专题2.1 图形的轴对称（高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦图形的轴对称核心知识点，系统梳理轴对称图形与成轴对称的概念及区别联系，明确对称轴定义和性质，涵盖常见图形对称轴识别、对称图形作图、折叠问题及最短路径应用，为后续等腰三角形学习筑牢基础。 资料特色在于结合生活实例培养数学眼光，如十二花神纹样、非遗文化图案的轴对称识别，通过分层题型和变式训练发展数学思维，规范作图步骤与跨学科问题提升数学语言表达。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.1图形的轴对称 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01轴对称 2.知识清单 题型01轴对称图形的识别 题型02根据成轴对称图形的特征进行判断 题型03根据成轴对称图形的特征进行求解 图形的轴对称 题型04画对称轴 3.题型精讲 题型05画轴对称图形 题型06折叠问题 题型07最短路径问题 题型08生活实际中的轴对称问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 ·知识目标：认识轴对称图形和成轴对称的概念，分清两者区别与联系，掌握对称轴定义，能找出常见几何 图形、生活图案的对称轴。理解轴对称的性质，知晓对称轴垂直平分对称点连线，对应线段、角相等。 。能力目标：可以依据轴对称性质画出已知点、线段、简单图形关于定直线的对称图形；能借助轴对称解决 教学目标 简单线段最值、边长角度计算问题，提升作图能力与几何推理能力。 ● 情感目标：观察生活中的轴对称现象，感受对称的均衡美感；在动手画图、探究归纳中养成细致严谨的习 惯，体会几何知识和生活的紧密联系，激发几何学习兴趣。 1.重点 (1)掌握轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，能够准确判断各类平面 教学重难点 图形是否为轴对称图形，快速数出并画出全部对称轴 (2)熟记轴对称核心性质：对称点连线被对称轴垂直平分，对应边、对应 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角相等，会利用性质完成基础角度、线段长度计算 (3)掌握画点、线段、多边形轴对称图形的步骤，规范完成尺规作图，落 实画图基本方法，为后续等腰三角形学习筑牢根基 2.难点 (1)区分轴对称图形与两个图形成轴对称，学生易混淆单个图形对称和两 个图形对称，难以清晰表述二者异同，概念辨析容易出错 (2)灵活运用轴对称性质解决实际应用问题，比如最短路径问题，学生很 难自主构造对称点转化线段：作图时容易出现对称点位置偏差，无法保证 对称轴垂直平分连线，逻辑转化存在障碍 知识清单 知识点01轴对称 一、轴对称 轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，两个图形关于直线对称也 叫做轴对称。 二、轴对称图形 轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称 图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对 应点的线段被对称轴垂直平分.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 【即学即练】1.下列图形中是轴对称图形的是() 2.把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若得到∠AOB=80°.则∠B'OG= 2/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上， (I)画出△ABC关于直线I对称的图形△ABC: (②)尺规作图：画出∠4BC的角平分线BD: (3)尺规作图：画出AB边上的垂直平分线EF. 题型精讲 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】(25-26七年级下·湖南株洲期末)美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化 的融合.下列四种纹样图案中，是轴对称图形的是() A.【一月】梅花 B.【五月】石榴花 c.【十一月】茶花 D.【十二月】水仙花 【变式1】(25-26七年级下·山西运城期末)下列图片对应的四种非遗文化中，其图形设计不是轴对称图 形的是() 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 剪纸 面塑 降州鼓乐 D 平遥推光漆器 【变式2】(25-26七年级下·甘肃兰州期末)下面分别是某网站中特色农产品及食品加工、新材料、绿色 环保以及生物制药的图案，其中是轴对称图形的是() B D 【变式3】(25-26七年级下·陕西咸阳·期末)花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗 内部构成图案的核心部分.下面选项中的窗芯，是轴对称图形的是() 题型02根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例1】(26-27八年级全国·暑假作业)如图，若△ABC与△AB'C关于直线MN对称，BB交MN于点 O,则下列说法中，不一定正确的是() 4/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B C A.AB=A'B' B.AB∥B'C C.BB'⊥MW D.BO=BO 【变式1】(25-26七年级下·河南开封·期末)如图，△ABC与△DEF关于直线I对称，下列所连线段中， 不能被直线I垂直平分的是() B A.BE B.AD C.CF D.CD 【变式2】(25-26八年级上·安徽毫州阶段检测)如图，若△ABC与△AB'C关于直线MN对称，BB'交 MN于点O,则下列说法中，不一定正确的是() 公 A.AB=A'BB.AB∥B'C C.BB⊥MW D.BO=BO 【变式3】(2425七年级下·全国课后作业)如图，分别以△ABC的边AB,AC所在直线为对称轴作 △ABC的对称图形△ABD和△AEC.若∠BAC=150°，线段BD与CE相交于点O,连接 BE、ED、DC、OA.有如下结论：①LEAD=90°；②LBOE=60°；③BP=E0.其中正确的是 (填序号)· D E B 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例1】(25-26七年级下·四川遂宁·期末)如图：已知△ABC与△BAD关于直线I成轴对称， ∠ABD=110°，∠C=45°，则∠AEC=() A.45° B.50° C.55 D.60 【变式1】(25-26七年级下·山西临汾期末)如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E,F是AD上 的两点，若BD=3,AD=5,则图中阴影部分的面积是() A.7.5 B.8 C.15 D.16 【变式2】(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接 DE,DEI‖BC,△ADE与△ADE关于DE所在直线对称.若∠B=45°，则∠ADE的度数为 D B 【变式3】(25-26七年级下·陕西汉中期末)如图，四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC,延 长CB至点E,若∠ABE=1I6°，CE∥AD,则∠BAC的度数为 0 B 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 。画对称轴 【典例1】(25-26八年级上全国课后作业)下列图形中，对称轴最多的图形是() 【变式1】(2425八年级上·江苏南京阶段检测)下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对 称轴的是() A.菱形 B. 等腰三角形 C.等腰梯形 D.正五边形 【变式2】(25-26七年级下·全国·周测)如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线 13 【变式3】(24-25七年级下·全国课后作业)如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对 称轴的是 一：只有2条对称轴的是 一只有4条对称轴的是一·（填序号） 9P多没*8 ① ② ③④⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ © 题型05 画轴对称图形 【典例1】(25-26七年级下·陕西宝鸡·期末)请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等 的三角形，使它与己知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴. ① ② ③ 【变式1】(25-26七年级下·辽宁锦州期末)作图题 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定 的网格中按要求作图（不能用圆规，保留作图痕迹）. E B (1)作△ABC关于直线EF对称的△A'B'C': (2)作△ABC的中线BD 【变式2】(25-26七年级下辽宁沈阳·期末)如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1.△ABC的三 个顶点均在格点上、 IM (1)画出△ABC关于直线MN对称的△4BC: (2)在直线MN上找一点P,使PA+PC的值最小. (3)找到格点D,连接BD,满足BD与AC平行且相等 【变式3】(25-26七年级下·江西抚州：期末)如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫 做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示，作 图结果用实线表示。 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (I)在图①中，点P在格线上且是△ABC边AB上一点，作点P关于BC的对称点Q: (2)在图②中，点M是△ABC边AB上一点，在BC边上找点N,使AN+MN的值最小. 题型06折叠问题 【典例1】(25-26七年级下·湖南长沙阶段检测)如图，在△ABC中，D是边AB上的点，将△BCD沿直 线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，∠B=73°，则∠ADE的大小是() B D A.350 B.37° C.39 D.41° 【变式1】(25-26七年级下·四川泸州期中)如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若 ∠1=70°，则∠2=() A.350 B.45° C.55 D.65 【变式2】(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED 与BC的交点为G,点D,C分别落在D',C'的位置上，如果∠FGE=80°，那么∠EFG= E 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26七年级下·湖北武汉·期末)如图，在长方形ABCD中，F是边BC上一点，将三角形 ABF沿AF折叠到三角形AEF,点B落在点E处，若AE∥BD,∠ADB=26°，则∠BAF的大小为 D 题型07 最短路径问题 【典例1】(2026七年级下·全国专题练习)某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P,现有如下四种方 案，则核酸采集点P到AB两个小区之间的距离之和最短的是() B B m m B P m m 【变式1】(25-26八年级上·天津南开阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18， AB=9,BD平分∠ABC,E,F分别是BD,BC上的动点，则CE+EF的最小值为() D A.4 B.6 C.7 D.9 【变式2】(25-26七年级上河北唐山期中)如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路 程为60km,A、C间的路程为4Okm、现要在AB之间建一个车站P,若要使车站到三个村庄的路程之 和最小，则车站应建在 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CB公路 【变式3】(23-24八年级上江苏南京期中)如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5, 如果点D,E分别为BC,AB上的动点，那么AD+DE的最小值是 B E D 题型08 生活实际中的轴对称问题 【典例1】(2425七年级下·贵州贵阳阶段检测)一个车牌号在平面镜中的图象是òSE∂D一ML,则实际 车牌号为() A.JM-G9329 B.JM-G6356 C.JM-C6326 D.JM—G6326 【变式1】(2026河南·二模)如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入 底袋中，此时∠2=∠3，且∠1+∠3=90°，若∠2=57°，则∠1=() A.57 B.43 C.53° D.33 【变式2】(25-26七年级下河南开封期末)【跨学科物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合， 点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入 射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行)，若 ∠1=40°，则∠2的度数为 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26七年级下·内蒙古通辽期中)一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌 边P,碰到Q上的点B后便反弹而滚向桌边RS,碰到RS上的点C便反弹而滚入点Q,一共反弹两次， 已知AB,BC,CO都是直线，POI‖RS,且∠ABC的平分线BN垂直于PO,∠BCO的平分线CM垂直于RS, 若∠CQR=34°，则∠ABP的度数为 B 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级下河南郑州期末)线条纹样是艺术设计中不可或缺的元素，以下线条纹样中，是轴对 称图形的是( 2.(25-26七年级下山西太原期末)如图，线段AB与线段CD关于直线P对称，且AB与CD的交点O 在直线PO上，点A,B的对称点分别是点C,D.下列结论不一定正确的是(). 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.AB⊥CD B.BD⊥PQ C.∠DOQ=∠AOPD.AC∥BD 3.(25-26七年级下广西桂林·期末)已知△ABC和直线MN,求作△ABC关于直线MN对称的图形，甲、 乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是() M A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.(25-26七年级下甘肃张掖期末)如图，在长方形纸片ABCD中，AB‖CD,点E,F分别在边AB, CD上，将纸片沿EF折叠，A,D两点的对应点分别为A,D.若∠1=2L2,则∠3的度数是() D A.45o B.60° C.72° D.90° 5.(25-26七年级下山东青岛期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12,BC=5, E,F为△ABC边AC,AB上两个动点，连接BE,EF,则BE+EF的最小值是() E B 120 125 A.13 B.13 C.2 D.17 二、填空题 6.(25-26七年级下山东济南期末)木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代. 如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点A和点D为对称点，点B和点C为 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对称点，若∠A=70°，则∠D的度数为 度 D 7.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，△ABC与△AB'C关于直线l对称，若∠A=50°，∠C=25°， 则∠B'的度数为 B 8.(25-26八年级下·吉林长春·期末)网格小正方形边长为1，点A、B关于中间竖直线对称，点C在B正 上方6格，则点C的对称点与A的竖直距离为 9.(25-26七年级下·安徽合肥期末)如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△Bc=2,则图中阴 影部分的面积为一。 E D 10.(25-26七年级下北京西城期末)如图，四边形纸片ABCD,AB川DC,点E和点F分别为AB,CD 上的点，沿EF折叠纸片，点B落在点B处，点C落在点C处.若∠AEB=142°，则∠EFC=°. 14121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 三、解答题 11.(25-26七年级下·广东佛山期末)如图，在正方形网格中已有3个小方格涂成了阴影，请从其余的小 方格中选一个涂成阴影，使整个阴影图形成为轴对称图形，用3种不同的方法在图中补全图形，并画出相 应的对称轴。 12.(25-26七年级下·陕西汉中·期末)如图，方格中△ABC的三个顶点都在格点上. m (1)作出△ABC关于直线m对称的△4B,C； (2)在直线n上确定一点P,使得PA+PC最小. 13.(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=28° (I)求∠ACB的度数； (②)D是线段AB上一点，连接CD,将△ACD沿CD折叠，点A落在同一平面内的点A处，且AD∥BC, 求∠ACD的度数， 14.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，点M、N分别是边AB、BC上一点，将 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC沿直线MN折叠，使点B与点A重合，连接AW, M C=.B (1)若∠C=80°，∠B=40°，求∠CAN的度数： (2)若AC=4,BC=7,则△ACN的周长为： 15.(25-26七年级下·辽宁阜新期末)【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望 烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”. 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案.正确的方案是 (填序号)· 方案① 方案② A 方案③ 方案④ B A A 图1 【解决问题】 (②)如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m对称，点P是直线m上的动点.若AB=5,AC=6, BC=8,则△ABP周长的最小值为 图2 【类比探究】 (3)如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流OA边上一点C饮马，再到草地OB 边上一点D吃草，最后回到军营P 16/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。P 图3 ①在图3上作图：使将军走过的路程PC+CD+DP最短.（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程PC+CD+DP最短，且∠AOB=55°时，则∠CPD= 0 能力提升 一、 单选题 1. (2026江苏徐州模拟预测)下列交通标志中，是轴对称图形的是() A B C D 2.(25-26八年级下·宁夏银川期末)如图，在△ABC中，M,N分别是边AB,BC上的点，将△BMN沿 MN折叠：使点B落在点B处，若∠B=35°，∠BNM=28°，则∠AMB的度数为() A B M B A.63° B.54° C.42° D.37 3.(25-26七年级下辽宁大连期末)如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD,将ABCD沿EF折叠， A,D两点分别与A、D对应，若∠I-∠2=15°，则∠AEF的度数为() 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.60° B.65 C.72 D.75 4.(25-26七年级下·宁夏银川期末)如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=50°，点D是BC上任意一点，点 E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF,则∠EAF的度数是() F 人60° 50°入 D C A.140° B.135° C.120° D.100° 5.(25-26七年级下·四川达州期末)如图，将线段BC沿着射线CA折叠得到CD,延长CD到E,连接 BE,点F是射线CA上的一个动点，连接FE,FD,若BC=20,EC=28,△DEF的周长的最小值为 22,则BE长为() A C A.18 B.16 C.14 D.12 二、填空题 6.(25-26七年级下·山东淄博期未)如图，在△ABC中，BC=10,分别沿DE,GF折叠，使点B与点 A重合，点C与点A重合，则△AEG的周长为 B 7.(25-26六年级下山东烟台·期末)光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射 光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角.如图，一个平面镜斜着放 在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB=40°，在OB上有一点E,从点E射出一束光线（入射光线），经 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为. 之A 0 E 8.(25-26七年级下四川成都期末)如图，三角形纸片ABC,沿AE折叠，使点B落在AC边上的点D 处，已知△CDE的周长是8厘米，△ABC的周长为26厘米，则AB= 厘米 A------ --B 9.(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，∠AOB=50°，定点P为∠AOB内一点，在射线OA和OB上分 别确定点M,N,使得△PMN的周长最小，则此时∠MPN的度数为 A M B 10.(25-26七年级下陕西汉中期末)如图，在直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=6,CD=8, AC=10,动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD,DC的对称点分别为E,F,连 接EF,点D在EF上，则在点M的运动过程中，线段EF长度的最小值是 O 三、解答题 11.(25-26八年级下·贵州毕节期末)如图，在正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形 ABCD的四个顶点均在格点上. 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画出与四边形ABCD关于直线I对称的四边形A'B'CD'； (2)在直线1上作点P,使得点P到点B,C的距离之和最小.（不写作法，保留作图痕迹） 12.(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形ABCD.为了飞 行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即BD被AC垂直平分 抽象 (I)小深通过测量得到了AB=AD,还需测量得到 (不添加新的点和线的前提下，增加一个条件)， 即可判断制作的风筝面ABCD为轴对称图形，请说明理由 (2)若四边形ABCD是轴对称图形，且AB⊥BC,∠BCD=50°，求∠ADB的度数， 13.(25-26七年级下·宁夏银川期末)我们已经学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问 题吗？ 刀 E B B 图1 图2 ()如图1，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点A落在点A处，BC为折痕.若 ∠ABC=55°，求∠DBA的度数 (2)在(1)的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA'重合，点D落在点D'处，折痕 为BE,如图2，求∠CBE的度数 (3)若改变图2中∠ABC的大小，则BA'的位置也随之改变，那么(2)中∠CBE的大小会不会改变？请说明 20121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由. 14.(25-26七年级下·广东佛山期末)长方形是四个角都是直角的四边形，它共有四条边，对边长度相等 且互相平行，通常把较长的边叫做长，较短的边叫做宽，生活中课本、课桌、黑板等物体的表面，大多都 是长方形. D BH 图1 图2 (I)如图1，长方形纸片ABCD沿着CE折叠，使得D点落在F处，沿着HE折叠，使得A点落在EF边上的 G处.你能求出∠HEC的度数吗？ (②)如图2，在一张A4纸片（长方形ABCD)沿着AE折叠，B点对应点F在AD边上，将AE沿AG折叠， 此时AE恰好与AD重合，折痕AG交EF于M. ①连接DM、GE,△DFM与△ECG全等吗？请用七年级所学知识说明理由. ②设长方形ABCD的长为a,宽为b,请直接写出△MEG的面积（用含ab的代数式表示）· 21/21 专题2.1 图形的轴对称 教学目标 · 知识目标：认识轴对称图形和成轴对称的概念，分清两者区别与联系，掌握对称轴定义，能找出常见几何图形、生活图案的对称轴。理解轴对称的性质，知晓对称轴垂直平分对称点连线，对应线段、角相等。 · 能力目标：可以依据轴对称性质画出已知点、线段、简单图形关于定直线的对称图形；能借助轴对称解决简单线段最值、边长角度计算问题，提升作图能力与几何推理能力。 · 情感目标：观察生活中的轴对称现象，感受对称的均衡美感；在动手画图、探究归纳中养成细致严谨的习惯，体会几何知识和生活的紧密联系，激发几何学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）掌握轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，能够准确判断各类平面图形是否为轴对称图形，快速数出并画出全部对称轴 （2）熟记轴对称核心性质：对称点连线被对称轴垂直平分，对应边、对应角相等，会利用性质完成基础角度、线段长度计算 （3）掌握画点、线段、多边形轴对称图形的步骤，规范完成尺规作图，落实画图基本方法，为后续等腰三角形学习筑牢根基 2.难点 （1）区分轴对称图形与两个图形成轴对称，学生易混淆单个图形对称和两个图形对称，难以清晰表述二者异同，概念辨析容易出错 （2）灵活运用轴对称性质解决实际应用问题，比如最短路径问题，学生很难自主构造对称点转化线段；作图时容易出现对称点位置偏差，无法保证对称轴垂直平分连线，逻辑转化存在障碍 知识点01 轴对称 一 、轴对称 轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 二 、轴对称图形 轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 【即学即练】1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断即可． 【详解】A选项中的图形沿经过圆心的水平直线或竖直直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形； B选项中的太极图是中心对称图形，沿任何直线折叠两旁部分均不能重合，故B不是轴对称图形； C选项中的交通标志图形左右形状不同，找不到对称轴，故C不是轴对称图形； D选项中的风车状图形是中心对称图形，沿任何直线折叠两旁部分均不能重合，故D不是轴对称图形． 2．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若得到．则_________ 【答案】 【分析】先求出，再由折叠的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得：． 3．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形； (2)尺规作图：画出的角平分线； (3)尺规作图：画出边上的垂直平分线． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如上图，射线即为所求： (3)如上图，直线即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】（25-26七年级下·湖南株洲·期末）美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融合．下列四种纹样图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A．梅花不是轴对称图形； B．石榴花不是轴对称图形； C．茶花不是轴对称图形； D．水仙花是轴对称图形． 【变式1】（25-26七年级下·山西运城·期末）下列图片对应的四种非遗文化中，其图形设计不是轴对称图形的是（     ） A．剪纸 B．面塑 C．绛州鼓乐 D．平遥推光漆器 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）下面分别是某网站中特色农产品及食品加工、新材料、绿色环保以及生物制药的图案，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形定义逐一判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、是轴对称图形，故此选项符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴直线l垂直平分线段、、， ∵C与D不是对应点， ∴线段不能被直线l垂直平分． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）如图：已知与关于直线成轴对称，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质得出，，利用三角形内角和求出的度数，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ∴, ，， 在中，， ， 是的外角， ． 【变式1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】得出的面积，，由此即可得． 【详解】解：∵所在直线是的对称轴， ∴， ∵，， ∴， 又∵所在直线是的对称轴， ∴点与点关于直线对称， ∴与关于直线对称， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 【答案】 45 【详解】解：∵，， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴. 【变式3】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据轴对称的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是轴对称图形，对称轴是直线， ∴， 故答案为：． 题型04 画对称轴 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对称轴，对称轴指的是一个图形沿着对称轴对折后，折痕两侧能够完全重合的直线．画出各图形的对称轴即可求解． 【详解】 解：A．对称轴有1条； B．对称轴有4条； C．对称轴有2条； D．对称轴有5条； 综上可知，对称轴最多的图形是， 故选D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号） 【答案】 ①②⑩ ③④⑤⑥⑧⑨ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】解：因为图①有1条对称轴，图②有1条对称轴，图③有2条对称轴，图④有2条对称轴，图⑤有2条对称轴，图⑥有2条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑧有2条对称轴，图⑨2条对称轴，图⑩有1条对称轴． 所以只有1条对称轴的是①②⑩；只有2条对称轴的是③④⑤⑥⑧⑨；只有4条对称轴的是⑦． 故答案为：①②⑩；③④⑤⑥⑧⑨；⑦． 题型05 画轴对称图形 【典例1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【答案】如图： 【分析】利用轴对称图形性质从左右对称，上下对称出发可画出题目所要求的图形． 【详解】略． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）作图题 如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图(不能用圆规，保留作图痕迹)． (1)作关于直线对称的； (2)作的中线． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，的中线即为所求 【分析】（1）根据轴对称性质找到的顶点关于直线成轴对称的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用网格找到的中点D，再连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)找到格点，连接，满足与平行且相等． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点P即为所求； (3)如图，点、即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）根据格点特点找出符合条件的点D即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； （3）略 【变式3】（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，点在格线上且是边上一点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点是边上一点，在边上找点，使的值最小． 【答案】(1)如图①所示，点即为所作： (2)如图②所示，点即为所作 【分析】（1）根据网格的特点作出关于的对称线段，进而找到与网格线的交点，即可求解； （2）找到关于的对称点，连接交于点，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型06 折叠问题 【典例1】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，则，再由平角的定义可得，则，据此可得到，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为G，点D，C分别落在，的位置上，如果，那么__________． 【答案】/50度 【分析】首先利用平行线的性质得到，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， ∵ ∴． 【变式3】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，在长方形中，是边上一点，将三角形沿折叠到三角形，点落在点处，若，，则的大小为________． 【答案】 【分析】记交于点，由翻折得，由得，根据长方形得，再根据三角形内角和定理得，计算即可． 【详解】解：如图，记交于点， 由翻折得， ， ， ， 在长方形中，，， ， ， ． 题型07 最短路径问题 【典例1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 【变式3】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型08 生活实际中的轴对称问题 【典例1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 【变式1】（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期末）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南郑州·期末）线条纹样是艺术设计中不可或缺的元素，以下线条纹样中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，线段与线段关于直线对称，且与的交点在直线上，点，的对称点分别是点，．下列结论不一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质：①对称轴垂直平分任意一组对称点的连线；②对称轴两侧对应角相等、对应线段平行；逐一判断四个选项，找出无法必然成立的结论． 【详解】解：已知线段、关于直线对称，与、与为对称点，交点在对称轴上． 选项：根据轴对称性质：对称轴垂直平分两组对称点的连线，、是对称点，因此直线垂直平分线段，即，该结论一定正确． 选项：由轴对称，； 又、关于对称，； 与为对顶角，， 因此，该结论一定正确． 选项D：根据轴对称性质，，， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故，该结论一定正确． 选项A：轴对称仅保证、关于翻折后完全重合,两线段的夹角可以是任意角度，不一定为． 举反例:若与对称轴夹角为，则与夹角也为，此时与夹角为，不垂直． 因此不一定成立． 3．（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 4．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，从而得出，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，从而将转化为，根据垂线段最短可知，当、、三点共线且时，取得最小值，最小值即为点到的距离，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ∵，、关于对称， ∴在的延长线上，且，， ∴， ∴，要使最小，即求的最小值， ∵在上， ∴当、、三点共线，且时，最小，最小值为到的垂线段长，如图， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题 6．（25-26七年级下·山东济南·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点，点和点为对称点，若，则的度数为_____度． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，关于直线对称的两个图形全等，对应角相等，由点A和点D为对称点可知与是对应角，从而得出，代入数值即可． 【详解】解：∵蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点， ∴与是对应角， ∴． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 【答案】 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）网格小正方形边长为1，点A、B关于中间竖直线对称，点C在B正上方6格，则点C的对称点与A的竖直距离为_________． 【答案】6 【详解】解：由对称性可知，点C的对称点与A的竖直距离等于点与点的竖直距离， ∵点C在B正上方6格， ∴点C的对称点与A的竖直距离为6. 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，和关于直线对称，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 1 【详解】解：和关于直线对称， 直线为的对称轴， ，与关于直线对称， ， ， ， . 10．（25-26七年级下·北京西城·期末）如图，四边形纸片，，点和点分别为，上的点，沿折叠纸片，点落在点处，点落在点处．若，则________． 【答案】 19 【分析】首先，由，得，再由折叠的性质，得，，进而得，，然后，由三角形的内角和为，即可求得的度数． 【详解】解：如图，设与交于， ∵， ∴， 由折叠的性质，得，， ∴，， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，在正方形网格中已有个小方格涂成了阴影，请从其余的小方格中选一个涂成阴影，使整个阴影图形成为轴对称图形，用种不同的方法在图中补全图形，并画出相应的对称轴． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念作图即可． 【详解】略 12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，方格中的三个顶点都在格点上． (1)作出关于直线m对称的； (2)在直线n上确定一点P，使得最小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别作出三个定点关于直线m的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）作点A关于直线n的对称点，再连接，与直线n交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，求出，再由折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由折叠可知．   ∵， ∴．   ∴．   由折叠可知． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的周长为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由折叠的性质得，将的周长转化为即可求解． 【详解】（1）解：， 由折叠的性质得：， ∴． （2）解：由折叠的性质得：， 的周长． 15．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】(1)④ (2)11 (3)①如图，点、即为所求 ②70 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）下列交通标志中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形，进行逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义及角的和差关系计算即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B落在点处， ， ∵点A，M，B在同一直线上， ． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，为一长方形纸带，，将沿折叠，，两点分别与、对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质，得到和相等，作为第一个关键关系．因为，根据平行线的内错角相等，得到与相等．因为是直线，平角为，所以，结合已知的，联立方程求解． 【详解】解：根据折叠的性质：； ∵长方形中， ∴， 因此． ∵ ， 代入得：， ∵， ∴联立两个方程：， 解得， 因此． 4．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，中，，，点是上任意一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴对称的性质，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵点和点分别是点关于和的对称点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（     ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】线段沿着射线折叠得到，可得，，求得，当E，F，B共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可得解． 【详解】解：∵线段沿着射线折叠得到， ∴，， ∵， ∴， 当E，F，B共线时， 此时周长最短； ∴， ∴． 二、填空题 6．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为________________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，利用等量代换将的周长转化为线段的长即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 的周长 ， ， 的周长为． 7．（25-26六年级下·山东烟台·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，三角形纸片，沿折叠，使点落在边上的点处，已知的周长是8厘米，的周长为26厘米，则___________厘米． 【答案】 【分析】 由折叠得，，的周长为，的周长为，代入解得． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， 的周长为 的周长为， 把代入上式：得， 解得． 9．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________． 【答案】 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、交于，交于，的周长最小值等于的长，然后依据中，，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于，   ，，， 根据轴对称的性质可得，， 的周长的最小值， 由轴对称的性质可得， 中，， . 10．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为E，F，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是_________． 【答案】9.6 【分析】连接，由轴对称的性质得出，由点D在上，得出，即可得出当取得最小值时，取得最小值，最后再由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵点M关于边，的对称点分别为E，F， ∴，， ∴， ∵点D在上， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴的最小值为， ∴线段长度的最小值是． 三、解答题 11．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形的四个顶点均在格点上． (1)画出与四边形关于直线对称的四边形； (2)在直线上作点，使得点到点，的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)四边形如图所示： (2)点如图所示 【分析】（1）利用轴对称的性质作出四边形； （2）连接交直线于点，此时点到点，的距离之和最小． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即被垂直平分． (1)小深通过测量得到了，还需测量得到______（不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），即可判断制作的风筝面为轴对称图形，请说明理由． (2)若四边形是轴对称图形，且，，求的度数． 【答案】(1)解：还需测量得到，理由如下： 如图所示，设交于点O， 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴被垂直平分， ∴制作的风筝面为轴对称图形； 还需测量得到，理由如下： 如图所示，设交于点O， 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴被垂直平分， ∴制作的风筝面为轴对称图形； (2) 【分析】（1）添加条件或，证明，得到，再证明，得到，则可证明被垂直平分，则制作的风筝面为轴对称图形； （2）设交于点O，证明，得到，则；再证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设交于点O， ∵四边形是轴对称图形，即被垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我们已经学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问题吗？ (1)如图1，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点落在点处，为折痕．若，求的度数． (2)在（1）的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使边与重合，点落在点处，折痕为，如图2，求的度数． (3)若改变图2中的大小，则的位置也随之改变，那么（2）中的大小会不会改变？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：不变，理由如下： ∵折叠， ∴， ∴ ， 即， ∴的大小不会改变． 【分析】（1）根据折痕是角平分线，以及平角的定义进行求解即可； （2）根据折痕是角平分线，以及角的和差关系进行求解即可； （3）根据折痕是角平分线，平角的定义以及角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵折叠， ∴， ∴； （3）略 14．（25-26七年级下·广东佛山·期末）长方形是四个角都是直角的四边形，它共有四条边，对边长度相等且互相平行，通常把较长的边叫做长，较短的边叫做宽．生活中课本、课桌、黑板等物体的表面，大多都是长方形． (1)如图，长方形纸片沿着折叠，使得点落在处，沿着折叠，使得点落在边上的处．你能求出的度数吗？ (2)如图，在一张纸片（长方形）沿着折叠，点对应点在边上，将沿折叠，此时恰好与重合，折痕交于． 连接、，与全等吗？请用七年级所学知识说明理由． 设长方形的长为，宽为，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)解：与全等，理由如下， 由折叠性质可知，，，，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠性质得， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ． 【分析】由折叠性质可知，，又，则有，从而求解； 由折叠性质可知，，，，，故和是等腰直角三角形，所以，得，证明，则有，所以，然后通过“”证明即可； 由题意得，，则，再通过的面积为即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∴，即的度数为； （2）解：略； ∵长方形的长为，宽为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $