专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理三角形倒角模型知识体系，涵盖飞镖（燕尾）、风筝、翻角模型，结合思维导图呈现外角定理推导逻辑，用对比表格区分模型结构与公式，明确重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与情境化典例，如以弹弓实物图探究平行线间角度关系，引导学生用“延长线段构造外角”推导，培养推理意识与几何直观。A组基础题巩固公式，B、C组综合题提升复杂图形识别能力，易错点总结帮助学生规避误区，教师可据此实施精准分层教学。

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 飞镖模型（燕尾模型）：图形向内凹陷，形如燕尾，由一个凹四边形构成，有一个向内的凹顶点，利用三角形外角定理拆分图形，建立凹角与外围三角的数量关系，实现角度求和计算。 风筝模型（也叫凹四边形对角模型）：拥有一组对顶的凹角，图形对称，同样依托三角形外角拆分，分为角度版风筝与面积版风筝，初中倒角以角度风筝为主。 两类模型本质一致：把凹四边形分割成两个三角形，用外角定理进行角度转化，无需添加辅助线即可完成推导。初中两大基础倒角母题，填空选择题快速口算角度的核心工具，几何大题的前置倒角步骤，常和角平分线、平行线、双角平分线综合命题，属于几何倒角必备基础模型，难度中等，上手快、实用性极强。命题特征：很少单独画出标准飞镖图形，大多嵌套在复杂图形内部，需要学生自行拆分识别凹四边形结构。 掌握飞镖、风筝两种凹多边形结构的角度公式，理解推导逻辑，不硬背死公式，学会用外角定理推导角度关系，能够在复杂图形中识别隐藏的飞镖 / 风筝结构，完成角度代换与计算。（核心目标） 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.飞镖（燕尾）模型 3 模型2.鹰爪（风筝）模型 9 模型3.翻角模型 15 易错点与方法总结 19 模型运用 20 A组（基础题） 20 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 32 燕尾（飞镖）、风筝（8 字）倒角模型并非教材原生定理，属于几何教研衍生的二级模型，根植于三角形内角和、三角形外角定理、对顶角相等这些课本基础知识点。飞镖模型起源于凹四边形角度探究问题，风筝模型来源于相交线段形成的对顶三角形，二者最初是课后习题的变式图形，教育工作者将反复出现的图形规律提炼归纳，根据外形特征命名为燕尾、风筝模型。 这类模型没有正式的几何学术名称，飞镖、风筝只是教辅与课堂教学中的通俗叫法。浙教版八年级上册学完三角形相关内容后，即可通过辅助线完成完整推导。中考命题不会直接考察模型记忆，考题原型大多改编自教材习题。 由于不属于课本定理，解答题不能直接引用模型结论，仅可用于选择填空题快速解题。模型本质是把基础定理做图形化总结，用来简化复杂图形倒角运算，训练学生识别基本图形的能力，在浙江各地模考几何题中频繁出现。 1）三角形外角定理：三角形外角 = 不相邻两个内角之和； 2）三角形内角和 180°； 3）等量代换与整式代数化简； 4）几何倒角书写格式。 模型1.飞镖模型 【模型提炼与证明】 1）飞镖模型（边）：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 2）飞镖模型（角度）：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 3）飞镖模型拓展：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 【典例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，，点F在的反向延长线上，，记，，则与之间的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反向延长与交于点M，根据题意令，则，根据平行线的性质得到，从而得出，再根据对顶角相等，三角形内角和定理表示出，得到，整理得出答案． 【详解】解：如图，反向延长与交于点M，与交于点N， ，， 令， 则， ， ， ， ， ， 则， ， ， ， ， ， 整理得：． 【典例3】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有, ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【典例4】（25-26七年级下·山西太原·期中）综合与实践 【问题情境】 如图是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1，弹弓的两边可看成是平行的，即． (1)如图1，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，，，则的度数为________． 【猜想证明】 (2)在图2中，已知，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 (3)①如图3，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，作和的平分线，，交于点（交点在两平行线，之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． ②如图4，，，平分，若，求的度数为________． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，作，则， ，， ， ， ， ． (3) ①； ②． 【分析】（1）过点作，利用两直线平行内错角相等以及角度的和差关系即可得到，进而可求解； （2）作，则，，进而可求解； （3）①过点P作，先根据平行线性质以及角平分线性质得到，再通过（2）的结论可得到，进而可求解；②设交点为，过点作，设 ，则，即 ，通过平行线性质以及角度和差关系可得到，，再根据角平分线性质可得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：①∵、分别是和的平分线， ∴，，过点P作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， 由第（2）得：， ∴， ∴， 即； ②如图，设交点为，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设 ，则，即 ， 故 ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴． 【典例5】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：. 模型2.鹰爪模型 【模型提炼与证明】 1）鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 图1 图2 2）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【答案】 （1），理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． （2） （3）， 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：略 ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． 略 【典例2】（第04讲角度计算中的常见模型-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假精品课（人教版））（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 【答案】（1）； （2） （3）A （4） 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，，进而求出，即可得出答案； （4）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可． 【详解】解：（1）； 理由如下：由折叠的性质得：，， ∴①， 又∵， ∴②， 由①②得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）理由：∵于点M，于点N， ∴，， ∴，由（1）知， ∴， ∴， 故选：A； （4）由（1）得：， 得， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【点睛】本此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键． 【典例3】（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 【典例4】（25-26八年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1) ． 理由：由折叠得：，， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【典例5】（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 模型3.翻角模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中． (1)如图1，点F在上，，过点D作，平分，平分，直线与直线交于点G，求的度数； (2)如图2，若点F在延长线上时，D在直线下方，其他条件不变，画出图形，求的度数； (3)如图3，若点F在延长线上时，D在直线下方，条件改为其他条件不变，画出图形，直接写出的度数 （用a表示）． 【答案】(1)的度数为或 (2)当点在下方时，如图所示： 此时的度数为； 当点在上方时，如图所示： 此时的度数为． (3)当点在射线上时，如图所示： 此时为； 当点在射线上时，如图所示： 此时为． 【分析】（1）当点在下方时，根据角分线的性质设，，先根据得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时； （2）设，，此时与第一种情况是大致相同的，先根据同样得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时； （3）当点在射线上时，设，，先根据得出，利用平行线的性质和三角形的内角和定理可得；当点在点上方时，此时． 【详解】（1）解：当，点在下方时，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∵，即， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴在中，； 当，点在点上方时，延长交于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴在中，， ∴，即， ∴在中，， ∴，即， ∴； 综上：的度数为或． （2）解：当，点在下方时，延长交与点，交与点，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴在中，， ∴， ∴； 当，点在上方时，延长交延长线于点，延长交延长线于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴在中，， ∴，即， ∴在中，， ∴，即， ∴； 综上：的度数为或． （3）解：当，点在射线上时，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴ ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即； 当，点在射线上时，延长交直线于点，交于点，如图所示： 同理设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴在中，，即， ∵在中，，即， 又∵， ∴， ∴； 综上：为或． 【典例2】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证及，利用平行线性质推导角的关系，逐项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故D正确； ∵，，且， ∴，故C正确； ∵，， ∴． 若， 则， 即，题目未限定此条件，故B不一定正确． 【典例3】（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，点D，E，F分别是的边，，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2)证明：， 又，， ∴， 解得：， ， ． 【分析】（1）由平行线的性质进行证明即可； （2）由三角形内角和定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【典例4】（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点H， 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）； (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明，再证明，即可证明； （2）利用平行线的性质求得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以． 【典例5】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，已知直线，直线，的角平分线交直线于点，点在射线上，连结，．当，且时，则________度． 【答案】或 【分析】分两种情况：①当F点在线段上时，根据平行线的性质和判定可得，进而可得，结合即可求出的度数；②当F点在线段的延长线上时，延长交于G．根据平行线的性质和角平分线的定义证明，则可得，结合即可求出的度数． 【详解】解：①如图，当F点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②如图，当F点在线段的延长线上时， 延长交于G． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴中，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 模型常见易错点 1）公式记反，写成∠A=∠BDC+∠B+∠C 错误颠倒大小角，凹进去的角是最大角，等于另外三个角之和。 正解：延长线段造外角，现场推导，不要死记公式。 2）分不清飞镖和八字（8 字）模型 八字模型：对顶角相等，∠A+∠B=∠C+∠D； 飞镖模型：凹四边形，凹角 = 另外三角之和，结构不同，公式不能混用。 3）在解答题直接写飞镖结论，没有推导过程 填空可以口算使用结论，大题必须通过延长线段 + 外角定理写出推导步骤，不能直接套用模型名称。 4）找不到图形里的隐形飞镖 复杂图形中没有画出完整飞镖轮廓，不会局部拆分三角形，只会使用标准图形。 5）风筝模型比例式与角度式混淆 初中倒角只用角度和差关系，不要套用相似风筝的面积 / 比例结论。 解题方法总结 飞镖风筝模型是三角形外角定理的延伸应用，是从基础三角形角度计算走向不规则多边形倒角的过渡内容。风筝模型用于交叉图形，飞镖用于内凹图形，二者相辅相成，大量出现在选择填空压轴，也是全等、圆综合大题的前置倒角工具。 熟练掌握 “延长线段构造外角” 的推导思路，不仅可以搞定本模型，还可以自主推导所有不规则四边形角度关系，摆脱死记公式的学习模式，提升几何逻辑能力。 1．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理并结合折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在三角形纸片中，，， ∴， 如图： 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角板的性质求出，再利用三角形的内角和为求出，进行求解即可． 【详解】解：如图： 和是两个直角三角板， ， ， ． 3．（2026·甘肃白银·二模）在光学实验课上，老师为同学们展示了一个激光反射实验装置．该装置由如图所示的两块平面镜，构成，一束激光以一定角度斜射到平面镜上发生第一次反射，反射光线又继续射到平面镜上发生第二次反射，第二次反射光线为，具体光路如图所示．若，，则平面镜与的夹角的度数为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：由平面反射可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 5．（2026·辽宁大连·一模）如图，，与相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出，再由平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 6．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键．根据在中，得出，根据折叠和三角形内角和定理得出，得，求出结果即可． 【详解】解：在中， 则， 根据折叠的性质知：，， 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：D． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 9．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，若，则________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 11．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在下方时和当点在上方时，利用平行和折叠的性质分别求出，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】中，，， ， 如图，当点在下方时， ， ， 由折叠可知，， ； 如图，当点在上方时， ， ， ， 由折叠可知，， ； 综上可知，的度数是或． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________． 【答案】 【分析】设、交于点，根据题意可得，，再根据，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，设、交于点， 、，，，，， ，， ，， ， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______． 【答案】50 【分析】连接，利用三角形内角和定理得出，接着求得，再在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据对顶角相等得到的度数，最后在 中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵在中，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边上的点，，，若，则________． 【答案】110 【分析】利用平行线的性质可得，根据三角形内角和定理求出的度数，进而得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图将沿方向平移到的位置． (1)若，，则______，______． (2)若，，，，则平移的距离为______，______． 【答案】(1)； (2)；3 【分析】（1）根据平移的性质得到，由平行线的性质可得的度数，再由三角形内角和定理可得的度数； （2）根据线段的和差关系可得的长，则可得到平移距离，由平移的性质可得的长． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴平移的距离为； 由平移的性质可得． 16．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：， 中，， 又，， ， 故答案为：． 17．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）如图，点O是直线l外一点，，垂足为P，点A，C分别是直线l，线段上一点，，过点B作，平分交l于点E，平分． (1)如图1，若点A与点P重合，则________； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②解：的大小不变，是，理由如下： 过点C作，交于点， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， 即的大小不变，是 【分析】（1）根据平行线的性质，证明三点共线，求解即可； （2）①过点C作，交于点，证明，利用平行线的性质，三角形内角和，求解即可； ②仿照①的解答，设，证明即可． 【详解】（1）解：当点A与点P重合时， ， ， ， 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的性质，得直线表示的是同一条直线即三点共线， ， 平分交l于点E， ，， 平分，， ， ． （2）解：①如图，过点C作，交于点， ， ， ，平分， ， ， ， ，， ∵平分， ． ②略 18．（25-26六年级下·山东威海·期末）研究性学习 【知识链接】①三角形三个角的和是． ②如图Ⅰ，光线照射一个平面镜后被反射，反射光线为，则．特别地，若光线垂直照射平面镜，则光线会沿与照射光线同路径的相反方向反射，即反射光线的路径与照射光线的路径重合且方向相反． 【问题解决】有两个平面镜，，最初的照射光线为，最终的反射光线为． (1)如图Ⅱ，将两个平面镜垂直放置，照射光线与镜面的夹角为．若，可以求得光线经过2次反射后的射出路径与照射路径平行且方向相反．若调整光线的方向，即改变的大小，且，则反射光线的路径方向与照射光线的路径方向会怎样？ （在横线上填写字母代号）； A．路径平行，方向相反    B．路径不平行，方向相反 C．路径平行，方向相同    D．路径不平行，方向相同 E．路径和方向会随的大小变化出现不同情况 (2)如图Ⅲ，将两个平面镜的夹角调整为，照射光线与镜面的夹角．照射光线会在两个平面镜上进行多次反射，直至最终的反射光线射出． ①可以得出：光线经 次反射后最终射出；（直接写答案） ②光线的路径方向与的路径方向如何？写出你的结论及理由． 【答案】(1)A (2)①5； ②光线的路径与的路径重合，且方向相反． 光线反射示意图如下： 可得， ， ， ， ， ． ，即， 此时，光线在F处会沿与照射光线同路径的相反方向反射， 所以，光线的路径与的路径重合，且方向相反． 【分析】（1）设，则，通过计算可得，则； （2）①画出示意图，计算角度即可解答； ②画出示意图，计算角度即可解答． 【详解】（1） 解：设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ∴反射光线与照射光线路径平行，方向相反； （2）解：①光线反射示意图如下： 可得， ， ， ， ， ． ，即， 则光线原路射出，需要经过次反射后最终射出； ②略 19．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知：，点在线段上（不与、重合）． (1)如图1，若于，交于； ①求证：； ②如图2，分别作、的平分线交于点，求的度数． (2)如图3，在射线上取点，连接，作的平分线交于点，点在线段上，连解接，若，设、、，求、、之间的数量关系． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② (2) 【分析】（1）①先根据垂线的性质得出，再根据三角形内角和定理得出，最后根据平行线的性质得出，即可证明结论； ②过点F作，根据角平分线定义得出，，根据平行线的性质得出，，根据即可得出答案； （2）设，则，，根据三角形内角和定理和角平分线定义得出，过点H作，根据平行线的性质得出，代入得出，整理即可得出答案． 【详解】（1）①略 ②解：过点F作，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 即， 过点H作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 即． 20．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，且， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及三角形内角和，解题关键是先利用“垂直于同一直线的两直线平行”和“等量代换”证明，再利用三角形内角和计算即可． （1）由、得，推出，结合已知等量代换得，由“同位角相等，两直线平行”得； （2）由得为直角三角形，先算出 ，再用即可求解的度数． 【详解】（1）证明： ， ， ， （2）解： 在中， ， ， ，， ， 故的度数为． 21．（25-26八年级上·全国·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 【答案】(1)105 (2)80 (3) (4)5 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，即可求出； （2）先根据三角形内角和定理求得，再根据三等分线的定义求得，即可求出； （3）先根据三角形内角和定理求得，再根据等分线的定义求得，即可求出； （4）依据（3）的结论即可求出的值． 【详解】（1）解：∵点是与的角平分线的交点，， ∴， ∴ （2）解：∵点2是与的三等分线的交点， ∴， ∴； （3）解：∵点是与的等分线的交点， ∴， ∴ （4）解：由（3）得：， 解得：． 22．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 飞镖模型（燕尾模型）：图形向内凹陷，形如燕尾，由一个凹四边形构成，有一个向内的凹顶点，利用三角形外角定理拆分图形，建立凹角与外围三角的数量关系，实现角度求和计算。 风筝模型（也叫凹四边形对角模型）：拥有一组对顶的凹角，图形对称，同样依托三角形外角拆分，分为角度版风筝与面积版风筝，初中倒角以角度风筝为主。 两类模型本质一致：把凹四边形分割成两个三角形，用外角定理进行角度转化，无需添加辅助线即可完成推导。初中两大基础倒角母题，填空选择题快速口算角度的核心工具，几何大题的前置倒角步骤，常和角平分线、平行线、双角平分线综合命题，属于几何倒角必备基础模型，难度中等，上手快、实用性极强。命题特征：很少单独画出标准飞镖图形，大多嵌套在复杂图形内部，需要学生自行拆分识别凹四边形结构。 掌握飞镖、风筝两种凹多边形结构的角度公式，理解推导逻辑，不硬背死公式，学会用外角定理推导角度关系，能够在复杂图形中识别隐藏的飞镖 / 风筝结构，完成角度代换与计算。（核心目标） 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.飞镖（燕尾）模型 3 模型2.鹰爪（风筝）模型 9 模型3.翻角模型 15 易错点与方法总结 19 模型运用 20 A组（基础题） 20 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 32 燕尾（飞镖）、风筝（8 字）倒角模型并非教材原生定理，属于几何教研衍生的二级模型，根植于三角形内角和、三角形外角定理、对顶角相等这些课本基础知识点。飞镖模型起源于凹四边形角度探究问题，风筝模型来源于相交线段形成的对顶三角形，二者最初是课后习题的变式图形，教育工作者将反复出现的图形规律提炼归纳，根据外形特征命名为燕尾、风筝模型。 这类模型没有正式的几何学术名称，飞镖、风筝只是教辅与课堂教学中的通俗叫法。浙教版八年级上册学完三角形相关内容后，即可通过辅助线完成完整推导。中考命题不会直接考察模型记忆，考题原型大多改编自教材习题。 由于不属于课本定理，解答题不能直接引用模型结论，仅可用于选择填空题快速解题。模型本质是把基础定理做图形化总结，用来简化复杂图形倒角运算，训练学生识别基本图形的能力，在浙江各地模考几何题中频繁出现。 1）三角形外角定理：三角形外角 = 不相邻两个内角之和； 2）三角形内角和 180°； 3）等量代换与整式代数化简； 4）几何倒角书写格式。 模型1.飞镖模型 【模型提炼与证明】 1）飞镖模型（边）：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 2）飞镖模型（角度）：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 3）飞镖模型拓展：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【典例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，，点F在的反向延长线上，，记，，则与之间的关系为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【典例4】（25-26七年级下·山西太原·期中）综合与实践 【问题情境】 如图是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1，弹弓的两边可看成是平行的，即． (1)如图1，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，，，则的度数为________． 【猜想证明】 (2)在图2中，已知，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 (3)①如图3，，，分别是，上的点，点在，两平行线之间，作和的平分线，，交于点（交点在两平行线，之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． ②如图4，，，平分，若，求的度数为________． 【典例5】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 模型2.鹰爪模型 【模型提炼与证明】 1）鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 图1 图2 2）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【典例2】（第04讲角度计算中的常见模型-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假精品课（人教版））（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 【典例3】（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 【典例4】（25-26八年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【典例5】（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 模型3.翻角模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中． (1)如图1，点F在上，，过点D作，平分，平分，直线与直线交于点G，求的度数； (2)如图2，若点F在延长线上时，D在直线下方，其他条件不变，画出图形，求的度数； (3)如图3，若点F在延长线上时，D在直线下方，条件改为其他条件不变，画出图形，直接写出的度数 （用a表示）． 【典例2】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，点D，E，F分别是的边，，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【典例4】（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【典例5】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，已知直线，直线，的角平分线交直线于点，点在射线上，连结，．当，且时，则________度． 模型常见易错点 1）公式记反，写成∠A=∠BDC+∠B+∠C 错误颠倒大小角，凹进去的角是最大角，等于另外三个角之和。 正解：延长线段造外角，现场推导，不要死记公式。 2）分不清飞镖和八字（8 字）模型 八字模型：对顶角相等，∠A+∠B=∠C+∠D； 飞镖模型：凹四边形，凹角 = 另外三角之和，结构不同，公式不能混用。 3）在解答题直接写飞镖结论，没有推导过程 填空可以口算使用结论，大题必须通过延长线段 + 外角定理写出推导步骤，不能直接套用模型名称。 4）找不到图形里的隐形飞镖 复杂图形中没有画出完整飞镖轮廓，不会局部拆分三角形，只会使用标准图形。 5）风筝模型比例式与角度式混淆 初中倒角只用角度和差关系，不要套用相似风筝的面积 / 比例结论。 解题方法总结 飞镖风筝模型是三角形外角定理的延伸应用，是从基础三角形角度计算走向不规则多边形倒角的过渡内容。风筝模型用于交叉图形，飞镖用于内凹图形，二者相辅相成，大量出现在选择填空压轴，也是全等、圆综合大题的前置倒角工具。 熟练掌握 “延长线段构造外角” 的推导思路，不仅可以搞定本模型，还可以自主推导所有不规则四边形角度关系，摆脱死记公式的学习模式，提升几何逻辑能力。 1．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，在三角形纸片中，，．将纸片的一角对折，使点C落在内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃白银·二模）在光学实验课上，老师为同学们展示了一个激光反射实验装置．该装置由如图所示的两块平面镜，构成，一束激光以一定角度斜射到平面镜上发生第一次反射，反射光线又继续射到平面镜上发生第二次反射，第二次反射光线为，具体光路如图所示．若，，则平面镜与的夹角的度数为 A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁大连·一模）如图，，与相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图所示，，则的度数为__度． 9．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，若，则________． 11．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________． 13．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______． 14．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边上的点，，，若，则________． 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图将沿方向平移到的位置． (1)若，，则______，______． (2)若，，，，则平移的距离为______，______． 16．（25-26七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 17．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）如图，点O是直线l外一点，，垂足为P，点A，C分别是直线l，线段上一点，，过点B作，平分交l于点E，平分． (1)如图1，若点A与点P重合，则________； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 18．（25-26六年级下·山东威海·期末）研究性学习 【知识链接】①三角形三个角的和是． ②如图Ⅰ，光线照射一个平面镜后被反射，反射光线为，则．特别地，若光线垂直照射平面镜，则光线会沿与照射光线同路径的相反方向反射，即反射光线的路径与照射光线的路径重合且方向相反． 【问题解决】有两个平面镜，，最初的照射光线为，最终的反射光线为． (1)如图Ⅱ，将两个平面镜垂直放置，照射光线与镜面的夹角为．若，可以求得光线经过2次反射后的射出路径与照射路径平行且方向相反．若调整光线的方向，即改变的大小，且，则反射光线的路径方向与照射光线的路径方向会怎样？ （在横线上填写字母代号）； A．路径平行，方向相反    B．路径不平行，方向相反 C．路径平行，方向相同    D．路径不平行，方向相同 E．路径和方向会随的大小变化出现不同情况 (2)如图Ⅲ，将两个平面镜的夹角调整为，照射光线与镜面的夹角．照射光线会在两个平面镜上进行多次反射，直至最终的反射光线射出． ①可以得出：光线经 次反射后最终射出；（直接写答案） ②光线的路径方向与的路径方向如何？写出你的结论及理由． 19．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知：，点在线段上（不与、重合）． (1)如图1，若于，交于； ①求证：； ②如图2，分别作、的平分线交于点，求的度数． (2)如图3，在射线上取点，连接，作的平分线交于点，点在线段上，连解接，若，设、、，求、、之间的数量关系． 20．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，且， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（25-26八年级上·全国·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 22．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $