2.5　逆命题和逆定理 教案 2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

2.5　逆命题和逆定理 课题 2.5　逆命题和逆定理 授课人 教 学 目 标 1.经历逆命题概念的发生过程. 2.了解逆命题、逆定理的概念. 3.会识别两个命题是不是互逆命题,会写出一个命题的逆命题. 4.了解原命题成立,其逆命题不一定成立. 5.理解线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明. 教学 重点 　　逆命题和逆定理的概念. 教学 难点 　　写逆命题以及证明逆命题为真的表述均有难度,是本节教学的难点. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规及多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　我们前面学习了命题的概念,知道命题由条件与结论两部分组成,正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.我们今天继续来学习命题的有关内容. 　　学生回忆命题的相关知识,为学习本节课做铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 教师活动: 什么是命题?它有什么特点? 命题的概念: 一般地,判断某一件事情的句子叫作命题. 命题的结构: 命题由条件和结论两部分组成,它的一般形式是“如果……那么……”. 命题有真有假: 正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题. 　　复习导入有利于衔接新旧知识,提高学习效率.通过旧知识引入新知识,有利于激发学生的学习欲望,提高学生学习的积极性. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 逆命题、互逆命题的概念 请仔细阅读下表中的四个命题,填写并思考:命题(1)和命题(2),命题(3)和命题(4),它们的条件和结论有什么关系? 命题 条件 结论 命题真假 (1)两直线平行,同位角相等 (2)同位角相等,两直线平行 (3)如果a=b,那么a2=b2 (4)如果a2=b2,那么a=b 　　命题(1)的条件是命题(2)的结论,命题(1)的结论是命题(2)的条件;命题(3)的条件是命题(4)的结论,命题(3)的结论是命题(4)的条件. 对于两个命题,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题互为逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作它的逆命题.例如,上表中,命题(1)与命题(2),命题(3)与命题(4),它们都是互逆命题. 　 每个命题都有它的逆命题,但真命题的逆命题是否一定是真命题呢? [答案:不一定] 　　1.通过表格,清晰且直观地感受原命题与逆命题之间的联系,发展学生的思维灵活性. 活动 二: 探究 与 应用 活动 二: 探究 与 应用 　 小试牛刀: 1.说出下列命题的逆命题,并判定逆命题的真假. (1)长方形有两条对称轴; (2)正数大于零. 解:(1)逆命题为有两条对称轴的图形是长方形.这是假命题. (2)逆命题为零大于正数.这是假命题. 教师讲授:如果一个定理的逆命题能被证明是真命题,那么就称之为原定理的逆定理,这两个定理互为逆定理. 教师提问:你能说出两对互逆的定理吗? 解:答案不唯一,如“两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”;“在同一个三角形中,等边对等角”和“在同一个三角形中,等角对等边”. 【探究2】 线段垂直平分线性质定理的逆定理 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题,并证明这个逆命题是真命题. 解:这个定理的逆命题是:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 已知:AB是一条线段,P是一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:(1)当点P在线段AB上时,结论显然成立. 图2-5-4 (2)当点P不在线段AB上时,如图2-5-4,作PC⊥AB于点O. 由PA=PB,PO⊥AB,可得OA=OB, 故PC是AB的垂直平分线. 所以点P在线段AB的垂直平分线上. 可见,线段垂直平分线性质定理的逆命题是真命题,我们把它叫作线段垂直平分线性质定理的逆定理. 线段垂直平分线性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 　　2.通过习题,检测学生对知识点的掌握程度,发展学生分析问题、解决问题的能力,使学生亲自经历获取知识的过程,能提高对数学结论的认可程度. 【应用举例】 例1　说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题,判断这个逆命题的真假,并说明理由. 解:逆命题是:“如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等”. 图2-5-5 这个逆命题是假命题.举反例如下: 如图2-5-5,在△ABC中,AB≠AC,AD为BC边上的中线,则△ABD与△ACD的面积相等,但它们不全等.所以这个逆命题是假命题. 师生活动:老师给学生思考的时间,让学生说明△ABD与△ACD为什么不全等. 　　1.通过具体例题的教学,让学生理解和巩固数学基础知识,把数学理论与实践相结合,掌握数学基础知识理论的用途和方法,从而达到提高学生分析问题、解决问题的能力的目标. 2.通过自主探究,增强巩固知识,并提高知识认同度. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　说出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题,并判断逆命题的真假.若逆命题是真命题,请加以证明;若逆命题是假命题,请举出反例. 解:逆命题是:“如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形.” 此逆命题是真命题.证明如下: 图2-5-6 已知:如图2-5-6,在△ABC中,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE=CF. 求证:△ABC是等腰三角形. 证明:因为S△ABC=AB·CF=AC·BE,而BE=CF,所以AB=AC, 所以△ABC是等腰三角形. 　　1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 2.通过此题的教学,培养学生的发散思维能力及推理论证能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列说法错误的是 (B) A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.真命题的逆命题不一定为真 D.任何命题都是由条件和结论构成的 2.下列a,b的值能说明命题“若a>0,b>0,则a+b>0”的逆命题是假命题的是 (C) A.a=1,b=1 B.a=3,b=4 C.a=-3,b=4 D.a=-5,b=2 3.有下列命题:①若a>b+1,则a>b;②若ab=0,则a=0或b=0;③若a=b,则|a|=|b|;④若a>b,则a2>b2.其中逆命题是真命题的有 (A) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.写出下列各命题的逆命题,并判断原命题和逆命题是不是互逆定理. (1)相等的角是内错角; (2)角平分线上的点到角两边的距离相等. 解:(1)逆命题为“内错角相等”,原命题与逆命题都是假命题,不是互逆定理. (2)逆命题为“角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”,原命题和逆命题是互逆定理. 5.求证:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 解:已知:如图2-5-7,在△ABC中,PD,PE分别是AB,AC的垂直平分线,PD,PE相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. 图2-5-7 图2-5-8 证明:连结PA,PB,PC,如图2-5-8. 因为PD,PE分别是AB,AC的垂直平分线, 所以PA=PB,PA=PC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等), 所以PB=PC(等量代换), 所以点P在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 　　达标测评,及时反馈学习效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 本节课我们学习了哪些内容? 本节课的主要学习内容是逆命题、逆定理的概念,以及线段垂直平分线性质定理的逆定理. 　　教师引导学生回顾本节课知识,并总结、归纳本节课的重点,培养学生的总结归纳能力和语言表达能力. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【作业布置】 教材P73作业题第1,2,3,4题. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过复习引入新课,激发学生的学习兴趣.提出问题,引导学生进入学习新知的情境中.在探索垂直平分线性质定理的逆定理的过程中,培养学生分析问题和解决问题的能力. ②[讲授效果反思]     ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动,也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程. 学科网（北京）股份有限公司 $