专题09勾股定理的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理的实际应用，系统梳理直接计算（如小鸟飞行、航海测距）、方程模型（如梯子滑动、大树折断）、等面积法求高、台阶地毯长度、行程问题（汽车超速、台风影响）、等距选址及立体最短路径等核心知识点，以解题通用步骤（审题、抽象、选法、运算、检验）为学习支架，引导学生从生活情境中构建直角三角形模型。 该资料通过梯子滑动、台风影响等12类经典实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，抽象数量关系与空间形式。通过直接与方程模型辨析、立体路径多方案展开等设计，训练推理意识与运算能力，强化模型观念。课中辅助教师系统教学，课后借助题型分类与易错点总结，帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题09勾股定理的应用精讲学案 核心立意 本节的核心是实际情境的数学建模。通过梯子滑动、大树折断、芦苇水杯、航海测距、台阶地毯、汽车超速、台风影响、等距选址、立体最短路径等经典问题，训练学生从生活场景中识别或构造直角三角形。能够区分直接代入计算和设元列方程两种解题模式；掌握等面积法求斜边上的高；重视隐含的垂直条件；养成建模、列式、计算、检验的完整流程，体会数形结合思想。 解实际问题的通用步骤 ① 审题，标注已知长度，找出题目给出或默认的垂直关系，确定直角。 ② 把实物场景抽象为直角三角形，明确哪两条是直角边，哪一条可能是斜边。 ③ 选择解法：三边长度均可求出，直接代入勾股定理；边长存在和、差的约束关系，则设未知数，建立勾股方程。 ④ 进行运算，线段长度只取算术平方根，舍去负根。 ⑤ 将数值结果回归原问题，检验长度是否符合现实约束，写出完整答案。 直接计算模型（小鸟飞行、河宽、航海测距） ① 水平方向与竖直方向互相垂直，作为两条直角边。 ② 斜向的距离（飞行距离、河面斜距、航行距离）是斜边。 ③ 已知水平长度、竖直长度，直接使用 a2+b2=c2 计算斜边。 ④ 航海问题：正东‑正西方向与正北‑正南方向互相垂直，以此构建直角三角形，计算两点之间的直线距离。 方程模型（梯子滑动、大树折断、水杯芦苇、旗杆问题） ① 梯子滑动：梯子的长度固定不变，始终是斜边；墙面与地面垂直；滑动前、滑动后是两个独立的直角三角形，需要分别计算竖直高度。 ② 大树折断：折断的上段斜搭在地面上，是斜边；留在地上的竖直树干是一条直角边；整棵树的高度 = 竖直段 + 斜线段，两段之和为定值。 ③ 水杯‑芦苇：水深是一条直角边；水杯的底面半径是另一条直角边；芦苇总长 − 水深 = 露出杯口的长度；芦苇斜靠杯壁时，芦苇全长是斜边。 ④ 旗杆‑绳子：旗杆垂直地面；绳子竖直下垂时有一段多出地面；绳子被斜拉直时，绳子全长是斜边。 ⑤ 通用解法：设其中一段未知线段为 x，用含 x 的代数式表示斜边，列出勾股方程求解。 等面积法求斜边上的高 ① 先用勾股定理计算斜边的长度。 ② 利用两条直角边求面积： S=ab。 ③ 设斜边上的高为 h，以斜边为底表示面积： S=ch。 ④ 由面积相等，得到简化公式：ab=ch，直接解出 h。 ⑤ 注意：这是独立的简便方法，不必反复使用勾股定理计算高。 台阶地毯长度问题 ① 地毯需要覆盖每一级台阶的水平面和竖直面。 ② 所有台阶水平宽度相加，得到水平总长度；所有台阶竖直高度相加，得到竖直总高度。 ③ 地毯总长 = 水平总长度 + 竖直总高度。 ④ 台阶的斜面长度不等于地毯长度，严禁混用。 结合行程的应用（汽车超速、台风影响） ① 先构造直角三角形，用勾股定理求出直线距离。 ② 利用行程公式：速度=，算出车速，和限速对比，判断是否超速。 ③ 台风问题：计算定点到台风移动路线的垂线段长度；若垂距小于台风半径，则该点会受影响；再利用勾股定理算出受影响的路段长度，进一步求出受影响的时长。 等距选址问题 ① 在一条定直线上找一点，使它到两个定点的距离相等。 ② 从两个定点分别向该直线作垂线，得到两个垂足。 ③ 设待求点到其中一个垂足的距离为 x。 ④ 分别构造两个直角三角形，利用两条斜边相等建立方程，解出 x。 ⑤ 重要提醒：该点一般不是两垂足的中点。 立体图形表面的最短路径 ① 原理：两点之间，线段最短。立体曲面上的路径不能直接计算，必须把侧面展开成平面。 ② 圆柱：侧面展开是矩形；矩形一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长。 ③ 长方体：存在多种展开方案；每种方案对应一组直角边；必须分别算出路径长度，取最小值。 ④ 展开后连接起点、终点，这条线段作为斜边，构造直角三角形求解。 重点辨析 ① 直接模型 vs 方程模型：直接模型中各边可以独立求出，直接代入公式；方程模型中斜边与某一直角边的和是定值，必须设元列方程，不能直接计算边长。 ② 台阶斜面与地毯长度：斜面长是台阶的斜边；地毯要铺满所有水平、竖直的表面，长度是水平总和加竖直总和，二者不要混淆。 ③ 梯子滑动：梯子长度是常量，永不改变；变化的只是竖直高度和水平距离；滑动前后是两个三角形，不要在同一个三角形里修改边长。 ④ 等距选址误区：不要默认等距点就是中点。仅当两点关于直线对称时，中点才成立；一般情况必须解方程。 ⑤ 行程类问题分工：勾股定理只用来求距离；判断超速、计算台风时长，必须使用行程公式，不要把边长、速度、时间混在一起。 ⑥ 最短路径的操作顺序：先展开 → 再连线 → 后计算。长方体不要只试一种展开方式。 ⑦ 垂直关系的确认：墙‑地面、水面‑杯壁、东西‑南北方向是题目常见的默认垂直；没有说明垂直时，不能随意构造直角三角形。 ⑧ 结果检验的两层含义：第一，长度必须是正数；第二，算出的树高、水深、梯子高度不能超过物体的实际总长，要符合现实。 ① 大树折断、芦苇水杯问题中，把斜边误当作直角边。 ② 梯子滑动问题中，误以为梯子的长度发生变化。 ③ 台阶地毯问题，把斜面长度当作地毯的长度。 ④ 等距选址时，直接取中点，跳过列方程的步骤。 ⑤ 超速、台风问题，求出距离之后，忘记利用行程公式完成判断或时长计算。 ⑥ 立体最短路径只计算一种展开方式，漏掉更短的路径。 ⑦ 航海问题，忽略东西方向与南北方向垂直，无法建立直角三角形。 ⑧ 解方程保留负根，没有舍去不符合实际的解。 ⑨ 面对信息较多的情境，不能剥离出直角三角形，被多余条件干扰。 ⑩ 求斜边上的高时，不使用等面积法，反复用勾股定理进行繁琐计算。 题型 考察方向 难度 题型一 求梯子滑落高度 ★★ 题型二 求旗杆高度 ★★ 题型三 求小鸟飞行距离 ★★ 题型四 求大树折断前的高度 ★★ 题型五 解决水杯中筷子问题 ★★★ 题型六 解决航海问题 ★★ 题型七 求河宽 ★★ 题型八 求台阶上地毯长度 ★★ 题型九 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十 判断是否受台风影响 ★★★★ 题型十一 选址使到两地距离相等 ★★★★ 题型十二 求最短路径 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：求梯子滑落高度 解题思路：① 墙与地面垂直，梯子长度恒定为斜边。② 勾股定理求滑动前梯子竖直高度。③ 计算梯子下滑后的新竖直高度。④ 勾股定理求滑动后底端水平距离。⑤ 前后底端距离作差，得滑动距离。 1．如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了____________米． 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 3．一架长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙，如果梯子的顶部滑下，梯子的底部向外滑出多远？ 4．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 题型二：求旗杆高度 解题思路：① 旗杆、地面水平距、斜拉绳构成直角三角形。② 设旗杆高为 x，表示出绳长。③ 依据勾股定理列方程。④ 解方程得旗杆高度。 5．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本九尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（）处时绳索用尽．则木柱长为 _____________ 尺． 6．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 7．为了加固电线杆，往往需要给它拉上一条固定于地面的钢缆．如图，从电线杆离地面处向地面拉一条长的钢缆．求钢缆在地面上的固定点到电线杆底部的距离．（精确到） 8．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 题型三：求小鸟飞行距离 解题思路：① 树水平间距、树高度差为直角边。② 小鸟飞行路径为斜边。③ 勾股定理直接求斜边长。 9．如图，在水平地面上，有一棵高12m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是15m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 10．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 11．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 12．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 题型四：求大树折断前的高度 解题思路：① 树竖直段、地面水平距为直角边，折断段为斜边。② 勾股定理求折断斜边长度。③ 竖直段加折断段，得树原总高。 13．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 14．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    15．折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 16．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 题型五：解决水杯中筷子问题 解题思路：① 水杯的高度、底面直径为直角边，斜放的筷子为斜边。② 设筷子露出杯口的长度为 x，表示出杯内筷子的长度。③ 依据勾股定理列方程。④ 求解得到对应线段长度。 17．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（　　） A． B． C． D． 18．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 19．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 20．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 题型六：解决航海问题 解题思路：① 东西、南北航向互相垂直，两段航程为直角边。② 始末直线距离为斜边。③ 勾股定理求直线航程。 21．如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　　） A． B． C． D． 22．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 23．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 24．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 题型七：求河宽 解题思路：① 河宽、沿岸距为直角边，斜跨距为斜边。② 已知斜边与一条直角边。③ 勾股定理求直角边，即为河宽。 25．如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，则A，C之间的距离为(   ) A．30m B．40m C．50m D．60m 26．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 27．如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 28．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 题型八：求台阶上地毯长度 解题思路：① 平移得台阶总水平长、总竖直高。② 地毯总长 = 总水平长 + 总竖直高。③ 摒弃斜面长度，不使用勾股定理。 29．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 30．为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 31．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 32．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 题型九：判断汽车是否超速 解题思路：① 构造直角三角形，勾股定理求行驶路程。② 统一单位，计算实际车速。③ 对比限速，判定是否超速。 33．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 34．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 35．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 36．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 题型十：判断是否受台风影响 解题思路：① 定点向台风路径作垂线，得最短距离。② 对比垂距与影响半径，判断是否受影响。③ 受影响时，勾股定理求影响路段长。④ 结合风速计算影响时长。 37．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 38．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 39．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 40．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 题型十一：选址使到两地距离相等 解题思路：① 两定点向直线作垂线，确定垂足。② 设未知点线段长为 x，用代数式表示两段距离。③ 依据距离相等列勾股方程。④ 求解并验证取值合理性。 41．小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 42．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 43．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 44．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 题型十二：求最短路径 解题思路：① 展开立体侧面为平面图形。② 首尾连线确定最短斜边路径。③ 确定对应两条直角边长。④ 勾股定理求长度，长方体多方案取最小值。 45．如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 46．勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 47．如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 48．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09勾股定理的应用精讲学案 核心立意 本节的核心是实际情境的数学建模。通过梯子滑动、大树折断、芦苇水杯、航海测距、台阶地毯、汽车超速、台风影响、等距选址、立体最短路径等经典问题，训练学生从生活场景中识别或构造直角三角形。能够区分直接代入计算和设元列方程两种解题模式；掌握等面积法求斜边上的高；重视隐含的垂直条件；养成建模、列式、计算、检验的完整流程，体会数形结合思想。 解实际问题的通用步骤 ① 审题，标注已知长度，找出题目给出或默认的垂直关系，确定直角。 ② 把实物场景抽象为直角三角形，明确哪两条是直角边，哪一条可能是斜边。 ③ 选择解法：三边长度均可求出，直接代入勾股定理；边长存在和、差的约束关系，则设未知数，建立勾股方程。 ④ 进行运算，线段长度只取算术平方根，舍去负根。 ⑤ 将数值结果回归原问题，检验长度是否符合现实约束，写出完整答案。 直接计算模型（小鸟飞行、河宽、航海测距） ① 水平方向与竖直方向互相垂直，作为两条直角边。 ② 斜向的距离（飞行距离、河面斜距、航行距离）是斜边。 ③ 已知水平长度、竖直长度，直接使用 a2+b2=c2 计算斜边。 ④ 航海问题：正东‑正西方向与正北‑正南方向互相垂直，以此构建直角三角形，计算两点之间的直线距离。 方程模型（梯子滑动、大树折断、水杯芦苇、旗杆问题） ① 梯子滑动：梯子的长度固定不变，始终是斜边；墙面与地面垂直；滑动前、滑动后是两个独立的直角三角形，需要分别计算竖直高度。 ② 大树折断：折断的上段斜搭在地面上，是斜边；留在地上的竖直树干是一条直角边；整棵树的高度 = 竖直段 + 斜线段，两段之和为定值。 ③ 水杯‑芦苇：水深是一条直角边；水杯的底面半径是另一条直角边；芦苇总长 − 水深 = 露出杯口的长度；芦苇斜靠杯壁时，芦苇全长是斜边。 ④ 旗杆‑绳子：旗杆垂直地面；绳子竖直下垂时有一段多出地面；绳子被斜拉直时，绳子全长是斜边。 ⑤ 通用解法：设其中一段未知线段为 x，用含 x 的代数式表示斜边，列出勾股方程求解。 等面积法求斜边上的高 ① 先用勾股定理计算斜边的长度。 ② 利用两条直角边求面积： S=ab。 ③ 设斜边上的高为 h，以斜边为底表示面积： S=ch。 ④ 由面积相等，得到简化公式：ab=ch，直接解出 h。 ⑤ 注意：这是独立的简便方法，不必反复使用勾股定理计算高。 台阶地毯长度问题 ① 地毯需要覆盖每一级台阶的水平面和竖直面。 ② 所有台阶水平宽度相加，得到水平总长度；所有台阶竖直高度相加，得到竖直总高度。 ③ 地毯总长 = 水平总长度 + 竖直总高度。 ④ 台阶的斜面长度不等于地毯长度，严禁混用。 结合行程的应用（汽车超速、台风影响） ① 先构造直角三角形，用勾股定理求出直线距离。 ② 利用行程公式：速度=，算出车速，和限速对比，判断是否超速。 ③ 台风问题：计算定点到台风移动路线的垂线段长度；若垂距小于台风半径，则该点会受影响；再利用勾股定理算出受影响的路段长度，进一步求出受影响的时长。 等距选址问题 ① 在一条定直线上找一点，使它到两个定点的距离相等。 ② 从两个定点分别向该直线作垂线，得到两个垂足。 ③ 设待求点到其中一个垂足的距离为 x。 ④ 分别构造两个直角三角形，利用两条斜边相等建立方程，解出 x。 ⑤ 重要提醒：该点一般不是两垂足的中点。 立体图形表面的最短路径 ① 原理：两点之间，线段最短。立体曲面上的路径不能直接计算，必须把侧面展开成平面。 ② 圆柱：侧面展开是矩形；矩形一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长。 ③ 长方体：存在多种展开方案；每种方案对应一组直角边；必须分别算出路径长度，取最小值。 ④ 展开后连接起点、终点，这条线段作为斜边，构造直角三角形求解。 重点辨析 ① 直接模型 vs 方程模型：直接模型中各边可以独立求出，直接代入公式；方程模型中斜边与某一直角边的和是定值，必须设元列方程，不能直接计算边长。 ② 台阶斜面与地毯长度：斜面长是台阶的斜边；地毯要铺满所有水平、竖直的表面，长度是水平总和加竖直总和，二者不要混淆。 ③ 梯子滑动：梯子长度是常量，永不改变；变化的只是竖直高度和水平距离；滑动前后是两个三角形，不要在同一个三角形里修改边长。 ④ 等距选址误区：不要默认等距点就是中点。仅当两点关于直线对称时，中点才成立；一般情况必须解方程。 ⑤ 行程类问题分工：勾股定理只用来求距离；判断超速、计算台风时长，必须使用行程公式，不要把边长、速度、时间混在一起。 ⑥ 最短路径的操作顺序：先展开 → 再连线 → 后计算。长方体不要只试一种展开方式。 ⑦ 垂直关系的确认：墙‑地面、水面‑杯壁、东西‑南北方向是题目常见的默认垂直；没有说明垂直时，不能随意构造直角三角形。 ⑧ 结果检验的两层含义：第一，长度必须是正数；第二，算出的树高、水深、梯子高度不能超过物体的实际总长，要符合现实。 ① 大树折断、芦苇水杯问题中，把斜边误当作直角边。 ② 梯子滑动问题中，误以为梯子的长度发生变化。 ③ 台阶地毯问题，把斜面长度当作地毯的长度。 ④ 等距选址时，直接取中点，跳过列方程的步骤。 ⑤ 超速、台风问题，求出距离之后，忘记利用行程公式完成判断或时长计算。 ⑥ 立体最短路径只计算一种展开方式，漏掉更短的路径。 ⑦ 航海问题，忽略东西方向与南北方向垂直，无法建立直角三角形。 ⑧ 解方程保留负根，没有舍去不符合实际的解。 ⑨ 面对信息较多的情境，不能剥离出直角三角形，被多余条件干扰。 ⑩ 求斜边上的高时，不使用等面积法，反复用勾股定理进行繁琐计算。 题型 考察方向 难度 题型一 求梯子滑落高度 ★★ 题型二 求旗杆高度 ★★ 题型三 求小鸟飞行距离 ★★ 题型四 求大树折断前的高度 ★★ 题型五 解决水杯中筷子问题 ★★★ 题型六 解决航海问题 ★★ 题型七 求河宽 ★★ 题型八 求台阶上地毯长度 ★★ 题型九 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十 判断是否受台风影响 ★★★★ 题型十一 选址使到两地距离相等 ★★★★ 题型十二 求最短路径 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：求梯子滑落高度 解题思路：① 墙与地面垂直，梯子长度恒定为斜边。② 勾股定理求滑动前梯子竖直高度。③ 计算梯子下滑后的新竖直高度。④ 勾股定理求滑动后底端水平距离。⑤ 前后底端距离作差，得滑动距离。 1．如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了____________米． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中在直角中和直角中分别运用勾股定理是解题的关键． 由题意知，米，米，米，则在直角中，根据，可以求，在直角中，根据，可以求，则即为题目要求的距离． 【详解】解：在直角中，已知米，米， ∴（米）， 在直角中， ∵（米），米， ∴（米）， ∴（米） 故答案为：． 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 3．一架长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙，如果梯子的顶部滑下，梯子的底部向外滑出多远？ 【答案】梯子的底部向外滑出 【分析】先利用勾股定理求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到墙的距离即可解答本题． 【详解】解：如图，，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 即梯子的底部向外滑出． 4．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 题型二：求旗杆高度 解题思路：① 旗杆、地面水平距、斜拉绳构成直角三角形。② 设旗杆高为 x，表示出绳长。③ 依据勾股定理列方程。④ 解方程得旗杆高度。 5．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本九尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（）处时绳索用尽．则木柱长为 _____________ 尺． 【答案】12 【分析】设出未知数，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设木柱长为x尺． 根据题意，则绳索为尺． 在中，由勾股定理可得， 则，即，解得， 则木柱长为12尺． 6．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 7．为了加固电线杆，往往需要给它拉上一条固定于地面的钢缆．如图，从电线杆离地面处向地面拉一条长的钢缆．求钢缆在地面上的固定点到电线杆底部的距离．（精确到） 【答案】 【分析】从题意可知，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：从电线杆离地面处向地面拉一条长的钢缆，钢缆、电线杆与地面正好构成直角三角形， 钢缆在地面上的固定点到电线杆底部的距离为． 8．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 【答案】8米 【分析】先利用勾股定理求出的长；再根据风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，再次利用勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， 如图，当风筝沿方向再上升12米，到点时， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 题型三：求小鸟飞行距离 解题思路：① 树水平间距、树高度差为直角边。② 小鸟飞行路径为斜边。③ 勾股定理直接求斜边长。 9．如图，在水平地面上，有一棵高12m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是15m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】 17 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定求出的长即可得到答案． 【详解】解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 10．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 11．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？ 【答案】米 【分析】过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 答：为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题关键． 12．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【答案】(1)13.7米 (2)还需放出风筝线14米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得（米）， 所以（米）． （2）解：由题意得米， 因为米， 故米， 在中，（米）， 所以（米）， 故还需放出风筝线14米． 题型四：求大树折断前的高度 解题思路：① 树竖直段、地面水平距为直角边，折断段为斜边。② 勾股定理求折断斜边长度。③ 竖直段加折断段，得树原总高。 13．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵竹子原高10尺，折断处离地面尺， ∴折断部分长度为尺， 如图，直角边尺，尺，斜边尺， 根据勾股定理得：． 14．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【答案】 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 15．折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【分析】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． 16．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型五：解决水杯中筷子问题 解题思路：① 水杯的高度、底面直径为直角边，斜放的筷子为斜边。② 设筷子露出杯口的长度为 x，表示出杯内筷子的长度。③ 依据勾股定理列方程。④ 求解得到对应线段长度。 17．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理求出这只铅笔在笔筒的内部的长度范围，进而求出这只铅笔的长度范围，然后判断即可． 【详解】解：∵笔筒的内部底面直径是，内壁高， ∴这只铅笔在笔筒的内部的长度最短为，最长为， ∴这只铅笔的长度最短为，最长为， 只有D符合题意， 故选：D． 18．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 19．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 20．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； (2) 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，则；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； 即尺，尺； 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； （2）略 题型六：解决航海问题 解题思路：① 东西、南北航向互相垂直，两段航程为直角边。② 始末直线距离为斜边。③ 勾股定理求直线航程。 21．如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解；能根据方位角等表示出位置，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：对图形进行点标注． 根据题意知3小时后，其中甲货船航行到B点，乙货船含蓄到C点，连结． ， ， ， ， ， ， ∴3小时后两船相距． 故选：C． 22．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 23．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 24．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 题型七：求河宽 解题思路：① 河宽、沿岸距为直角边，斜跨距为斜边。② 已知斜边与一条直角边。③ 勾股定理求直角边，即为河宽。 25．如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，则A，C之间的距离为(   ) A．30m B．40m C．50m D．60m 【答案】A 【分析】利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 26．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 27．如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【答案】从点穿过湖到点有米 【分析】已知是直角三角形，，根据勾股定理可得，将，代入上式中即可求得的长度． 【详解】解：为直角三角形，且如图所示，， （）． 答：从点穿过湖到点有米． 28．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 题型八：求台阶上地毯长度 解题思路：① 平移得台阶总水平长、总竖直高。② 地毯总长 = 总水平长 + 总竖直高。③ 摒弃斜面长度，不使用勾股定理。 29．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 30．为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 【答案】2100 【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 31．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 32．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【答案】(1)①17，②16，③ (2)， (3)81 【分析】（1）观察表格可得三边满足，，，代入相应，即可求出空格． （2）用勾股定理和完全平方公式验证． （3）“最短边可种株花”说明最短边长为米；由于必为偶数，最短边只能是，从而列方程求出，，再按“封闭图形种花”模型求总株数． 【详解】（1）解：，，， 当，时，， ①； 当，时，， ②； 当，时，， ③． （2）解：，且， ， ， ， ， ，． （3）解：最短边可种株花，且两端都种， 最短边长为（米）， 为偶数，而为奇数， 最短边为，即， ， ， ，为正整数且， ，， 解得：，， ，， 三边长分别为米、24米、25米， 每边种花数为边长加， 三边合计（株）， 三个顶点各被重复计算一次， 总花数（株）． 题型九：判断汽车是否超速 解题思路：① 构造直角三角形，勾股定理求行驶路程。② 统一单位，计算实际车速。③ 对比限速，判定是否超速。 33．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 34．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 35．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 36．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 题型十：判断是否受台风影响 解题思路：① 定点向台风路径作垂线，得最短距离。② 对比垂距与影响半径，判断是否受影响。③ 受影响时，勾股定理求影响路段长。④ 结合风速计算影响时长。 37．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 38．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 39．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 40．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【答案】(1)解：如图所示：过点作， ，，， ， 为直角三角形，， ， 即， ， 以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，， 城镇会受到沙尘暴影响； (2) 【分析】（1）过点作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，即可得到城镇会受到沙尘暴的影响； （2）在边上找、两点，连接、，使，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质求出，再由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在边上找、两点，连接、，使， ， ，， ， ， 沙尘暴中心的移动速度为， ， 答：城镇会受到沙尘暴的影响，持续的时间为． 题型十一：选址使到两地距离相等 解题思路：① 两定点向直线作垂线，确定垂足。② 设未知点线段长为 x，用代数式表示两段距离。③ 依据距离相等列勾股方程。④ 求解并验证取值合理性。 41．小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 42．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 43．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【答案】 该医院离A地的距离 【分析】作的垂直平分线与交于点，交于点，则点即为所作；连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于点，则点E就是医院的建造位置，图略，连接，设，则． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离． 44．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 题型十二：求最短路径 解题思路：① 展开立体侧面为平面图形。② 首尾连线确定最短斜边路径。③ 确定对应两条直角边长。④ 勾股定理求长度，长方体多方案取最小值。 45．如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 【答案】B 【分析】先把正方体展开，连接，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角中， ∵，，， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路径为米． 46．勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【答案】100 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的距离，注意分类讨论不同展开方式下的直角边长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段即为最短路线． 分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为40+20=60厘米，80厘米， 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况二：将长方体的前面和上面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况三：将长方体的左面和上面展开在同一平面内. 此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 综上所述，最短路线的长是100厘米． 47．如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 48．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $