专题06等腰三角形精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦等腰三角形核心知识，系统整合定义、性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边），明确等边三角形作为特殊等腰三角形的从属关系，为后续等边三角形及几何综合证明构建学习支架。 本资料通过重点辨析性质与判定的逻辑方向、“三线合一”适用范围等核心难点，结合13类分层题型及解题思路，强化分类讨论思想与几何推理规范书写。课中助力教师突破教学重点，课后帮助学生通过高频失分点分析及针对性练习，提升推理意识与应用能力。

专题06等腰三角形精讲学案 核心立意 本节整合等腰三角形的定义、性质定理与判定定理。核心难点是区分性质（由边推角）与判定（由角推边），借助轴对称理解三线合一，实现边角的双向转化。重视几何演绎推理的规范书写，强化分类讨论的数学思想，为等边三角形、后续几何综合证明搭建基础。 等腰三角形的定义及相关概念 ① 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 ② 相等的两条边叫作腰，第三条边叫作底边。 ③ 两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。 ④ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。 ⑤ 等腰三角形中，两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等。 等边三角形的定义 ① 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 ② 等边三角形是特殊的等腰三角形。 ③ 等边三角形有 3 条对称轴。 等腰三角形的性质定理 ① 性质定理 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。   限定条件：该结论仅在同一个三角形内成立。   几何语言：在 ABC 中， AB=AC,B=C。 ② 性质定理 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。   几何语言：在 ABC 中，AB=AC；   AD 平分 BAC,ADBC,BD=CD；   AD 是 BC 边上的中线，AD 平分 BAC,ADBC；   ADBC,AD平分BAC,BD=CD。 限定条件：三线合一只针对底边；腰上的高、腰上的中线、腰上的角平分线不存在重合关系。 ③ 等边三角形的三个内角相等，每个内角都等于 60。 等腰三角形的判定定理 ① 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。   限定条件：该结论仅在同一个三角形内成立。   几何语言：在 ABC 中， B= C;AB=AC。 ② 等边三角形的判定：   三条边都相等的三角形是等边三角形；   三个内角都相等的三角形是等边三角形；   有一个内角是 60的等腰三角形是等边三角形。 重点辨析 ① 性质与判定的逻辑方向：   - 性质：已知两边相等 两角相等（由边 ➜ 角）；   - 判定：已知两角相等两边相等（由角 ➜ 边）。 ② “等边对等角”“等角对等边”不可跨三角形使用，边角转化必须限定在同一个三角形中。 ③ 集合从属关系：等边三角形一定是等腰三角形；等腰三角形不一定是等边三角形。 ④ 命题正误辨析：“有一个角是 60的三角形是等边三角形”为假命题，必须具备等腰的前提条件。 ⑤ 分类讨论的触发条件：若题目未指明哪条边是腰、哪个角是顶角、哪个角是底角，则存在多解，必须分类讨论。 【学生高频失分点】 ① 使用“三线合一”时，缺少 AB=AC（三角形为等腰）的前提，直接推出垂直、线段相等的结论。 ② 忽略“同一个三角形”的限定，在两个不同三角形之间套用等边对等角、等角对等边。 ③ 颠倒推理方向：误用等角对等边证明角相等，误用等边对等角证明边相等，混淆性质与判定。 ④ 扩大“三线合一”的适用范围，认为腰上的高、中线、角平分线也互相重合。 ⑤ 遇到未明确腰、底边的等腰三角形问题，不进行分类讨论，造成漏解。 ⑥ 只依据一个 60的内角，就判定三角形是等边三角形，忽略“等腰”的必要条件。 ⑦ 角度约束理解错误：等腰三角形的两个底角一定是锐角；顶角可以是锐角、直角、钝角。 ⑧ 几何证明时，推理依据残缺，直接写出结论，省略必要条件。 题型 考察方向 难度 题型一 等腰三角形的定义 ★ 题型二 作等腰三角形 ★★ 题型三 等边对等角 ★★ 题型四 等边三角形的性质 ★★ 题型五 三线合一 ★★★ 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★★ 题型七 根据等角对等边证明边相等 ★★★ 题型八 根据等角对等边求边长 ★★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★★ 题型十一 等腰三角形的性质和判定 ★★★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：等腰三角形的定义 解题思路：①紧扣定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形；②分清腰、底边、顶角、底角，不要混淆各部分名称；③明确等边三角形是特殊的等腰三角形；④求出边长后，利用三角形三边关系检验，排除不能构成三角形的解。 1．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】未明确腰和底，需分类讨论并验证三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴分两种情况：当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为； 当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故周长为或． 2．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 【答案】14或16 【分析】先根据非负数的性质求出m和n的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 当腰长为6，底边长为4时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为； 当腰长为4，底边长为6时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为； ∴的周长是14或16． 3．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 题型二：作等腰三角形 解题思路：①仔细审题，分清已知条件：是已知底边和腰长，还是已知底边和底角；②先画出基准线段，通常优先画底边；③用圆规截取等长半径画弧，找到第三个顶点；④必须保留圆弧痕迹，标注顶点字母，不要擦去辅助圆弧。 4．“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断． 【详解】当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段， 然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线， 因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点， 最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键． 5．用直尺和圆规作等腰，使为顶角．下列四个选项中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图作等腰三角形；逐项判断各选项的作法是否符合要求即可． 【详解】解：由题知，四个选项所作的三角形均是等腰三角形，但前三个选项的等腰三角形的顶角不是，只有选项D中等腰三角形的顶角是，故选项D中等腰三角形符合题意； 故选：D． 6．如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点为圆心，为半径作弧，交于点， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确． 故选：D． 题型三：等边对等角 解题思路：①先找出等腰三角形，标记出两条相等的腰；②应用定理：在同一个三角形中，等边对等角；③结合三角形内角和 180列式计算角度；④检验：底角一定是锐角，如果算出一个钝角，它只能是顶角。 7．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 8．如图，在中，，，，则________． 【答案】/度 【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可． 【详解】解：依题意，设，， ①， ②， 由得， ∴． 9．在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形性质得出底角相等，结合平角定义求出 的度数，再利用三角形外角性质求解． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角，是的外角， ， ． 题型四：等边三角形的性质 解题思路：①牢记：等边三角形三边相等，三个内角都等于 60；②等边三角形有 3 条对称轴，每条对称轴都满足三线合一；③作一条高，可以把等边三角形分成两个含 30的直角三角形；④等边三角形拥有等腰三角形的全部性质。 10．如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质得出，，由等边三角形的性质得出，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：∵将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到， ∴，，， ∴的周长是． 11．请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 【答案】9 【分析】根据点是等边三角形内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点为等边三角形的三条高线的交点时，的值即可. 【详解】解：由题意，当点为等边三角形的三条高线的交点时， 由三线合一可知：为等边三角形三边的中点， ∴， ∴的值为9. 12．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 题型五：三线合一 解题思路：①确认前提：只有等腰三角形才能使用三线合一；②认准对象：三线合一专指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高；③只要证明三者之一成立，就可以直接推出另外两个结论；④注意：腰上的高、腰上的中线不具备这个性质，不能乱用。 13．如图，古人修建牌楼梁架时，外轮廓为等腰，，匠人在底边中点竖立柱，便能确保立柱与横梁互相垂直．其依据是（     ） A．等边对等角 B．三线合一 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】B 【详解】解：， 是等腰三角形， 是底边的中点， 是等腰底边上的中线， 根据等腰三角形“三线合一”的性质（底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合）可得， 其依据是三线合一． 14．如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 【答案】16 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，先证出，则，再求出的长，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 15．如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型六：根据等角对等边证明等腰三角形 解题思路：①明确目标：要证明某个三角形是等腰三角形；②在同一个三角形内部寻找一组相等的角；③利用等角对等边，推出两条边相等；④书写时指明是哪一个三角形，定理不能在两个不同的三角形之间使用。 16．如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，，点在上，且，则图中的等腰三角形有______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有个． 故答案为： 18．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 题型七：根据等角对等边证明边相等 解题思路：①观察要证相等的两条线段，确认这两条线段是同一个三角形的两条边；②尝试证明这两条边所对的两个内角相等；③运用等角对等边，得到两条边相等；④警惕误区：如果两条边不在同一个三角形中，不能使用这条定理。 19．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定三角形为等腰三角形是解本题的关键． 20．如图，在中，和分别平分和，过点D作，分别交于点E，F，若，，则线段的长为________． 【答案】7 【分析】本题主要考查角平分线的定义，等角对等边以及平行线的性质；根据平分，可得，再利用，可证和，然后即可证明． 【详解】解：∵平分， ∵， ∴， 同理 ， 故答案为：7． 21．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 题型八：根据等角对等边求边长 解题思路：①从图中或者已知条件里找出相等的角；②利用等角对等边，把“角相等”转化成“边相等”；③进行边长之间的等量代换，求出未知边长；④最后用三角形三边关系检验，舍去不合理解。 22．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 23．如图，在中，，将沿射线平移到，若点D落在的平分线上，则平移的距离为（   ） A．m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定．根据平移的性质得：，平移的距离为的长，再结合角平分线的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得：，平移的距离为的长， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即平移的距离为m． 故选：A． 24．如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 【答案】8 【分析】在上截取，连接，得出是的垂直平分线，得出相等的边和角，然后利用三角形的外角定理以及等角对等边进行求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠可知，，，，，进而可知，再结合四边形的周长是，，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长是，， ∴，则， 则， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 题型九：格点图中画等腰三角形 解题思路：①利用勾股定理，算出格点之间线段的长度；②选定一个顶点作为顶角顶点，分类讨论：哪两条边可以作为腰；③按类别寻找符合条件的格点，注意多解，不要漏点；④画好之后，再次用勾股定理验证两腰长度是否相等。 26．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 27．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【答案】6 【分析】根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 28．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 题型十：找出图中的等腰三角形 解题思路：①逐个检查图里的每一个三角形；②两条路径判断：边长相等，或者同一个三角形中有一对相等的角；③留意隐藏的等角：角平分线、平行线、垂直经常会产生相等的角；④把所有符合条件的三角形全部找出，不要遗漏。 29．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 30．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 31．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 题型十一：等腰三角形的性质和判定 解题思路：①分清方向：性质是由边相等推出角相等；判定是由角相等推出边相等；②根据题目的结论，选择使用等边对等角或者等角对等边；③挖掘隐藏条件：平行线、角平分线、垂直、外角；④每一步推理都写明依据，不要跳步。 32．若的三边长分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．任意三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边之间的关系. 先根据乘法法则分析等式成立的条件，再结合三角形三边之间的关系排除不可能的情况，从而判断三角形的类型. 【详解】解： ∵， ∴或， 又∵的三边长分别为，，， ∴， ∴，即， ∴为等腰三角形. 故选：C. 33．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 34．如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，因为点是的中点，可得，已知，则题目可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 题型十二：等边三角形的判定 解题思路：①熟记三条判定路径：三边都相等；三个内角都相等；有一个角是 60 的等腰三角形；②对照已知条件，选择最简单的判定方法；③重点避坑：只知道一个角是 60不能判定等边，必须同时是等腰三角形；④得到结论之后，可以用等边三角形的性质简单反向核验。 35．下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 36．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是______三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键． 由题意知，，可求，进而可得是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边． 37．如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角性质，等边三角形的判定，求出是银题的关键． 先由平行线的性质得，从而可求得，即可由等边三角形的判定定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故选：C． 题型十三：等边三角形的判定和性质 解题思路：①先区分任务：判定用来证明它是等边三角形；性质用来从“等边”推出边角关系；②先完成判定，再使用三边相等、三角为 60、三线合一等性质；③本题型常和全等三角形综合出题；④不要把判定条件当成性质使用，分清推理方向。 38．如图是人字梯的示意图，若支架，的长度都为2m（连接处忽略不计），当，之间的距离为时，不用测量就可以知道的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质．证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴是等边三角形， ∴的度数为 故选：C． 39．如图，在中，，，将沿方向向右平移，得到，交于M，则____________． 【答案】3 【分析】根据题意可得是等边三角形，继而利用平移性质得到，易证是等边三角形，继而得到，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，， ∵将沿方向向右平移，得到， ∴是等边三角形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 40．如图，，P是内部的一点，点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N，连接．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴的周长是． 解答题 1．作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 【答案】(1)和都是所求三角形 (2)是所求三角形 【分析】（1）这样的等腰三角形有两种情况：①锐角为等腰三角形底角时：作法：作，截取．以为圆心，为半径画弧交于点，连接，则即为以为底角，为腰的等腰三角形．②锐角为等腰三角形顶角时：作法：作，在角的两边上分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． （2）这样的等腰三角形只有一个，此时是等腰三角形的顶角．作法：作，分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，通过证明得到，再利用等腰三角形三线合一得到，从而求得的长； （2）利用等腰三角形等边对等角以及第一问得到的角度关系，结合三角形内角和为计算出的度数． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点． ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． （2）解：设的度数为， ， ， 又， ． ，， 为等腰直角三角形， ． 在中，根据三角形内角和为， ， 即， 解得， ． 3．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 【答案】(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （2）略 4．如图在中，，，P为的平分线与的平分线的交点，求证：． 【答案】证明：连接并延长交于点D，作的平分线，交于点E， ∵，， ∴， ∵P为的平分线与的平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【分析】连接并延长交于点D，作的平分线，交于点E，得出为等边三角形，得到，证明，得出，从而得出． 【详解】略 5．在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06等腰三角形精讲学案 核心立意 本节整合等腰三角形的定义、性质定理与判定定理。核心难点是区分性质（由边推角）与判定（由角推边），借助轴对称理解三线合一，实现边角的双向转化。重视几何演绎推理的规范书写，强化分类讨论的数学思想，为等边三角形、后续几何综合证明搭建基础。 等腰三角形的定义及相关概念 ① 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 ② 相等的两条边叫作腰，第三条边叫作底边。 ③ 两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。 ④ 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。 ⑤ 等腰三角形中，两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等。 等边三角形的定义 ① 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 ② 等边三角形是特殊的等腰三角形。 ③ 等边三角形有 3 条对称轴。 等腰三角形的性质定理 ① 性质定理 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。   限定条件：该结论仅在同一个三角形内成立。   几何语言：在 ABC 中， AB=AC,B=C。 ② 性质定理 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。   几何语言：在 ABC 中，AB=AC；   AD 平分 BAC,ADBC,BD=CD；   AD 是 BC 边上的中线，AD 平分 BAC,ADBC；   ADBC,AD平分BAC,BD=CD。 限定条件：三线合一只针对底边；腰上的高、腰上的中线、腰上的角平分线不存在重合关系。 ③ 等边三角形的三个内角相等，每个内角都等于 60。 等腰三角形的判定定理 ① 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。   限定条件：该结论仅在同一个三角形内成立。   几何语言：在 ABC 中， B= C;AB=AC。 ② 等边三角形的判定：   三条边都相等的三角形是等边三角形；   三个内角都相等的三角形是等边三角形；   有一个内角是 60的等腰三角形是等边三角形。 重点辨析 ① 性质与判定的逻辑方向：   - 性质：已知两边相等 两角相等（由边 ➜ 角）；   - 判定：已知两角相等两边相等（由角 ➜ 边）。 ② “等边对等角”“等角对等边”不可跨三角形使用，边角转化必须限定在同一个三角形中。 ③ 集合从属关系：等边三角形一定是等腰三角形；等腰三角形不一定是等边三角形。 ④ 命题正误辨析：“有一个角是 60的三角形是等边三角形”为假命题，必须具备等腰的前提条件。 ⑤ 分类讨论的触发条件：若题目未指明哪条边是腰、哪个角是顶角、哪个角是底角，则存在多解，必须分类讨论。 【学生高频失分点】 ① 使用“三线合一”时，缺少 AB=AC（三角形为等腰）的前提，直接推出垂直、线段相等的结论。 ② 忽略“同一个三角形”的限定，在两个不同三角形之间套用等边对等角、等角对等边。 ③ 颠倒推理方向：误用等角对等边证明角相等，误用等边对等角证明边相等，混淆性质与判定。 ④ 扩大“三线合一”的适用范围，认为腰上的高、中线、角平分线也互相重合。 ⑤ 遇到未明确腰、底边的等腰三角形问题，不进行分类讨论，造成漏解。 ⑥ 只依据一个 60的内角，就判定三角形是等边三角形，忽略“等腰”的必要条件。 ⑦ 角度约束理解错误：等腰三角形的两个底角一定是锐角；顶角可以是锐角、直角、钝角。 ⑧ 几何证明时，推理依据残缺，直接写出结论，省略必要条件。 题型 考察方向 难度 题型一 等腰三角形的定义 ★ 题型二 作等腰三角形 ★★ 题型三 等边对等角 ★★ 题型四 等边三角形的性质 ★★ 题型五 三线合一 ★★★ 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★★ 题型七 根据等角对等边证明边相等 ★★★ 题型八 根据等角对等边求边长 ★★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★★ 题型十一 等腰三角形的性质和判定 ★★★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：等腰三角形的定义 解题思路：①紧扣定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形；②分清腰、底边、顶角、底角，不要混淆各部分名称；③明确等边三角形是特殊的等腰三角形；④求出边长后，利用三角形三边关系检验，排除不能构成三角形的解。 1．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 2．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 3．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型二：作等腰三角形 解题思路：①仔细审题，分清已知条件：是已知底边和腰长，还是已知底边和底角；②先画出基准线段，通常优先画底边；③用圆规截取等长半径画弧，找到第三个顶点；④必须保留圆弧痕迹，标注顶点字母，不要擦去辅助圆弧。 4．“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 5．用直尺和圆规作等腰，使为顶角．下列四个选项中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 题型三：等边对等角 解题思路：①先找出等腰三角形，标记出两条相等的腰；②应用定理：在同一个三角形中，等边对等角；③结合三角形内角和 180列式计算角度；④检验：底角一定是锐角，如果算出一个钝角，它只能是顶角。 7．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，则________． 9．在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 题型四：等边三角形的性质 解题思路：①牢记：等边三角形三边相等，三个内角都等于 60；②等边三角形有 3 条对称轴，每条对称轴都满足三线合一；③作一条高，可以把等边三角形分成两个含 30的直角三角形；④等边三角形拥有等腰三角形的全部性质。 10．如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 11．请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 12．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 题型五：三线合一 解题思路：①确认前提：只有等腰三角形才能使用三线合一；②认准对象：三线合一专指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高；③只要证明三者之一成立，就可以直接推出另外两个结论；④注意：腰上的高、腰上的中线不具备这个性质，不能乱用。 13．如图，古人修建牌楼梁架时，外轮廓为等腰，，匠人在底边中点竖立柱，便能确保立柱与横梁互相垂直．其依据是（     ） A．等边对等角 B．三线合一 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 14．如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 15．如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型六：根据等角对等边证明等腰三角形 解题思路：①明确目标：要证明某个三角形是等腰三角形；②在同一个三角形内部寻找一组相等的角；③利用等角对等边，推出两条边相等；④书写时指明是哪一个三角形，定理不能在两个不同的三角形之间使用。 16．如图，在中，，，若，则的长为________． 17．如图，，点在上，且，则图中的等腰三角形有______个． 18．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 题型七：根据等角对等边证明边相等 解题思路：①观察要证相等的两条线段，确认这两条线段是同一个三角形的两条边；②尝试证明这两条边所对的两个内角相等；③运用等角对等边，得到两条边相等；④警惕误区：如果两条边不在同一个三角形中，不能使用这条定理。 19．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 20．如图，在中，和分别平分和，过点D作，分别交于点E，F，若，，则线段的长为________． 21．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 题型八：根据等角对等边求边长 解题思路：①从图中或者已知条件里找出相等的角；②利用等角对等边，把“角相等”转化成“边相等”；③进行边长之间的等量代换，求出未知边长；④最后用三角形三边关系检验，舍去不合理解。 22．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 23．如图，在中，，将沿射线平移到，若点D落在的平分线上，则平移的距离为（   ） A．m B． C． D． 24．如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 25．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 题型九：格点图中画等腰三角形 解题思路：①利用勾股定理，算出格点之间线段的长度；②选定一个顶点作为顶角顶点，分类讨论：哪两条边可以作为腰；③按类别寻找符合条件的格点，注意多解，不要漏点；④画好之后，再次用勾股定理验证两腰长度是否相等。 26．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 27．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 28．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 题型十：找出图中的等腰三角形 解题思路：①逐个检查图里的每一个三角形；②两条路径判断：边长相等，或者同一个三角形中有一对相等的角；③留意隐藏的等角：角平分线、平行线、垂直经常会产生相等的角；④把所有符合条件的三角形全部找出，不要遗漏。 29．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 30．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 31．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型十一：等腰三角形的性质和判定 解题思路：①分清方向：性质是由边相等推出角相等；判定是由角相等推出边相等；②根据题目的结论，选择使用等边对等角或者等角对等边；③挖掘隐藏条件：平行线、角平分线、垂直、外角；④每一步推理都写明依据，不要跳步。 32．若的三边长分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．任意三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不等边三角形 33．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 34．如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十二：等边三角形的判定 解题思路：①熟记三条判定路径：三边都相等；三个内角都相等；有一个角是 60 的等腰三角形；②对照已知条件，选择最简单的判定方法；③重点避坑：只知道一个角是 60不能判定等边，必须同时是等腰三角形；④得到结论之后，可以用等边三角形的性质简单反向核验。 35．下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 36．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是______三角形． 37．如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形D．无法确定 题型十三：等边三角形的判定和性质 解题思路：①先区分任务：判定用来证明它是等边三角形；性质用来从“等边”推出边角关系；②先完成判定，再使用三边相等、三角为 60、三线合一等性质；③本题型常和全等三角形综合出题；④不要把判定条件当成性质使用，分清推理方向。 38．如图是人字梯的示意图，若支架，的长度都为2m（连接处忽略不计），当，之间的距离为时，不用测量就可以知道的度数为（　　） A． B． C． D． 39．如图，在中，，，将沿方向向右平移，得到，交于M，则____________． 40．如图，，P是内部的一点，点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N，连接．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 2．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 3．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 4．如图在中，，，P为的平分线与的平分线的交点，求证：． 5．在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $