 C.点N在椭圆亡+父=1上，若FN⊥EN,则N∈C 62 D.过F作x轴的垂线交C于A,B两点，则|AB<2 【答案】ACD 【分析】根据题目给的伯努利双纽线的概念，结合圆锥曲线中的焦点概念，直线与圆锥曲线的 试卷第8页，共18页 关系，分别判断各选项的正误。 【详解】由题意，PFPF=4,即√x+a2+y2Vx-a2+y=4, 对于A,因曲线C过原点O,将O(0,0)代入，解得a=2,故A正确； 对于B,由点M(x,)x>0)在C上，得|MEME=[cx+22+1[Gx-2+1=4, 化简得x4-6x2+9=0,解得x=√5，MF=V(5+2)2+1≠2√2，故B错误； 对于C,椭圆二+’=1的焦点坐标恰好为F(-2,0)与E(2,0),则FN+1BN=2V6, 62 由FN⊥EN,得：EN+EN-16, 则FNH-LEN-EN+EN-EM+E）】 4,NeC,故C正确： 对于D,设A2,),则8=2，而AeC,则4=， 4 又根据勾股定理得S=16+少，则=16+y,化简得y+16y-16=0, 解得y2=4V5-8,y2-1=4V5-9<0,因此y<1,AB<2,故D正确： 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d= 【答案】2 【分析】转化条件为2(a+2d)=2a+d+6,即可得解. 【详解】由2S3=3S2+6可得2(a,+a+a3)=3(a+a2)+6,化简得2a=a1+a2+6, 即2(a+2d)=2a+d+6,解得d=2. 故答案为：2. 13.在△ABC中，2AB-AC=AB+AC,sin2A=AsinB.sinC,则元的最小值为 【答案】08 【分析】将24B-AG-B+AC两边平方，结合余弦定理可得-2+2c, 5，由 试卷第9页，共18页 sinA=sin B sin C结合正弦定理可得= 妃，两者结合利用基本不等式求最值 【详解】由2AB-AC=AB+AC可得2CB=AB+AC, 两边平方得：4a2=b2+c2+2 bccos A,又a2=b2+c2-2 bccosA, 所以4(b2+c2-2 becos A=b2+c2+2 becosA,即3b2+3c2=10 bccos A, 所以cosA=30+3c,所以d=B+c2-2bc26+3c-2+2c 10bc 10bc 5 由sin'A=sinB然inC,根据正弦定理角化边得a2=bc,所以元= bc 所以4--22-2-号 一十 bc 5bc =5 故答案为： 14.已知函数f(x)=xe@)-lnx-a.若f(x)的最小值为0，则实数a的最小值是 【答案】日 【分析】利用不等式e≥x,问题转化为a=1一血r在x>0有解问题，然后令g(y)1一血x 利用导数求出g(x)的最小值即可得结果. 【详解】xe-)-lnx-r=e-(nx+a)≥(lnx+a)-(nx+a)=0(利用了e≥x) 等号成立的条件是nr+=l,即a=1-lnr有解. 令g()=1-nx,则gy)=hx-ne x2 易得g(创=ge)=日 放答案为：日 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知△4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S且满足 3[a2-(b-c] S= 4 (1)求角A的大小： (2)若∠BAC的平分线交BC于点D,且AD=V3,BC=2,求ABC的面积. 试卷第10页，共18页 【答案】（四4=号：2）5. 【分析】(1)由已知，应用三角形面积公式、余弦定理得sinA+√3cosA=√3，再由三角恒等 变换得sin(A+=5,即可求角： 32 (2)由SAARD+SAACD=SAMc及三角形面积公式得b+c=bc,结合余弦定理有b2+c2-bC=4, 联立求边长，进而求面积， 【详解】(1)由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA,得a2-b2-c2=-2 bccosA 所以a2-(6-c）}2=Q2-b2-c2+2bc=2bc(0-cos0,2分 又S=csn4,所以esin=5×2c0-cos0,可得simA+V5osA=N54分 4 所以4骨=9,0，则4肾-管→后6分 33 (2由Sm+Sn=Sm:5AB:AD-sim∠BAD+54CAD-sim∠CAD=号AB:AC-sim∠BAC, 即(B+AC)-58AC,则b+e=c,8分 由余弦定理有a2=b2+c2-2 bccosA,即b2+c2-bc=4, 所以(b+c)2-3bc=(bc)2-3bc=4,可得(bc)2-3bc-4=(bc+10(bc-4)=0,10分 所以bC=4,则b+c=4,可得b=c=2,12分 所以S=号besinA=5..l3分 16.(15分)某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门 随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具 体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行」 (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为X,求P(X=2) 和E(X): 试卷第11页，共18页 (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的 游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率 【解】(1)第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件A,根据题中的表格求出P() 记“低碳出行”为事件4，估计P(A=1-38+42_3 200-5 …2分 第二步：确定随机变量X服从二项分布，根据公式求出P(X=2)及E(X) …4分 ……6分 EX0=p=3×亏5 39 …8分 (2)第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B,并求出P(A),P(BA), P(B④. 由(1)知P氏A= ，则有P团=2 …9分 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B, 由题意Pa-手，Pa闭- …11分 第二步：根据全概率公式求出P(B) 所Ag-4n4ParB同-号号8 …15分 17.(15分)四棱锥P-ABCD,PA⊥面ABCD,AD/BC,PA=2,AB=1,BC=1,AD=2,M是PD 中点. (I)求证：CM∥平面PAB; (2)若AB⊥AD, ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为√2？若 存在，求出照的值：若不存在，请说明理由。 BD 17.（15分) 【解析】(1)取PA中点N,·M为PD中点， 试卷第12页，共18页 MNIAD,且MN=2AD=1 又：BC=1,BCI∥AD, ∴.BCIMN,且BC=MN, 四边形BCMN为平行四边形，即CM/BN,....3分 BNc平面PAB,CMt平面PAB, CM∥平面PAB:………….5分 D (2)①：PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 则以点A为坐标原点，AB,AD,AP方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).6分 AB=(1,0,0,AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2),C=(-11,0).7分 易知平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0),....8分 设平面PCD的法向量为(xy, 则 历元=-x+y=0令x=1,则%=(1) PD.n2=2y-2z=0 .os{(,) n1·n2 1 1V12+12+12 3…10分 ∴.平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为 3 2;.11分 试卷第13页，共18页 ZA M D ②存在点Q满足题意， 易知BD=(-1,2,0),AD=(0,2,0), 假设存在点Q满足题意，设B0=1BD=(-元，22,0)，0≤1≤1， ∴.2(1-1,22,0)，A9=(1-,22,0)...12分 设平面PAQ的法向量为n=（a,b,c), AP.n =2c=0 则 0%=-1-2)a+2b=0令a=21,则%=(2，元-10）.13分 所以点D到平面PAQ的距离d= 而2(2-以 =， 网V(22+(-102 化简可得32+2-1=0.解得-写或1=1合去)，即8器号…15分 18.(17分)已知函数f(x)=a(x-1)-xlnx,且f(x)≤0. (1)求a; 2)已知f(为函数f(的导函数，证明：对任意的0<<，均有了x)>)-) X2-x1 (3)证明：对任意的n∈N*,均有 1 1 1 <ln2. n+2n+3 2n+1 【答案】(1)a=1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)构造函数g(x)=a1-)-lnx,利用导数判断函数的单调性，可得g()mx=g(a), 只需满足g(a)≤0，计算即可得解； 试卷第14页，共18页 (2)先写出f(),将不等式变形，通过换元t=,构造函数g(),利用导数证其单调性， 从而推导不等式成立； 3)由（1)中f(y)的结论，取x=+1得到n+>L k 飞>十，对不等式左边求和，结合对数 运算性质（裂项相消），证得结果， 【详解】(1)由fx)≤0得a1-马)-nx≤0， 令g0=a0--hx>0.则g国=2-22之，1分 a 1 a-x ①当a≤0时，g'(x)<0恒成立，g(x)在(0，+o)上单调递减，且g(①)=0，不符题意；.2分 ②当a>0时，g(x)在(0，a)上单调递增，在(a,+o)上单调递减， 故g(x)max=g(a)=a-1-na≤0， 令ha)=a-l-lna,则ha)=l-1_a-l aa 故h(a)在(0,1)上单调递减，在(L,+o)上单调递增， 则h(a)min=h)=0,即a-l-na≥0，又a-l-ha≤0， 所以a-1-na=0,解得a=1....5分 (2)由(1)知f(x)=x-l-xnx,f'(x)=-lnr, 要证f'x)>f)-f),即证-nx>当-+n-血当， X2-x1 X2-x 进步变形为证，-斯名+五>0，即证h交-化- X X2-x1 ->0 x2-x 因为0<X<5,令1=支>1，则需证m--少30（>1，…8分 t-1 即证tnt-(t-1)>0(t>1) g(t)=tlnt-(t-1),t>1,g'(t)=Int+1-1=Int, 当t>1时，g')>0,g(t)在(1，+∞)单调递增，所以g(t)>g(1)=0,得证....10分 (3)由(1)知f(x)=x-1-xnx,且f(x)≤0， 当x>0时，x-1-xnr<0,即1nr>x-l ；.12分 试卷第15页，共18页 令x-k中(keN),则nk中> 1 k k k+1k+1…14分 要证、11 n+2n+3 +,L<1n2,即证究1 2n+1 +7<n2, 大+7所以爱1 因为nk+l1 <分hk+ knk+1 knd k 而2hk+1=n+2 ++h2n+1=n2n+1 <ln2,得 k=n+1 k n+1 h+3 n+2 2n n+1 2- 证...17分 19.(17分)平面直角坐标系x0y中，4(2,2)，A,(2(1-元)，0)，B,(0,1),B2(0,-1),其中0<1<1， 直线4与直线48交于点.Q的轨迹为椭圆6号+茶-6>6>0)的部分。 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(-4,0)作斜率为k(k>0)的直线1与E交于A,B两点， ①若AP+BP=4APBP，求实数4的取值范围； ②已知点M(L,0),直线AM,BM与E分别交于另一点为C,D,令直线CD的斜率为，求 k 的值 【答类灯0后+= (2)04v39 39 13 【分析】(1)由题意表示出直线AB的方程和直线AB2的方程，将两式相乘，化简即可求得 答案： (2)①设直线1的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，由AP+BP=uAP BP, 1 1 可得“P十BP,代入根与系数的关系，结合不等式性质求解，即可得答案：②由4，B,P 三点共线，推得yx2-y2x=4(y2-乃)，设直线AM（斜率不为0)的方程并联立椭圆方程， 结合根与系数的关系可求出C点坐标，同理得D点坐标，即可表示出k,结合 2-2=4(y2一乃)化简，即可求得答案. 试卷第16页，共18页 【详解】由题意可得0<A<1,直线4码的方程为 0-可2-列阳牛1 直线48的方程为x 121-) 两式相乘得)二1 发号4二刀化简得+y-1: 做结合题意可知椭因E的方程为十少…4分 (2)①由于直线1的斜率k大于0. 故设直线1的方程为x=y-4,A(x,),B(x2,y2),片>0，y2>0, x=y-4 任y-18+到-则+12=0， 由 需满足△=64t2-48(t2+4)>0,解得2>12， B A M D 8t 12 则%+%=F4%44.6分 而|AP上1+P,lBP√1+t为， 由amb,司 =1.+2=2=21 VP+132+1 1,.8分 1+ 京2'则1<1+1<13 121 由于>12，故0<<1， 22,则13八* 试卷第17页，共18页 22,21< 2 故3V13 31+ 3,即439 <u< 39 ..10分 3 ②由于AB,P三点共线，所以k加=k,即片=上 x+4x2+41 整理得x2-y21=4(y2-乃)， 设直线AM(斜率不为0)的方程为x=my+1, +pr=18+到y产+2-3=0,8=n+12m+430, x=my+1 联立x2 -3 则y。= m2+4’.12分 又m=,至+听=1， 41 -3 -34-3y +4-2x+15-2x, 所以无=网+1=13+1=351 45-2x 5-2x 同理可得yp= =3(西-0+，14分 3y,%p= 5-2x2 5-2x2 -3y-3y2 则飞== 5-2x5-2x2 6(x2y-xy2)+15(y2-y) e-x3s-+1- 3(-0+1 9(x2-x) 5-2x 5-2x2」 将5-5=40，-)代入上式，得后-2405+15-》3片-》9名 9(x2-x) 9(x2-x) 3 ,k=3 故方317分 试卷第18页，共18页