专题 2.8 直角三角形全等的判定基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦直角三角形全等判定核心知识点，系统梳理HL定理的推导与适用条件，整合直角三角形全部判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并关联角平分线判定逆定理，构建从专属定理到综合应用的学习支架。 资料通过题型精析分层设计，例题与变式题结合，同步检测覆盖选择、填空、解答，培养学生推理意识与几何直观。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题 2.8 直角三角形全等的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】直角三角形专属全等判定定理（HL） 2 【知识点二】直角三角形全部全等判定方法 2 【知识点三】角平分线判定逆定理（配套考点） 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】HL定理直接判定直角三角形全等 3 【题型 2】选择合适的全等判定方法判断 4 【题型 3】选择合适的全等判定方法判断 5 【题型 4】HL判定定理与性质综合求值证明 6 【题型 5】角平分线性质判定定理求值证明 7 【题型 6】直角三角形全等综合证明（结合等腰三角形） 8 四.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 13 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握直角三角形全等的专属判定定理（HL定理），理解定理推导过程与适用条件。 2. 梳理直角三角形全等的所有判定方法，区分普通三角形与直角三角形全等判定的异同。 3. 能熟练运用HL定理及常规判定方法，规范完成直角三角形全等的证明与计算。 4. 结合角平分线性质、等腰三角形性质，解决直角三角形全等综合几何题型。 （二）重难点 重点：直角三角形“斜边、直角边”（HL）判定定理的理解与基础应用；直角三角形全等判定方法的选择。 难点：复杂图形中灵活选用判定定理；HL定理与几何性质的综合推理证明。 二.知识梳理与解读 【知识点一】直角三角形专属全等判定定理（HL） 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简记为斜边、直角边，符号HL。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， ∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL） 【要点提示】 1. 适用唯一性：HL定理仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形绝对不能使用； 2. 条件完整性：必须同时满足“斜边相等+一条直角边相等”，缺一不可，两组直角边相等不能用HL； 3. 定理特殊性：HL是直角三角形独有的判定方法，无需角度条件，简化直角三角形全等证明步骤。 【知识点二】直角三角形全部全等判定方法 直角三角形属于特殊三角形，除专属HL定理外，通用普通三角形四种全等判定方法： 1. SSS（边边边）：三边对应相等； 2. SAS（边角边）：两条直角边对应相等（夹角为直角）； 3. ASA（角边角）：一锐角、直角、任意一条夹边对应相等； 4. AAS（角角边）：一锐角、直角、锐角对边对应相等。 【要点提示】 1. 已知斜边+直角边，优先用HL，步骤最简； 2. 已知两条直角边，优先用SAS； 3. 已知角度+边长，选用ASA/AAS。 【知识点三】角平分线判定逆定理（配套考点） 定理内容：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 核心应用：常结合HL定理证明直角三角形全等，进而推导角相等、线段相等，是本章高频综合考点。 三.题型精析 【题型 1】HL定理直接判定直角三角形全等 【例题1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，于点．若，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的两边上，取，分别过点，作，的垂线，交点为，连接，则，用到的判定方法为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【题型 2】选择合适的全等判定方法判断 【例题2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知．求证：．以下是两名同学关于此题的讨论． 嘉嘉说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 淇淇说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” （1）看了他们的讨论，请你选择一位同学的方法写出证明过程； （2）连接，若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到．” 小助说：“我可以连结，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到． 请你判断两人的证法是否正确．若正确，选择其中一人的方法完成证明． 【题型 3】选择合适的全等判定方法判断 【例题3】（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： （1）；（2）平分． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，于点，于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【题型 4】HL判定定理与性质综合求值证明 【例题4】（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证： （1）点在的平分线上；（2）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 【变式3】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【题型 5】角平分线性质判定定理求值证明 【例题5】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． （1）求证：点在的角平分线上； （2）用等式表示、、的数量关系，并说明理由； （3）求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点．若的周长是，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，是的角平分线，，分别是，的高线．则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号） 【变式3】（25-26八年级下·河南·期中）如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． （1）求平移的距离； （2）求的周长． 【题型 6】直角三角形全等综合证明（结合等腰三角形） 【例题6】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．求证： （1）为等腰三角形． （2）是的垂直平分线． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为EBD，则下列说法错误的是（    ） A．EBA≌EDC B．EBD是等腰三角形 C．折叠后的图形是轴对称图形 D．∠ABE＝∠CBD 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，在直线上找一点，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为___________． 【变式3】（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，是的外心，的平分线上一点，． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，，与交于点，求证：． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 3．（24-25八年级上·四川达州·阶段检测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 6．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，证明，则应添加的条件是________． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，交于点．若，，，则______． 11．（25-26八年级上·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则________ ． 12．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为______； 13．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 14．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为________． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    16．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则__________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 18．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． （1）求证：； （2）若，，请求出的长． 19．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 20．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.8 直角三角形全等的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】直角三角形专属全等判定定理（HL） 2 【知识点二】直角三角形全部全等判定方法 2 【知识点三】角平分线判定逆定理（配套考点） 3 三.题型精析 3 【题型 1】HL定理直接判定直角三角形全等 3 【题型 2】选择合适的全等判定方法判断 5 【题型 3】选择合适的全等判定方法判断 10 【题型 4】HL判定定理与性质综合求值证明 14 【题型 5】角平分线性质判定定理求值证明 19 【题型 6】直角三角形全等综合证明（结合等腰三角形） 24 四.同步检测 29 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 29 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 35 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 42 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握直角三角形全等的专属判定定理（HL定理），理解定理推导过程与适用条件。 2. 梳理直角三角形全等的所有判定方法，区分普通三角形与直角三角形全等判定的异同。 3. 能熟练运用HL定理及常规判定方法，规范完成直角三角形全等的证明与计算。 4. 结合角平分线性质、等腰三角形性质，解决直角三角形全等综合几何题型。 （二）重难点 重点：直角三角形“斜边、直角边”（HL）判定定理的理解与基础应用；直角三角形全等判定方法的选择。 难点：复杂图形中灵活选用判定定理；HL定理与几何性质的综合推理证明。 二.知识梳理与解读 【知识点一】直角三角形专属全等判定定理（HL） 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简记为斜边、直角边，符号HL。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， ∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL） 【要点提示】 1. 适用唯一性：HL定理仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形绝对不能使用； 2. 条件完整性：必须同时满足“斜边相等+一条直角边相等”，缺一不可，两组直角边相等不能用HL； 3. 定理特殊性：HL是直角三角形独有的判定方法，无需角度条件，简化直角三角形全等证明步骤。 【知识点二】直角三角形全部全等判定方法 直角三角形属于特殊三角形，除专属HL定理外，通用普通三角形四种全等判定方法： 1. SSS（边边边）：三边对应相等； 2. SAS（边角边）：两条直角边对应相等（夹角为直角）； 3. ASA（角边角）：一锐角、直角、任意一条夹边对应相等； 4. AAS（角角边）：一锐角、直角、锐角对边对应相等。 【要点提示】 1. 已知斜边+直角边，优先用HL，步骤最简； 2. 已知两条直角边，优先用SAS； 3. 已知角度+边长，选用ASA/AAS。 【知识点三】角平分线判定逆定理（配套考点） 定理内容：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 核心应用：常结合HL定理证明直角三角形全等，进而推导角相等、线段相等，是本章高频综合考点。 三.题型精析 【题型 1】HL定理直接判定直角三角形全等 【例题1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 解：略 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的两边上，取，分别过点，作，的垂线，交点为，连接，则，用到的判定方法为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，，可得，然后通过“”即可证明，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴用到的判定方法为， 故选：． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】利用即可得证． 解：略 【题型 2】选择合适的全等判定方法判断 【例题2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知．求证：．以下是两名同学关于此题的讨论． 嘉嘉说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 淇淇说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” （1）看了他们的讨论，请你选择一位同学的方法写出证明过程； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明：嘉嘉的方法． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 淇淇的方法． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据证明． （1）对于嘉嘉的方法，根据垂线的知识可得，再结合证明，最后根据全等三角形的性质可得； 对于淇淇的方法，根据证明即可； （2）连接，利用全等三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 解：（1）略 （2）解：连接， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【答案】D 【分析】过作延长线于，连接，，，根据角平分线的定义证得，证明得到，，再证明得到，，进而可判断选项D正确；假设是的垂直平分线，证明得到，则根据垂直平分线的判定可得点、、共线，这种情况不一定成立，故假设不成立，可判断选项B错误；假设，则，可证明得到，可得，与矛盾，可知选项C错误；现有的条件无法证明，可判断选项A错误，进而可得答案． 解：如图，过作延长线于，连接，，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是中点，， ∴是的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意； 对于选项B，假设是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点、、共线， 由图知，这种情况不一定成立，故假设不成立，即选项B错误，不符合题意； 对于选项C，假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴在中，这与矛盾，故选项C错误，不符合题意； 对于选项A，现有的条件无法证明，故选项A不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 【答案】 【分析】根据题意容易判断，已有一组直角边对应相等，因此添加一组斜边相等． 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴若要用“”证明还需要添加的条件为“一组斜边相等”，即． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到．” 小助说：“我可以连结，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到． 请你判断两人的证法是否正确．若正确，选择其中一人的方法完成证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，再根据小协和小助所说的内容进行分析，分别证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质以及线段的和差即可证明结论． 解：都可行． 证明的小协说法： ∵，， ． 在和中 ， ， ， ， ∴． 证明小助的说法： 如图：连接． ∵，， ． 在和中 ． ∴． 【题型 3】选择合适的全等判定方法判断 【例题3】（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： （1）； （2）平分． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据“”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据“”证明，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，过点E作，交的延长线于点G，证明，进一步结合全等三角形的性质即可得到答案． 解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【答案】2 【分析】过点作交的延长线于点，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 解：如图，过点作交的延长线于点， 平分，于点，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，于点，于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：， ． ，， 和是直角三角形．     在和中， ， ， ， ∴， 平分 （2） 【分析】（1）证明，可得，则，题目可证； （2）由已知可得，，由外角性质即可求解． 解：（1）证明：略； （2）解：平分，， ．     ， ，     ． 【题型 4】HL判定定理与性质综合求值证明 【例题4】（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证： （1）点在的平分线上； （2）． 【答案】（1）证明：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2） 证明：由（）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明，根据性质可得，然后通过角平分线的判定方法即可求证； （）由（）可知，得，又，然后通过线段和差即可求证． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 解：于点，于点，且， 平分， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 【答案】 50 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，则，由此即可得； （2）连接，过点作的垂线，垂足分别为点，先求出，再根据角平分线的性质定理可得，，则，根据角平分线的判定可得是的角平分线，由此即可得． 解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）如图，连接，过点作的垂线，垂足分别为点， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， 故答案为：50． 【变式3】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【答案】（1）证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 解：（1）略 （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 【题型 5】角平分线性质判定定理求值证明 【例题5】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，将的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，． （1）求证：点在的角平分线上； （2）用等式表示、、的数量关系，并说明理由； （3）求的度数． 【答案】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ； （3） 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出； （3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，即，根据三角形外角的性质得到，即，则，根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 解：（1）略 （2）略 （3）解：∵点在的角平分线上， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴ ∵是的外角， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点．若的周长是，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．先利用角平分线性质得，将周长转化为求出；再通过证明得，设，用勾股定理列方程，解得． 解：∵是的角平分线，， ， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵的周长， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 在和中： ， ∴， ∴， 设，则， 即， 在中，由勾股定理：代入得：， 解得：， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，是的角平分线，，分别是，的高线．则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义与角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，证明，则，即可得出平分；不一定成立，不能证明． 解：∵，分别是，的高线 ∴ ∵是的角平分线， ∴，故①正确 在中， ∴， ∴， 即平分；故②正确 ∵不能证明．故③错误 故答案为：①②． 【变式3】（25-26八年级下·河南·期中）如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． （1）求平移的距离； （2）求的周长． 【答案】（1）平移的距离是；（2）的周长为． 【分析】（1）过点作于点，则 ，由角平分线的性质，可得 ，证明，可得 ， ，由勾股定理可得，设 ，则 ，由勾股定理可得，即可得平移的距离； （2）由角平分线的定义可得，由平移，结合平行线的性质，可得，由等角对等边可得，即可得的周长． （1）解：过点作于点，则 ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 设 ，则 ， 在Rt中，， ， 解得， ， 平移的距离是． （2）解：平分， ， 由平移得， ， ， ， 由（1）得，， ， ∴ 的周长为． 【题型 6】直角三角形全等综合证明（结合等腰三角形） 【例题6】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．求证： （1）为等腰三角形． （2）是的垂直平分线． 【答案】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）证明：由（1）知，为等腰三角形，是的角平分线， ∴，且平分， 即是的垂直平分线． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，得出，随即证得结论； （2）根据等腰三角形的性质，即可得证结论． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为EBD，则下列说法错误的是（    ） A．EBA≌EDC B．EBD是等腰三角形 C．折叠后的图形是轴对称图形 D．∠ABE＝∠CBD 【答案】D 【分析】根据翻转变换的性质、全等三角形的判定定理和性质定理解答．根据题意结合图形可以证明EB=ED，进而根据HL证明△ABE≌△CDE；此时可以判断选项A，B，C正确，D错误，问题即可解决． 解：如图， 由题意得：△BCD≌△BFD， ∴DC=DF，∠C=∠F=90°； ∠CBD=∠FBD； 又∵四边形ABFD为长方形， ∴∠A=∠F=90°，DE∥BF，AB=DF； ∴∠EDB=∠FBD，DC=AB； ∴∠EDB=∠CBD， ∴EB=ED， ∴△EBD为等腰三角形； 故B选项正确； 在Rt△ABE与Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDE（HL）； 故A选项正确； 折叠后∠ABE+2∠CBD=90°， ∠ABE和∠CBD不一定相等（除非都是30°）， 故D选项错误； ∵Rt△ABE≌Rt△CDE， 又∵△EBD为等腰三角形， ∴折叠后得到的图形是轴对称图形； 故C此选项正确； 综上所述，错误的结论是D选项， 故选：D． 【点拨】本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，解题的关键是翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，在直线上找一点，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形判定和性质.先由勾股定理算出的长度为5，为以为腰的等腰三角形，分两种情况：当时由得；当时根据P点位置得为8或2. 解：在中，，，， ∴ 当时，如图1所示， ∵ ∴在与中 ∴ ∴， 当时，如图2所示， P点在B点左侧： 或P点在B点右侧：. 综上所述：的长度为3或8或2. 【变式3】（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，是的外心，的平分线上一点，． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，，与交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）过点作于，于，利用角平分线性质得，结合，证明，从而得到． （2）由得，由得，结合，通过角度推导得到，进而证明． 解：（1）证明：过点作于，于． ∵平分，，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 即． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，（已证）， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可直接得出答案． 解：由全等三角形的判定方法可知，的理由是， 故选：． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，，即可求解． 解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川达州·阶段检测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 6．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找出边和角之间的相等关系，根据边角之间的相等关系判断两三角形全等，利用全等三角形的性质证明结论是否成立． 解：， ， 平分， ， 在和中，， ， 平分， 故正确； 在中，， ， ， ， ， ， 故正确； 若平分， 则有， 只有当时，平分， 若，则不平分， 故不正确； 由可知， ， ， ， 故正确； 综上所述，错误的是． 故选：C． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，证明，则应添加的条件是________． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定．根据全等三角形的判定求解． 解：∵， ∴， 又， 添加条件，可根据证明； 添加条件，可根据证明； 添加，可根据证明； 添加，可根据证明， 故答案为：答案不唯一，如． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，交于点．若，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 解：连接，如图所示： ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 11．（25-26八年级上·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则________ ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为______； 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 13．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 14．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题的关键，根据题意易证得，，即可得到，进而可推算出的长． 解：∵，平分，， ∴， 在与中 ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 15．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 解：如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 16．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质． 由“”可证，可得，由角的数量关系可求解． 解：在和中， ， ∴ （）， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：略 18．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． （1）求证：； （2）若，，请求出的长． 【答案】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，， ， ，即， ． （2）3 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出，结合其性质及等量代换确定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（1）得，， ， ． 而，，， ， 答：的长为3． 19．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 【答案】（1）证明：，，， ， ． （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H． 由（1）知，， ，． ， ． ． 平分． 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定是解题的关键． （1）由，，，得，即得． （2）过点作，，证明．得．即得平分． 解：（1）略 （2）略 20．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 解：（1）略 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $