专题02定义与命题、证明同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦定义与命题、证明及三角形内角和定理等核心知识点，从明确名称意义的定义，到判断事情的命题及其条件结论，再到真假命题的判定、基本事实与定理的区分，最终落脚于证明流程及三角形内角和定理的应用，构建递进式学习支架。 该资料以知识清单梳理概念，14类题型覆盖判断、改写、证明等，通过举反例辨假命题、规范证明步骤等培养推理意识，结合三角形内角和定理证明实例提升数学语言表达能力，课中辅助教师系统教学，课后小练助力学生巩固查漏。

专题02定义与命题、证明同步培优讲义 ✺知识框架 1.定义：明确说明名称或术语意义的句子，以 "…… 叫做……""…… 是……" 为表述句式，具有准确无歧义、双向可逆、可判定对象三大特征。 2.命题：判断一件事情的句子，由条件（题设）与结论两部分组成，通常改写为 "如果…… 那么……" 的形式。 3.真假命题：真命题须依据定义、基本事实、定理推理证明；假命题只需举出一个反例即可判定。 4.基本事实（公理）：经长期实践公认、无需证明的命题，可作为推理依据。 5.定理：用推理的方法判断为正确的命题，可作为推理依据。 6.证明：从条件出发，依据定义、基本事实、定理逐步推得结论的推理过程，按 "画图 — 已知、求证 — 证明" 三步书写，步步有据。 7.核心结论：三角形内角和定理；推论 1：直角三角形两锐角互余；推论 2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 ✅定义说明名称或术语的含义；命题判断一件事情，由条件、结论组成，常写成 "如果…… 那么……" 的形式。命题有真有假：真命题往往需推理证明，假命题只需举反例。证明是从条件出发逐步推得结论的过程，每一步都要有依据；基本事实（公理）无需证明，定理需要证明。三角形内角和定理及其推论（两锐角互余、外角性质）是本章推理计算的重要工具。 ✺学习目标 1.理解定义的含义，能辨别一个语句是否为定义，能说出常见数学名词的定义。 2.理解命题的概念，能判断一个语句是否为命题；能找出命题的条件与结论，将其改写成 "如果…… 那么……" 的形式。 3.理解真命题、假命题的概念，掌握用举反例说明一个命题是假命题的方法。 4.理解基本事实（公理）与定理的含义，能区分二者，明确其作为推理依据的地位。 5.理解证明的含义，掌握几何证明的规范格式，能按 "画图 — 已知、求证 — 证明" 的流程完成简单证明，做到步步有据。 6.掌握三角形内角和定理及其推论（直角三角形两锐角互余、三角形外角性质），并能运用它们进行推理与计算。 ✺题型归纳 题型1.判断是否是命题 题型2.写出命题的题设与结论 题型3.判断命题真假 题型4.举例说明假（真）命题 题型5.举反例题型6.定理与证明 题型7.写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型8.已知证明过程填写理论依据 题型9.根据给出的论断组命题并证明 题型10.逻辑推理与论证 题型11.三角形内角和定理的证明 题型12.三角形的外角的定义及性质 题型13.以代数为背景的推理与论证 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、定义 定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子，叫做该名称或术语的定义。 三个特征： （1）准确性：表述明确、无歧义，一个术语有唯一的标准定义； （2）双向可逆性：定义与其反映的本质特征可互相推出，这是定义区别于一般命题的标志； （3）判断功能性：可依据定义判定某对象是否属于该概念。 常用句式："…… 叫做……""…… 是……"。 常见定义： （1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 （2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 （3）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 易错：性质、公理、定理（如 "两点之间线段最短"" 对顶角相等 "）均是对事物作出判断，不是定义。 知识点二、命题 命题：判断一件事情的句子叫做命题。 判断标准：命题必须是陈述句且作出判断（有对错），与判断的正误无关。 疑问句、祈使句（作图指令）、感叹句及无判断的短语均不是命题。 如 "过点 A 作 AB⊥L" 是指令，"你吃饭了吗" 是疑问，都不是命题。 知识点三、命题的结构与改写 结构：命题由条件（题设）和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 改写：命题通常写成 "如果…… 那么……" 的形式，"如果" 后面的部分是条件，"那么" 后面的部分是结论。 改写要点：不改变原意；补全省略的主语；条件有多个时须写全。 例："两直线平行，同位角相等" 改写为 "如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等"。 知识点四、真命题与假命题 正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题。 判定方法：判定真命题需依据定义、基本事实、定理进行推理证明；判定假命题只需举出一个反例。 注意：观察、测量、实验得到的结论不一定可靠，不能据此判定命题为真。 知识点五、反例 反例：具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例，叫做反例。 构造反例须同时满足两个要求：①符合命题的条件；②不符合命题的结论。 知识点六、基本事实（公理） 基本事实：经过人们长期实践，公认为正确的命题，不需要证明，是判断其他命题真假的依据，也称公理。 基本事实举例：两点确定一条直线；两点之间线段最短；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；同位角相等，两直线平行。 知识点七、定理 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 定理是真命题，可以作为推理证明的依据。 区别：基本事实无需证明，定理必须经过证明；二者同为真命题，均可作推理依据。 知识点八、证明 证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。 证明是严谨的演绎推理；观察、测量、实验只能帮助发现结论，不能作为判断真命题的依据。 步步有据：证明中每一步推理都必须有依据，依据只能是已知条件、定义、基本事实、定理（包括推论）。 知识点九、证明几何命题的一般步骤 1.按题意画出图形，并标注必要的字母与线段； 2.分清命题的条件和结论，结合图形，在 "已知" 中写出条件，在 "求证" 中写出结论； 3.在 "已知"" 求证 " 的基础上写出证明过程，每一步推理注明依据。 4.书写格式：用 "∵（因为）""∴（所以）" 表述；需添加辅助线时画虚线，并在证明中写明画法。 知识点十、三角形内角和定理及其推论 定理：三角形三个内角的和等于 180°。 证明思路：过三角形一个顶点作对边的平行线，利用 "两直线平行，内错角相等" 将三个内角拼成一个平角。 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 ✺题型精讲 题型1.判断是否是命题 1．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 【答案】B 【分析】命题的定义是：能对一件事情作出判断的语句叫做命题． 【详解】解：A、C、D选项都对事件作出了判断，都是命题； B选项只是描述作图操作，没有对事件作出判断，不是命题． 2．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） _____． 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 【详解】解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 3．下列句子是不是命题？为什么？ (1)连接A，B两点； (2)这本书是你的吗？ (3)邻补角不相等； (4)小亮今天是不是生病了？ 【答案】(1)不是，是作图语言，没有判断 (2)不是，是问句 (3)是，能作出判断 (4)不是，是问句 【分析】本题考查了命题的概念“命题是对某件事情做出是或不是的判断”，命题是陈述句，掌握以上知识点是解题的关键； 根据命题的知识，对每一问进行逐一辨别，即可求解； 【详解】（1）解：“连接A，B两点”是作图语言，没有判断，不是命题； （2）解：“这本书是你的吗？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题； （3）解：“邻补角不相等”是陈述语句，进行了判断，符合命题概念，是命题； （4）解：“小亮今天是不是生病了？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题； 题型2.写出命题的题设与结论 1．命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 【答案】A 【分析】根据命题用“如果……那么……”的形式叙述进行分析即可． 【详解】题目中的命题用“如果……那么……”的形式叙述为“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”，所以属于题设部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的题设和结论，解题的关键是先把命题改写成“如果……那么……”的形式，再分析题设和结论． 2．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 3．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】(1)条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． (2)条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． (3)条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【分析】本题主要考查命题，条件和结论的概念，熟练掌握其概念是做题的关键． （1）根据原命题改写为“如果一个数能被整除，那么这个数一定是偶数”，即可得出答案； （2）根据原命题改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，即可得出答案； （3）根据原命题改写为“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，即可得出答案． 【详解】（1）解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． （2）解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． （3）解：条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 题型3.判断命题真假 1．下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．两锐角之和一定是钝角 C．同角（或等角）的补角相等 D．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了真命题，正确理解几何基本概念及定理的条件和结论是判断命题真假的关键．根据平行线的条件、角的性质、补角及对顶角的定义，逐一判断每个选项是否为真命题即可． 【详解】解：A错误，因为同旁内角互补时两直线平行，而非相等； B错误，因为两锐角之和可能为锐角、直角或钝角； C正确，因为同角或等角的补角相等； D错误，因为两个角相等不一定是对顶角． 故选：C． 2．命题“如果，那么”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】运用有理数乘方的知识，通过举反例即可判断该命题的真假． 【详解】解：取，计算得，满足的条件， 但此时，不满足的结论， 因此原命题是假命题． 3．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题 (2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键． （1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假； （2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补． 题型4.举例说明假（真）命题 1．举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，反例需满足两个条件，即两个角都是锐角，且它们的和不是钝角，计算各选项后即可判断． 【详解】解：选项A：，和为钝角，不符合要求； 选项B：，，均为锐角，，和为锐角，不是钝角，满足反例要求； 选项C：，和为钝角，不符合要求； 选项D：是直角，不是锐角，不满足“两个锐角”的前提，不符合要求； 选B． 2．命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】判断命题真假，只需找到满足题设条件但不满足结论的反例即可推出结果． 【详解】解：取， 满足， ， 不满足， 存在反例说明原命题不成立，原命题是假命题． 3．判断命题“若，则的真假，并证明． 【答案】 解：假命题，证明如下： 取，此时，但， 所以命题的结论不成立． 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】略 题型5.举反例 1．对于命题“若，则”，下列能说明它是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此即可判断． 【详解】解：原命题条件为，结论为，反例需要满足条件，不满足结论， 当时，，满足条件， 又∵，不满足原命题结论， ∴是说明原命题为假命题的反例， 其余选项的均不满足，不符合反例要求． 2．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】判断一个命题为假命题可通过举反例求解，已知，只需找到满足且不满足的即可． 【详解】解：当，时，，，满足， 又，，可得，不满足， ，可说明原命题是假命题． 3．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题， 反例：当时，． 【分析】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型6.定理与证明 1．下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 3．如图，已知，点E在的延长线上．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴． 【详解】略． 题型7.写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 2．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 3．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】 命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：略． 题型8.已知证明过程填写理论依据 1．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 2．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 【答案】①， ②两直线平行，同位角相等， ③， ④， ⑤， ⑥两直线平行，内错角相等， ⑦等量代换． 【分析】先结合角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用平行线的判定和性质证明，最后等量代换得到答案． 【详解】略． 3．推理填空： 已知，如图，、是直线，，，． 求证:． 证明：∵（已知）， ∴ （                                      ）． ∵（已知）， ∴ （                     ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴ （             　　　　      ）， ∴（            　　　　　　　    ）． 【答案】证明：∵（已知）， ∴（ 两直线平行，同位角相等 ）． ∵（已知）， ∴（ 等量代换 ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴（ 等量代换 ）， ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【分析】首先结合已知条件和平行线的性质得出，然后利用平行线的判定得出． 【详解】略 题型9.根据给出的论断组命题并证明 1．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 2．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 3．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1) 命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； (2) 命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 题型10.逻辑推理与论证 1．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【答案】C 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 2．，，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 【答案】 【分析】根据已知条件，队单循环每队踢场，没输过、没赢过、胜，积分满足且各不相同，逐步推导各队胜负即可得到结论． 【详解】解：已知战胜了，且没赢过， 至少胜平，积分至少得分． 支球队中只有没输过，说明输过， 则可能是胜负、胜平负、胜平负、胜平负，对应积分为分、分、分、分． 至少得分，且， 至少为分， 可能是胜负、胜平负，对应积分为分、分． ，且没输过，则只可能是胜平、胜平，对应积分为分、分． ①若为胜平，此时的积分为分， ， 只能为胜负，此时的积分为分，即负，胜、、， 则负、负，而比得分多， 至少得5分，但此时最多胜平负，积分最多为分，与至少得5分相矛盾， 故该情况不符合题意，舍去． ②若为胜平，为胜负，此时的积分为分，的积分为分， 至少得分且， 一定得分，只能是胜平负，结合负分类讨论： 当胜平平时，与为胜负矛盾； 当胜平平时，与为胜平，为胜负均矛盾； 当胜平平时，结合为胜负，可得胜，与为胜平矛盾； 故该情况不符合题意，舍去． ③若为胜平，为胜平负，此时的积分为分，的积分为分， 、、的积分应分别是分、分、分， 结合积分且各不相同，推导各队赛果和积分： ：平，胜，胜，负，总积分分； ：平，胜，平，平，总积分分； ：胜，平，负，平，总积分分； ：胜，负，负，平，总积分分； ：平，平，平，负，总积分分； 该结果满足所有题干条件，只输给，因此战胜的只有队． 3．下面三组图形是由，，，四个图形（线段、箭头、三角形或圆）组合而成的，组合用“”表示，读懂它们的关系后，请画出和表示的两个组合图形． 【答案】 解：画图如下： 【分析】该题考查了推理，解决此类关键是通过找出它们的共同之处，从而求出各个字母分别表示什么．先观察三个图形，根据它们的共同之处分别求出A、B、C、D分别表示什么，再求和表示什么，画出图形即可． 【详解】解：根据题干分析A是表示横线，B是表示圆，是表示箭头，D是表示三角形 题型11.三角形内角和定理的证明 1．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 2．如图，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 3．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型12.三角形的外角的定义及性质 1．如图，在中，延长至点D，若，，则的度数为（     ） A．91° B．101° C．136° D．126° 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接求解即可． 【详解】解：是的一个外角， ． 2．如图，直线、、、互不平行，以下结论正确的是_______．（只填序号）  ①； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【详解】解：①，说法正确；  ②，说法正确；  ③∵，， ∴，说法正确； ④∵，， ∴， ∴， ∴的说法错误． 3．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3） 略 题型13.以代数为背景的推理与论证 1．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 2．综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作，已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下： 工序 时间（分钟）模型 打磨 组装 A模型 8 4 B模型 5 10 在不考虑其他因素的前提下， （1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要__________分钟； （2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要__________分钟． 【答案】 19 【分析】此题主要考查了推理与论证，也考查学生的分析问题和解决问题的能力，分类讨论的思想，是一道比较简单的题目． （1）由表格信息可得由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作的时间； （2）分两种情况，①当前一名同学先打磨模型B．②当前一名同学先打磨模型A．再比较大小即可． 【详解】解：（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要分钟 （2）前一名同学先打磨模型B，需要5分钟，然后后一名同学组装模型B需要10分钟，同时前一名同学打磨模型A完成，之后后一名组同学组装模型A需要4分钟，则共用时间为分钟， 前一名同学先打磨模型A，需要8分钟，然后后一名同学组装模型A需要4分钟，同时前一名同学打磨模型B完成，之后后一名组同学组装模型B需要10分钟，则共用时间为分钟， ∵，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为19分钟． 3．在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … A队 16 13 B队 16 13 C队 16 13 D队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，A队胜C队，C队胜D队，则哪两队会被降级？为什么？ 【答案】(1)①甲队胜13场，平3场； ②解：此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，理由如下： 设此时乙队胜场、平场、负场． 根据题意，得， ①②，得，即， 若，则，即， ， ，即， ， 为非负整数， ． 将代入①、②可得； 此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，即乙队胜13场、平1场、负13场． (2)解：B、D两队被降级，理由如下： 根据最后3场比赛A队得5分可知，A队的比赛结果是1胜，2平； 根据最后3场比赛B队一场未负得3分可知，B队的比赛结果是3平； ∵A队胜C队， ∴A队平B队，A队平D队， ∵C队胜D队，C队平B队，C队负A队， ∴C队得4分， ∵D队平B队，D队平A队，D队负C队， ∴D队得2分， ∵A队得分C队得分队得分D队得分， ∴B、D两队被降级． 【分析】（1）①根据积分问题列出二元一次方程组，求解即可；②根据积分问题列出三元一次方程组，求解即可； （2）根据积分问题进行推理即可； 【详解】（1）解：①设此时甲队胜场，平场， 根据题意，得， 解得， 答：此时甲队胜13场，平3场； ②略 （2）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．下列不属于命题的是（     ） A．垂线段最短 B．过点C作直线的垂线 C．取任何数时的值都是正数 D．如果，那么 【答案】B 【分析】命题是可以判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A. 垂线段最短，是可以判断真假的陈述句，是命题，故A不符合题意； B. 过点作直线的垂线，是作图指令，不是陈述句，无法判断真假，不属于命题，故B符合题意； C. 取任何数时的值都是正数，是可以判断真假的陈述句，是命题，故C不符合题意； D. 如果，，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，故D不符合题意． 2．下列命题是真命题的个数为（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③互补的两个角一定不相等；④垂线是直线；⑤平角是一条直线 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故说法错误，是假命题； ②对顶角相等，故说法正确，是真命题； ③互补的两个角可以都为，则可以相等，故说法错误，是假命题； ④垂线是直线，故说法正确，是真命题； ⑤角是由公共端点的两条射线组成的图形，则平角不是一条直线，故说法错误，是假命题； 则是真命题的有2个． 3．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 4．如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 故⑤正确， ∵在中，， 又∵，， ∴， 故⑥正确， ∵在中，无法确定， 又∵， ∴无法确定， ∴无法确定平分，故③错误， ∵在中，无法确定，且， ∴无法确定，故④错误； 故选：B． 二、填空题 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 6．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组即可． 【详解】解：取，， 计算得，． ，即满足条件， 而，即不满足结论， 这组数可以说明原命题是假命题． 7．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 【答案】/68度 【分析】延长交于M， 设，则，根据三角形外角的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于M， ∵平分，平分， ∴， 可设，则， ∵， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 【答案】0148 【分析】先根据A的猜测结果排除错误数字，再结合C的评判确定密码包含的三个数字，接着结合B的评判排除剩余错误数字得到密码的全部四个数字，最后根据各猜测的位置要求推理得到正确位置，得到密码. 【详解】第一步，确定排除的数字： 因为A猜测，所有号码都错误，因此密码中不含； 第二步，确定密码中的三个数字： C猜测，三个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此密码包含； 第三步，确定密码的第四个数字： B猜测，两个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此正确号码只能在中选两个，已知密码已经包含，因此正确号码为，因此密码不含； D猜测，两个号码正确，位置都正确，已知已排除，已经在密码中，因此另一个正确号码为，即密码含； 因此密码的四个数字为； 第四步，推理各数字位置： D中正确号码为和，位置都正确，D中在第三位，在第四位，因此密码第三位为，第四位为，剩余第一位和第二位分配和； B中正确号码为和，位置都错误，B中在第二位，因此不能在第二位，故在第一位，剩余在第二位； 因此密码为. 三、解答题 9．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 【答案】(1)命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等． (2) 命题是假命题， 反例：如图， 与是同位角，但是． 【分析】本题主要考查命题，反例，掌握命题是有题设和结论组成，有真命题，假命题之分，反例的含义是解题的关键． （1）“如果”后面的部分为题设，“那么”后面的部分为结论； （2）反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，由此即可求解 【详解】（1）解：命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等； （2）略 10．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】(1)证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． (2)证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，． (1)判断是否平分，并说明理由； (2)如图2，的平分线交于点，，求的度数． 【答案】(1)解：平分，理由如下： ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴平分 (2) 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得，，结合为的平分线，，进而证得平分； （2）由平分，平分，可证得，利用三角形内角和定理即可解得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，平分，即， ∵平分，即， 又∵， ∴， 在中，， ∴． 12．如图，有如下三个论断：①，②，③． (1)从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题，并用“如果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要求说明理由） (2)请你在上述真命题中选择一个进行证明． 已知：______； 求证：______； 证明： 【答案】(1)如果，，那么； 如果，，那么； 如果，，那么； (2)①已知：，，求证：； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②已知：，，求证：； 证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴； ③已知：，，求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴． 【分析】（1）由平行线的性质和判定可得，任意两个作为题设，余下一个作为结论，都是真命题； （2）①由可得，再由，可得即可证明；②由可得，再由可得即可证明；③由，，可得，，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02定义与命题、证明同步培优讲义 ✺知识框架 1.定义：明确说明名称或术语意义的句子，以 "…… 叫做……""…… 是……" 为表述句式，具有准确无歧义、双向可逆、可判定对象三大特征。 2.命题：判断一件事情的句子，由条件（题设）与结论两部分组成，通常改写为 "如果…… 那么……" 的形式。 3.真假命题：真命题须依据定义、基本事实、定理推理证明；假命题只需举出一个反例即可判定。 4.基本事实（公理）：经长期实践公认、无需证明的命题，可作为推理依据。 5.定理：用推理的方法判断为正确的命题，可作为推理依据。 6.证明：从条件出发，依据定义、基本事实、定理逐步推得结论的推理过程，按 "画图 — 已知、求证 — 证明" 三步书写，步步有据。 7.核心结论：三角形内角和定理；推论 1：直角三角形两锐角互余；推论 2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 ✅定义说明名称或术语的含义；命题判断一件事情，由条件、结论组成，常写成 "如果…… 那么……" 的形式。命题有真有假：真命题往往需推理证明，假命题只需举反例。证明是从条件出发逐步推得结论的过程，每一步都要有依据；基本事实（公理）无需证明，定理需要证明。三角形内角和定理及其推论（两锐角互余、外角性质）是本章推理计算的重要工具。 ✺学习目标 1.理解定义的含义，能辨别一个语句是否为定义，能说出常见数学名词的定义。 2.理解命题的概念，能判断一个语句是否为命题；能找出命题的条件与结论，将其改写成 "如果…… 那么……" 的形式。 3.理解真命题、假命题的概念，掌握用举反例说明一个命题是假命题的方法。 4.理解基本事实（公理）与定理的含义，能区分二者，明确其作为推理依据的地位。 5.理解证明的含义，掌握几何证明的规范格式，能按 "画图 — 已知、求证 — 证明" 的流程完成简单证明，做到步步有据。 6.掌握三角形内角和定理及其推论（直角三角形两锐角互余、三角形外角性质），并能运用它们进行推理与计算。 ✺题型归纳 题型1.判断是否是命题 题型2.写出命题的题设与结论 题型3.判断命题真假 题型4.举例说明假（真）命题 题型5.举反例题型6.定理与证明 题型7.写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型8.已知证明过程填写理论依据 题型9.根据给出的论断组命题并证明 题型10.逻辑推理与论证 题型11.三角形内角和定理的证明 题型12.三角形的外角的定义及性质 题型13.以代数为背景的推理与论证 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、定义 定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子，叫做该名称或术语的定义。 三个特征： （1）准确性：表述明确、无歧义，一个术语有唯一的标准定义； （2）双向可逆性：定义与其反映的本质特征可互相推出，这是定义区别于一般命题的标志； （3）判断功能性：可依据定义判定某对象是否属于该概念。 常用句式："…… 叫做……""…… 是……"。 常见定义： （1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 （2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 （3）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 易错：性质、公理、定理（如 "两点之间线段最短"" 对顶角相等 "）均是对事物作出判断，不是定义。 知识点二、命题 命题：判断一件事情的句子叫做命题。 判断标准：命题必须是陈述句且作出判断（有对错），与判断的正误无关。 疑问句、祈使句（作图指令）、感叹句及无判断的短语均不是命题。 如 "过点 A 作 AB⊥L" 是指令，"你吃饭了吗" 是疑问，都不是命题。 知识点三、命题的结构与改写 结构：命题由条件（题设）和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 改写：命题通常写成 "如果…… 那么……" 的形式，"如果" 后面的部分是条件，"那么" 后面的部分是结论。 改写要点：不改变原意；补全省略的主语；条件有多个时须写全。 例："两直线平行，同位角相等" 改写为 "如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等"。 知识点四、真命题与假命题 正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题。 判定方法：判定真命题需依据定义、基本事实、定理进行推理证明；判定假命题只需举出一个反例。 注意：观察、测量、实验得到的结论不一定可靠，不能据此判定命题为真。 知识点五、反例 反例：具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例，叫做反例。 构造反例须同时满足两个要求：①符合命题的条件；②不符合命题的结论。 知识点六、基本事实（公理） 基本事实：经过人们长期实践，公认为正确的命题，不需要证明，是判断其他命题真假的依据，也称公理。 基本事实举例：两点确定一条直线；两点之间线段最短；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；同位角相等，两直线平行。 知识点七、定理 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 定理是真命题，可以作为推理证明的依据。 区别：基本事实无需证明，定理必须经过证明；二者同为真命题，均可作推理依据。 知识点八、证明 证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。 证明是严谨的演绎推理；观察、测量、实验只能帮助发现结论，不能作为判断真命题的依据。 步步有据：证明中每一步推理都必须有依据，依据只能是已知条件、定义、基本事实、定理（包括推论）。 知识点九、证明几何命题的一般步骤 1.按题意画出图形，并标注必要的字母与线段； 2.分清命题的条件和结论，结合图形，在 "已知" 中写出条件，在 "求证" 中写出结论； 3.在 "已知"" 求证 " 的基础上写出证明过程，每一步推理注明依据。 4.书写格式：用 "∵（因为）""∴（所以）" 表述；需添加辅助线时画虚线，并在证明中写明画法。 知识点十、三角形内角和定理及其推论 定理：三角形三个内角的和等于 180°。 证明思路：过三角形一个顶点作对边的平行线，利用 "两直线平行，内错角相等" 将三个内角拼成一个平角。 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 ✺题型精讲 题型1.判断是否是命题 1．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 2．给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） _____． 3．下列句子是不是命题？为什么？ (1)连接A，B两点； (2)这本书是你的吗？ (3)邻补角不相等； (4)小亮今天是不是生病了？ 题型2.写出命题的题设与结论 1．命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 2．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 3．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 题型3.判断命题真假 1．下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．两锐角之和一定是钝角 C．同角（或等角）的补角相等 D．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 2．命题“如果，那么”是________命题．（填“真”或“假”） 3．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 题型4.举例说明假（真）命题 1．举反例证明“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 3．判断命题“若，则的真假，并证明． 题型5.举反例 1．对于命题“若，则”，下列能说明它是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 2．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________． 3．指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 题型6.定理与证明 1．下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 2．下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 3．如图，已知，点E在的延长线上．求证：． 题型7.写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 2．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 3．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 题型8.已知证明过程填写理论依据 1．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 3．推理填空： 已知，如图，、是直线，，，． 求证:． 证明：∵（已知）， ∴ （                                      ）． ∵（已知）， ∴ （                     ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴ （             　　　　      ）， ∴（            　　　　　　　    ）． 题型9.根据给出的论断组命题并证明 1．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 2．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 3．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 题型10.逻辑推理与论证 1．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 2．，，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 3．下面三组图形是由，，，四个图形（线段、箭头、三角形或圆）组合而成的，组合用“”表示，读懂它们的关系后，请画出和表示的两个组合图形． 题型11.三角形内角和定理的证明 1．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A．B． C． D． 2．如图，，，，则________． 3．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 题型12.三角形的外角的定义及性质 1．如图，在中，延长至点D，若，，则的度数为（     ） A．91° B．101° C．136° D．126° 2．如图，直线、、、互不平行，以下结论正确的是_______．（只填序号）  ①； ②； ③； ④． 3．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 题型13.以代数为背景的推理与论证 1．为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 2．综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作，已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下： 工序 时间（分钟）模型 打磨 组装 A模型 8 4 B模型 5 10 在不考虑其他因素的前提下， （1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要__________分钟； （2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要__________分钟． 3．在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … A队 16 13 B队 16 13 C队 16 13 D队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，A队胜C队，C队胜D队，则哪两队会被降级？为什么？ ✺课堂小练 一、单选题 1．下列不属于命题的是（     ） A．垂线段最短 B．过点C作直线的垂线 C．取任何数时的值都是正数 D．如果，那么 2．下列命题是真命题的个数为（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③互补的两个角一定不相等；④垂线是直线；⑤平角是一条直线 A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 二、填空题 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 6．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 7．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 8．由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 三、解答题 9．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 10．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 11．如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，． (1)判断是否平分，并说明理由； (2)如图2，的平分线交于点，，求的度数． 12．如图，有如下三个论断：①，②，③． (1)从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题，并用“如果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要求说明理由） (2)请你在上述真命题中选择一个进行证明． 已知：______； 求证：______； 证明： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $