专题2.8 直角三角形全等的判定（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦直角三角形全等的判定核心知识点，系统梳理斜边直角边定理（HL）及角平分线性质逆定理，衔接一般三角形全等判定基础，构建从特殊判定到性质应用的知识支架。 资料以8大题型分类呈现，含例题与变式训练，通过添加条件证明、尺规作图等题型培养推理能力与几何直观，结合角平分线判定应用强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题2.8 直角三角形全等的判定（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】 1 【题型2 直角三角形全等的依据判断】 4 【题型3 利用HL证明直角三角形全等】 6 【题型4 HL与全等的性质的综合】 8 【题型5 尺规作直角三角形】 14 【题型6 灵活选用方法判定直角三角形全等】 17 【题型7 证明点在角平分线上】 21 【题型8 角平分线性质及其逆定理综合应用】 25 考点1 直角三角形全等的判定 知识点1 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】 【例1】如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 【答案】 【详解】 在和中， ， ． 故需添加条件． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【答案】或（写一个即可） 【分析】先证明，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，而， 在和中， ， ∴， 添加：，而， 在和中， ， ∴． 【变式1-3】如图，一个直角三角形，，一条线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到____________位置时，才能使与全等． 【答案】的中点或与点重合的 【分析】本题考查全等三角形的判定，分两种情况，利用判定与全等，得到点的位置即可。 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴①当时，， ∵， ∴，即：当点运动到的中点时，； ②当，即：点与点重合时，； 综上：当点运动到的中点或与点重合的位置，与全等； 故答案为：的中点或与点重合的 【题型2 直角三角形全等的依据判断】 【例2】用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是(     )   A．SSS B．SAS C．HL D．ASA 【答案】C 【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案. 【详解】在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP是∠AOB的平分线，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定条件，解本题的要点在于熟知全等三角形的判定条件. 【变式2-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴在和中， ， ∴， 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是理解并掌握全等三角形的判定定理：，，，，等．根据全等三角形的判定定理，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即判断的依据是“”． 故选：A． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，完成下列问题：    （1）若，，则的依据是______； （2）若，则的依据是______； （3）若，，则的依据是______； （4）若，，则的依据是______； （5）若，，则的依据是______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据条件选择合适的判定方法是关键． （1）利用证明即可； （2）利用证明即可； （3）利用证明即可； （4）利用证明即可； （5）利用证明即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴； 故答案为： （3）∵，， ∴； 故答案为： （4）∵，， ∴； 故答案为： （5）∵，， ∴； 故答案为： 【题型3 利用HL证明直角三角形全等】 【例3】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练运用证明全等三角形成为解题的关键． 先说明和为直角三角形，然后运用即可解答． 【详解】证明：，， 和为直角三角形． 在和中， ， ． 【变式3-1】如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形定理，即可求解， 本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． 【变式3-2】如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】 证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据“”证明即可． 【详解】略 【变式3-3】已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 【答案】 证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定两个三角形全等是解决此题的关键． 【题型4 HL与全等的性质的综合】 【例4】（2026·河北邢台·模拟预测）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 【变式4-1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，与相交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， 在与中， ， ， ； (2)证明：，， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据垂直的定义证明， 根据等边对等角证明，然后证明，从而得证； （2）根据线段的等量关系证明，然后证明， 从而得证． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，垂足分别为D，E，交于点O，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）利用判定即可求解； （2）由推出，利用等角对等边得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【变式4-3】在中，，点在边上，过点作于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在边上，连接，使，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交边于，点是中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵，，， ∴． ， ， ， ． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴； (3) 证明：连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵点G是中点， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判断三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据和三角形内角和定理得到，然后利用得到，最后根据三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据结合三角形内角和定理得到，然后利用，证明出，根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，首先由得到，然后证明出，进而得到，，证明出是等边三角形 【题型5 尺规作直角三角形】 【例5】（24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图的基本技能，特别是利用垂直平分线和圆弧截取特定长度的方法构造直角三角形．解题的关键是通过作垂线确定直角，并利用圆规精确截取2单位和4单位长度，最终连接斜边完成三角形． 【详解】如图，任画一条直线，在线上取点B，以B为圆心画弧交直线于两点； 分别以为圆心，大于的等长半径画弧，交于点F； 连接，得直角（依据线段垂直平分线性质）． 在上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取4单位长度画弧交于C，则边的长为4倍的单位长度； 在直线上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取2单位长度画弧交于A，则边的长为2倍的单位长度： 最后用直尺连接两点． 则直角三角形就是所作的三角形． 【变式5-1】已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形，已知：如图线段，，求作：，使，，． 【答案】如图，即为所求 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握过已知点作已知直线的垂线的尺规作图方法． 作射线，在射线上取，过作，以为圆心，为半径画弧交于，连接，即为所求． 【变式5-2】如图，已知线段，用两种不同的方法作一个含角的直角三角形，使其斜边为（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】方法一，作线段的垂直平分线，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作弧，以点A为圆心，长为半径作弧与前弧相交于点C，即为所作； 方法二，作线段的垂直平分线，交于点D，再作射线,在射线上截取，过点C作的垂线，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B，即为所作． 【详解】解：方法一：含角的直角三角形如图所示： 方法二：含角的直角三角形如图所示： 【点睛】本题考查的是作图-复杂作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式5-3】（25-26八年级下·河南安阳·期末）图1是一个直角边长为a和b，斜边长为c的直角三角形，图2是一个以c为直角边的等腰直角三角形． (1)尺规作图：作出一个与图1全等的△EFG；（保留作图痕迹，不写作法） (2)用图1，图2和（1）中的△EFG可拼成一个直角梯形，请你在图2上画出拼成的这个直角梯形的示意图，并用它证明勾股定理． 【答案】(1)解：如图，即为所求， ； (2)解：如图， 证明：根据梯形的面积公式可知， 梯形的面积， 从图中我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积， 即， ∴， ∴. 【分析】（1）作射线，并截取，过作，截取，连接即可； （2）由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积和三角形的面积公式列出等式，即可推出勾股定理. 【题型6 灵活选用方法判定直角三角形全等】 【例6】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点C与点D重合，则图中有______组全等三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据翻转的性质判断是解题的关键． 本题可根据翻转的性质，找出图中全等的三角形，再根据全等三角形的判定方法进行验证． 【详解】由题意可知，沿所在直线翻转， ， 是高， ， 再根据， 可得， ， ， 同理：由，可得， ， ， 综上所述：全等三角形有3对． 故答案是3． 【变式6--1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由且平分，可推出，则可得，，由等角对等边可知，根据题目所给数据即可求得的长． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 【变式6--2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 【变式6--3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，，，垂足分别为、，，与相交于点．求证：． 【答案】证明：如图，连接． ，， ， ，， ， 又，， ． 【分析】连接．根据证明，得，再根据证明，可得． 考点2 角平分线性质定理的逆定理 知识点2 角平分线性质定理的逆定理 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【题型7 证明点在角平分线上】 【例7】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【答案】证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 【变式7-1】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 【变式7-2】（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，已知，王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法：在中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线为的平分线．请你说明小宇的思路有没有道理？请说明理由． 【答案】小宇的思路有道理，理由见解析 【分析】作，垂足为，根据题意，可得，根据角平分线的判定定理，可得点在的角平分线上，即可说明射线为的平分线． 【详解】解：小宇的思路有道理， 理由如下：作，垂足为， 根据题意，两把直尺完全相同，即宽度相同， ， ，， 点在的角平分线上， 射线为的平分线． 【变式7-3】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 【题型8 角平分线性质及其逆定理综合应用】 【例8】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，由题意可得，，从而推出是的平分线，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 【答案】/140度 【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，，由等腰三角形性质结合三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，点A落在点处， ∴，， ∴，， ∴， 是的一个外角，是的一个外角， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，三角形的面积；连接，根据已知得出平分，根据平行线的性质，以及等角对等边得出，同理得出，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和分别是的外角和的平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到的距离为4， ∴的面积为， 故选：B． 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是掌握以上性质． （1）作于点L，交的延长线于点M，由的平分线交于点E，于点H，得，而，求得，由，求得，则，则，所以，即可证明平分． （2）由，且，得，因为，所以，求得，而，则． 【详解】（1）证明：作于点L，交的延长线于点M， ∵点D在边延长线上，的平分线交于点E，于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为15． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 直角三角形全等的判定（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】 1 【题型2 直角三角形全等的依据判断】 2 【题型3 利用HL证明直角三角形全等】 4 【题型4 HL与全等的性质的综合】 4 【题型5 尺规作直角三角形】 6 【题型6 灵活选用方法判定直角三角形全等】 7 【题型7 证明点在角平分线上】 8 【题型8 角平分线性质及其逆定理综合应用】 9 考点1 直角三角形全等的判定 知识点1 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】 【例1】如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【变式1-3】如图，一个直角三角形，，一条线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到____________位置时，才能使与全等． 【题型2 直角三角形全等的依据判断】 【例2】用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是(     )   A．SSS B．SAS C．HL D．ASA 【变式2-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，完成下列问题：    （1）若，，则的依据是______； （2）若，则的依据是______； （3）若，，则的依据是______； （4）若，，则的依据是______； （5）若，，则的依据是______． 【题型3 利用HL证明直角三角形全等】 【例3】（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 【变式3-1】如图，，，求证：． 【变式3-2】如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【变式3-3】已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 【题型4 HL与全等的性质的综合】 【例4】（2026·河北邢台·模拟预测）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【变式4-1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，与相交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，求证：平分． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，垂足分别为D，E，交于点O，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4-3】在中，，点在边上，过点作于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在边上，连接，使，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交边于，点是中点，求证：是等边三角形． 【题型5 尺规作直角三角形】 【例5】（24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【变式5-1】已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形，已知：如图线段，，求作：，使，，． 【变式5-2】如图，已知线段，用两种不同的方法作一个含角的直角三角形，使其斜边为（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式5-3】（25-26八年级下·河南安阳·期末）图1是一个直角边长为a和b，斜边长为c的直角三角形，图2是一个以c为直角边的等腰直角三角形． (1)尺规作图：作出一个与图1全等的△EFG；（保留作图痕迹，不写作法） (2)用图1，图2和（1）中的△EFG可拼成一个直角梯形，请你在图2上画出拼成的这个直角梯形的示意图，并用它证明勾股定理． 【题型6 灵活选用方法判定直角三角形全等】 【例6】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点C与点D重合，则图中有______组全等三角形． 【变式6--1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为________． 【变式6--2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【变式6--3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，，，垂足分别为、，，与相交于点．求证：． 考点2 角平分线性质定理的逆定理 知识点2 角平分线性质定理的逆定理 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【题型7 证明点在角平分线上】 【例7】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【变式7-1】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【变式7-2】（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，已知，王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法：在中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线为的平分线．请你说明小宇的思路有没有道理？请说明理由． 【变式7-3】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【题型8 角平分线性质及其逆定理综合应用】 【例8】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 【变式8-1】（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 【变式8-2】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $