专题01认识三角形精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形几何入门核心知识，系统梳理定义与表示、按角和按边分类、三边关系、内角和定理及中线、角平分线、高线三大线段性质，为后续等腰三角形、全等三角形学习搭建基础支架。 资料通过重点辨析易混概念、归纳常见错误，结合17种分层题型设计，培养学生几何直观与逻辑推理素养。课中辅助教师高效授课，课后学生可借题型练习查漏补缺，强化知识应用能力。

专题01认识三角形精讲学案 核心立意 本节课是三角形几何入门课。立足三角形基本概念，掌握三边关系、内角和定理、三角形三条重要线段三大核心工具，学会利用概念、定理完成几何判断、角度与边长计算、简单几何说理。建立几何推理意识，为后续等腰三角形、全等三角形学习筑牢基础，落实几何直观、逻辑推理的数学素养。 三角形定义与表示： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形；记作ABC，包含3个顶点、3条边、3个内角；顶点A的对边记为小写字母a。 三角形的分类 按角分类：锐角三角形（三个内角均为锐角）、直角三角形（有一个内角为直角）、钝角三角形（有一个内角为钝角）。 按边分类：不等边三角形、等腰三角形；等边三角形属于特殊的等腰三角形。 三角形三边关系： 任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 解题实用结论：判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和＞最长边； 已知两边求第三边取值范围：|两边之差|<第三边<两边之和。 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180；推论：直角三角形两锐角互余。 三角形三条重要线段 中线：连接顶点与对边中点的线段；一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形；三条中线交于三角形内部。 角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段；三角形角平分线是线段，区别于角的平分线（射线）；三条角平分线交于三角形内部。 高线（高）：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，高是线段。 锐角三角形三条高均在三角形内部； 直角三角形两条高与直角边重合； 钝角三角形两条高落在三角形外部，作图需要延长对边。 重点辨析 ① 三角形定义两个必要条件：不在同一直线上、首尾顺次相接，二者缺一不可；三条线段共线无法构成三角形。 ② 三边关系：无需验证全部三组不等式，仅验证较短两边之和大于最长边即可；求第三边范围，必须同时满足大于两边之差、小于两边之和。 ③ 区分线段与直线：三角形的高是线段，并非直线；钝角三角形作高时，垂足落在对边的延长线上。 ④ 中线性质：平分三角形面积，不平分周长；中线仅平分对边，不能直接平分内角。 ⑤ 按角分类：一个三角形最多只能有1个直角或1个钝角，三角形至少含有2个锐角。 ⑥ 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 ① 判断线段能否构成三角形，未验证较短两边之和大于最长边，误用其余不等式判断。 ② 求解第三边取值范围，忽略两边之差的绝对值，漏掉取值下限。 ③ 绘制钝角三角形的高，未延长对边，错误将高画在三角形内部。 ④ 混淆三线概念：把高线视作直线；误认为所有三角形的三条高都在图形内部。 ⑤ 内角和计算时，忽略内角和恒等于180，出现角度运算错误。 ⑥ 求解等腰三角形边长，算出边长后未利用三边关系检验，得到无法构成三角形的解。 ⑦ 混淆中线功能，误认为中线平分三角形周长，中线只平分面积与对边。 ⑧ 混淆三角形角平分线与角的平分线：前者为线段，后者为射线。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★ 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型五 三角形折叠中的角度问题 ★★★ 题型六 三角形内角和定理的应用 ★★ 题型七 三角形的分类 ★ 题型八 构成三角形的条件 ★★ 题型九 确定第三边的取值范围 ★★ 题型十 三角形三边关系的应用 ★★★ 题型十一 三角形角平分线的定义 ★ 题型十二 根据三角形中线求长度 ★★ 题型十三 根据三角形中线求面积 ★★ 题型十四 重心的概念 ★ 题型十五 画三角形的高 ★★ 题型十六 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 题型十七 垂心 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拓展 题型一：三角形的识别与有关概念 解题思路：①对照三角形定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接围成封闭图形；②识别三角形的顶点、边、内角；③掌握ABC书写格式，理清顶点和对边小写字母的对应关系。 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 3．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 题型二：三角形的个数问题 解题思路：①先数独立的单个小三角形；②再数由2个小三角形拼接组成的三角形；③继续数由多个小三角形拼接组成的三角形；④统计完成复核，避免重复计数、漏数。 4．如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 6．如图所示，图中共有三角形______个． 题型三：与平行线有关的三角形内角和问题 解题思路：①利用平行线性质，找出相等的内错角或同位角；②结合三角形内角和为180；③列出角度等量关系式，计算未知角。 7．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，，，，，则________．    9．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型四：与角平分线有关的三角形内角和问题 解题思路：①根据角平分线，得到两个相等的内角；②把相等角代入三角形内角和公式；③采用整体代换，计算目标角度。 10．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 12．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 题型五：三角形折叠中的角度问题 解题思路：①找出折叠前后互相重合的对应角，对应角大小相等；②结合三角形内角和定理；③建立角度等式求解未知角。 13．如图，把沿折叠，使点落在点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 14．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 15．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 题型六：三角形内角和定理的应用 解题思路：①牢记三角形内角和等于180；②已知两个内角，用180减去两个已知角，算出第三个内角。 16．一个三角形三个内角度数之比是，则其最大内角的度数为（    ） A． B． C． D． 17．如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 18．如图：光线α照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，已知，，则的度数为（提示：光线照射到平面镜上，反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角）（    ） A． B． C． D． 题型七：三角形的分类 解题思路：①按角划分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；②按边划分：不等边三角形、等腰三角形；③明确等边三角形是特殊的等腰三角形。 19．如图，这个三角形是（    ）    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三边都不相等的三角形 D．直角三角形 20．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 21．下列对的判断中，错误的是（   ） A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是直角三角形 题型八：构成三角形的条件 解题思路：①找出三条线段里最短两条和最长一条；②验证：较短两条线段之和＞最长线段；③满足该条件即可构成三角形。 22．以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 23．给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 24．小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 题型九：确定第三边的取值范围 解题思路：①已知三角形两条边长；②套用公式：|两边之差|<第三边<两边之和；③写出第三边的取值范围。 25．已知三角形的三边长分别为3，a，7，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 26．已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 27．为测算草坪两端的间距，在草坪外取一点，测得，．则草坪两端、之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 题型十：三角形三边关系的应用 解题思路：①根据题意列出边长条件；②算出边长的候选结果；③将候选边长代入三边关系进行验证；④剔除不满足条件的解。 28．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地．下列关系正确的是（   ） 甲：，路程为； 乙：，路程为． A． B． C． D． 29．已知的周长是偶数，其中有两边长是3和7，且的第三边长为偶数，则此三角形的周长是______． 30．如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 题型十一：三角形角平分线的定义 解题思路：①三角形角平分线是线段；②角的平分线是射线，注意区分；③定义：内角平分线交对边，顶点到交点之间的线段。 31．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中正确的个数是（   ） ①；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 33．如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 题型十二：根据三角形中线求长度 解题思路：①中线把对边平分为两条相等线段；②利用线段相等关系；③计算线段长度或者三角形周长。 34．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 35．如图，已知BD是的一条中线，与的周长分别为17，14，则的长是________． 36．如图，在中，，分别是边，上的中线，，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十三：根据三角形中线求面积 解题思路：①一条中线分割三角形，得到两个等底同高的小三角形；②两个小三角形面积相等；③利用面积相等关系进行面积计算。 37．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 38．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 39．如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型十四：重心的概念 解题思路：①重心是三角形三条中线的交点；②重心把每条中线分成2:1两段。 40．如图，在中，点E为边中点，于D，平分，则的重心一定在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 41．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 42．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C．D． 题型十五：画三角形的高 解题思路：①从顶点向对边所在直线作垂线；②顶点到垂足之间的线段就是高；③钝角三角形需要延长对边，画出三角形外部的高。 43．下列各图中，正确画出边上的高的是（     ） A． B． C． D． 44．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C．D． 45．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 题型十六：与三角形的高有关的计算问题 解题思路：①使用面积公式S=底高}；②底和高必须相互对应；③结合面积条件求边长或角度。 46．在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 47．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 48．如图，在中，，，若的面积为，则图中的面积等于（   ） A．60 B．80 C．90 D．120 题型十七：垂心 解题思路：①垂心是三角形三条高线所在直线的交点；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心在直角顶点；钝角三角形垂心在三角形外部。 49．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 50．如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 51．如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 解答题 1．按下列要求画图并填空： (1)作的平分线，交于点D；作边上的高． (2)如果，在（1）的操作条件下，_________． 2．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 3．已知的三边长分别为，化简：． 4．【数学经验】三角形的中线能将该三角形分成面积相等的两部分． (1)【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，的边上有一点，请证明：； (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，求的面积； (3)【拓展延伸】如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：． 5．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么等于多少度？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01认识三角形精讲学案 核心立意 本节课是三角形几何入门课。立足三角形基本概念，掌握三边关系、内角和定理、三角形三条重要线段三大核心工具，学会利用概念、定理完成几何判断、角度与边长计算、简单几何说理。建立几何推理意识，为后续等腰三角形、全等三角形学习筑牢基础，落实几何直观、逻辑推理的数学素养。 三角形定义与表示： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形；记作ABC，包含3个顶点、3条边、3个内角；顶点A的对边记为小写字母a。 三角形的分类 按角分类：锐角三角形（三个内角均为锐角）、直角三角形（有一个内角为直角）、钝角三角形（有一个内角为钝角）。 按边分类：不等边三角形、等腰三角形；等边三角形属于特殊的等腰三角形。 三角形三边关系： 任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 解题实用结论：判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和＞最长边； 已知两边求第三边取值范围：|两边之差|<第三边<两边之和。 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180；推论：直角三角形两锐角互余。 三角形三条重要线段 中线：连接顶点与对边中点的线段；一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形；三条中线交于三角形内部。 角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段；三角形角平分线是线段，区别于角的平分线（射线）；三条角平分线交于三角形内部。 高线（高）：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，高是线段。 锐角三角形三条高均在三角形内部； 直角三角形两条高与直角边重合； 钝角三角形两条高落在三角形外部，作图需要延长对边。 重点辨析 ① 三角形定义两个必要条件：不在同一直线上、首尾顺次相接，二者缺一不可；三条线段共线无法构成三角形。 ② 三边关系：无需验证全部三组不等式，仅验证较短两边之和大于最长边即可；求第三边范围，必须同时满足大于两边之差、小于两边之和。 ③ 区分线段与直线：三角形的高是线段，并非直线；钝角三角形作高时，垂足落在对边的延长线上。 ④ 中线性质：平分三角形面积，不平分周长；中线仅平分对边，不能直接平分内角。 ⑤ 按角分类：一个三角形最多只能有1个直角或1个钝角，三角形至少含有2个锐角。 ⑥ 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 ① 判断线段能否构成三角形，未验证较短两边之和大于最长边，误用其余不等式判断。 ② 求解第三边取值范围，忽略两边之差的绝对值，漏掉取值下限。 ③ 绘制钝角三角形的高，未延长对边，错误将高画在三角形内部。 ④ 混淆三线概念：把高线视作直线；误认为所有三角形的三条高都在图形内部。 ⑤ 内角和计算时，忽略内角和恒等于180，出现角度运算错误。 ⑥ 求解等腰三角形边长，算出边长后未利用三边关系检验，得到无法构成三角形的解。 ⑦ 混淆中线功能，误认为中线平分三角形周长，中线只平分面积与对边。 ⑧ 混淆三角形角平分线与角的平分线：前者为线段，后者为射线。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★ 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型五 三角形折叠中的角度问题 ★★★ 题型六 三角形内角和定理的应用 ★★ 题型七 三角形的分类 ★ 题型八 构成三角形的条件 ★★ 题型九 确定第三边的取值范围 ★★ 题型十 三角形三边关系的应用 ★★★ 题型十一 三角形角平分线的定义 ★ 题型十二 根据三角形中线求长度 ★★ 题型十三 根据三角形中线求面积 ★★ 题型十四 重心的概念 ★ 题型十五 画三角形的高 ★★ 题型十六 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 题型十七 垂心 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拓展 题型一：三角形的识别与有关概念 解题思路：①对照三角形定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接围成封闭图形；②识别三角形的顶点、边、内角；③掌握ABC书写格式，理清顶点和对边小写字母的对应关系。 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 3．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 题型二：三角形的个数问题 解题思路：①先数独立的单个小三角形；②再数由2个小三角形拼接组成的三角形；③继续数由多个小三角形拼接组成的三角形；④统计完成复核，避免重复计数、漏数。 4．如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，三角形分别有，，，共3个． 故选：C． 5．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的判断，根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．）即可得到结论． 【详解】解：图中共有6个三角形，分别是，，，，，． 故选：C． 6．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 题型三：与平行线有关的三角形内角和问题 解题思路：①利用平行线性质，找出相等的内错角或同位角；②结合三角形内角和为180；③列出角度等量关系式，计算未知角。 7．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，，，，，则________．    【答案】74 【分析】根据，算出，由得出，根据三角形内角和即可求解； 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质并能够熟练运用． 9．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 题型四：与角平分线有关的三角形内角和问题 解题思路：①根据角平分线，得到两个相等的内角；②把相等角代入三角形内角和公式；③采用整体代换，计算目标角度。 10．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：∵，分别平分和，，， ∴， ∴. 11．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 12．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 题型五：三角形折叠中的角度问题 解题思路：①找出折叠前后互相重合的对应角，对应角大小相等；②结合三角形内角和定理；③建立角度等式求解未知角。 13．如图，把沿折叠，使点落在点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选C 14．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 15．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 题型六：三角形内角和定理的应用 解题思路：①牢记三角形内角和等于180；②已知两个内角，用180减去两个已知角，算出第三个内角。 16．一个三角形三个内角度数之比是，则其最大内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最大内角对应比例中的最大项，结合三角形内角和按比例求解． 【详解】解：∵三角形内角和为，三个内角度数之比为， ∴总份数为， ∴最大内角度数为． 17．如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】在和中，使用三角形内角和定理得到，代入数值即可求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理知，在中，， 在中，， ，（对顶角相等） ， ． 18．如图：光线α照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，已知，，则的度数为（提示：光线照射到平面镜上，反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据镜面反射等角特性得到、、，先利用平角求出，再结合三角形内角和算出，等量代换得到的度数． 【详解】解：∵反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角， ∴，，． ∵是直线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 题型七：三角形的分类 解题思路：①按角划分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；②按边划分：不等边三角形、等腰三角形；③明确等边三角形是特殊的等腰三角形。 19．如图，这个三角形是（    ）    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三边都不相等的三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据已知三角形判断即可． 【详解】解：由图可知，这个三角形是三边都不相等的三角形． 故选：C． 20．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 21．下列对的判断中，错误的是（   ） A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及三角形分类， 通过角度计算可准确判断三角形类型． 根据三角形内角和定理计算各角度数，再依据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义判断． 【详解】解：A、∵， 设， 则， ∴， 解得， ∴，是直角三角形，正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是钝角三角形， 但选项判断为锐角三角形， 错误，符合题意； C、∵， ∴， 所有角均小于，是锐角三角形，正确，不符合题意； D、∵， 设， 则， ， ∴， 解得， ∴ ，是直角三角形， 正确，不符合题意； 故选：B． 题型八：构成三角形的条件 解题思路：①找出三条线段里最短两条和最长一条；②验证：较短两条线段之和＞最长线段；③满足该条件即可构成三角形。 22．以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】验证较短两条线段的和是否大于最长线段，即可快速判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，能组成三角形； D、，不能组成三角形． 23．给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 【答案】①②④ 【分析】根据三角形三边关系，只需判断每组中较短两条线段的和是否大于最长线段，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：①对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ②三边比为，设三边长分别为、、（），较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ③对于线段、、，较短两边的和为， ∵， ∴不满足三边关系，不能组成三角形， ④对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， 综上所述：能组成三角形的是①②④． 24．小明手里有两根塑料吸管，一根长，另一根长，他想通过剪开其中一根吸管，和另一根拼成一个三角形框架．下列做法正确的是（     ） A．只能剪开的吸管 B．只能剪开的吸管 C．两根吸管剪开后都能拼成三角形 D．两根吸管剪开后都不能拼成三角形 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，分两种情况讨论剪开哪根吸管，根据三边关系判断即可. 【详解】解：根据三角形三边关系，分两种情况讨论： 情况1：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，不满足三边关系，剪开的吸管不能拼成三角形. 情况2：剪开的吸管，设剪开后两段长为，，则，第三边长为，，将代入得，同理可得， 只要将的吸管剪成两段都大于，即可满足三边关系拼成三角形. 题型九：确定第三边的取值范围 解题思路：①已知三角形两条边长；②套用公式：|两边之差|<第三边<两边之和；③写出第三边的取值范围。 25．已知三角形的三边长分别为3，a，7，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴根据三角形三边关系可得， 化简得． 26．已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合为奇数即可求出的值． 【详解】解：根据三角形三边关系得 即. 又因为的长度为奇数， 所以． 27．为测算草坪两端的间距，在草坪外取一点，测得，．则草坪两端、之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项进行判断即可． 【详解】解：设的长为， 在中，，， ， ， ， 选项A中，选项B中，选项D中，均不符合题意，选项C中，符合题意． 题型十：三角形三边关系的应用 解题思路：①根据题意列出边长条件；②算出边长的候选结果；③将候选边长代入三边关系进行验证；④剔除不满足条件的解。 28．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地．下列关系正确的是（   ） 甲：，路程为； 乙：，路程为． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中角度相等判断点、分别在线段、上，进而利用三角形的三边关系判断即可得解． 【详解】解：由图甲可知，，； 由图乙可知，，， 点在线段上，点在线段上．如图所示， ，， ． 又， 在中，由三角形三边关系可知：， ， 即． 29．已知的周长是偶数，其中有两边长是3和7，且的第三边长为偶数，则此三角形的周长是______． 【答案】16或18 【分析】本题考查了三角形三边关系． 根据三角形三边关系，第三边取值范围为大于两边差且小于两边和，再结合第三边为偶数的条件，确定第三边的具体值，最后计算周长． 【详解】解：设第三边长为， 由三角形三边关系得， 即． ∵为偶数， ∴或． 当时，周长为； 当时，周长为； 故答案为：16或18． 30．如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：在 中，由三角形的三边关系可知： ， ，即 ， 观察各选项，只有 在此范围内． 题型十一：三角形角平分线的定义 解题思路：①三角形角平分线是线段；②角的平分线是射线，注意区分；③定义：内角平分线交对边，顶点到交点之间的线段。 31．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 32．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中正确的个数是（   ） ①；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解 【详解】解：分别是的高，角平分线，中线， ，， 则①②④正确， 故选：C． 33．如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 【答案】/20度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十二：根据三角形中线求长度 解题思路：①中线把对边平分为两条相等线段；②利用线段相等关系；③计算线段长度或者三角形周长。 34．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 35．如图，已知BD是的一条中线，与的周长分别为17，14，则的长是________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于是解题的关键，作出图形更形象直观． 根据中线的定义可得，然后求出与的周长的差等于，代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴， ∴与的周长的差= =， ， ∵与的周长分别为，， ∴． 故答案为：． 36．如图，在中，，分别是边，上的中线，，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，三角形中线的交点是重心，它把中线分为两部分，可得 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴点是的重心， ∴， ∴ 故选：A 题型十三：根据三角形中线求面积 解题思路：①一条中线分割三角形，得到两个等底同高的小三角形；②两个小三角形面积相等；③利用面积相等关系进行面积计算。 37．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 38．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 39．如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， 的面积为， ，， ． 题型十四：重心的概念 解题思路：①重心是三角形三条中线的交点；②重心把每条中线分成2:1两段。 40．如图，在中，点E为边中点，于D，平分，则的重心一定在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题考查了重心的定义，根据定义即可求解． 【详解】解：∵中线的交点叫重心，而其中在中，只有线段是的中线， ∴的重心一定在线段上． 故选：B． 41．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 42．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 题型十五：画三角形的高 解题思路：①从顶点向对边所在直线作垂线；②顶点到垂足之间的线段就是高；③钝角三角形需要延长对边，画出三角形外部的高。 43．下列各图中，正确画出边上的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义进行判断即可． 【详解】略 44．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 45．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 题型十六：与三角形的高有关的计算问题 解题思路：①使用面积公式S=底高}；②底和高必须相互对应；③结合面积条件求边长或角度。 46．在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，据此代入数值求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 47．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 48．如图，在中，，，若的面积为，则图中的面积等于（   ） A．60 B．80 C．90 D．120 【答案】C 【分析】用三角形中线平分面积的性质以及等高三角形面积比等于底边比的性质，分别求出和的面积，相加即可得到的面积． 【详解】解：， ， ，即， ， ． 题型十七：垂心 解题思路：①垂心是三角形三条高线所在直线的交点；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心在直角顶点；钝角三角形垂心在三角形外部。 49．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 50．如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 51．如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 【答案】/42度 【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是解题的关键． 如图，延长交于，则为边上的高，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O， ∴为边上的高，即， ∴， 故答案为：． 解答题 1．按下列要求画图并填空： (1)作的平分线，交于点D；作边上的高． (2)如果，在（1）的操作条件下，_________． 【答案】(1) 的平分线，边上的高，如图所示： (2) 【分析】（1）利用量角器和直尺画三角形的高和角平分线即可； （2）先求出，再根据角平分线得到，根据高得到，接着利用三角形内角和求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的平分线， ∴， ∵边上的高， ∴， ∴， ∴． 2．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 【答案】(1)等边三角形 (2)13或14或15． 【分析】（1）根据非负数的性质得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为正数得出c的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解： ，，， ，． ． ． ． 是等边三角形； （2）解：，，， ， 为整数， 可以取5，6，7． 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 的周长为13或14或15． 3．已知的三边长分别为，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】的边长为，，， ，， ． 4．【数学经验】三角形的中线能将该三角形分成面积相等的两部分． (1)【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，的边上有一点，请证明：； (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，求的面积； (3)【拓展延伸】如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：． 【答案】(1)证明：如图1，过作于， ，， ， 即； (2)12； (3)证明：如图3， ∵是上任意一点， ∴， ∵是上任意一点， ，， ∴，即． 【分析】（1）过C作于H，依据三角形面积计算公式，即可得到结论； （2）连接，依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系； （3）依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到与面积之间的关系． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接， ∵， ， 又∵， ， ， 又的面积为1， 的面积为12； （3）略 5．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么等于多少度？ 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解：由翻折得到，， ，， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $