1.4 线段垂直平分线与角平分线的性质（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“线段垂直平分线与角平分线的性质”核心知识点，系统梳理从定义（垂直平分双重特征、角平分线几何特征）到性质定理及逆定理的探索证明，再到尺规作图（作垂直平分线、角平分线）的完整学习支架，衔接三角形及全等知识，为几何综合应用奠基。 该资料亮点在于以“探究-应用-拓展”为主线，通过“随学随练”“活学活用”引导学生用数学眼光分析物流选址等现实问题，用数学思维区分定理与逆定理逻辑关系，规范几何语言表达。课中易错提醒助力教师突破难点，课后分层题型帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第一章 三角形 1.4 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质 课标要点 1.理解线段垂直平分线与角平分线的定义，明确线段垂直平分线兼具垂直、平分线段的双重特征，掌握角平分线的基本几何特征，能准确识别线段的垂直平分线、区分角平分线与其他角分线，掌握过线段中点作垂线的基本作图思路。 2.经历线段垂直平分线性质定理、角平分线性质定理的探索、猜想与证明过程。 3.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，理解定理与逆定理的互推关系，明晰二者的逻辑区别与联系。 4.掌握尺规作图作已知线段的垂直平分线的方法与尺规作已知角的平分线的作图方法，规范作图步骤，保留作图痕迹，理解作图原理，能独立完成标准尺规作图。 5.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理、角平分线的性质定理，进行线段相等证明、角度计算、线段长度求解，结合三角形、全等三角形知识解决简单几何综合问题。 学习重难点 重点： 1.掌握线段垂直平分线的性质定理与逆定理、角平分线的性质定理，熟记定理内容，能熟练用几何语言规范表述定理。 2.熟练掌握尺规作线段垂直平分线、已知角平分线的作图方法、步骤及作图原理，规范完成作图并保留痕迹。 3.能直接运用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，证明线段相等、求解线段长度，解决基础几何计算与证明题。 难点： 1.区分线段垂直平分线性质定理与逆定理的适用场景，区分角平分线性质定理的使用条件。 2.理解尺规作线段垂直平分线与作已知角平分线的几何原理，结合全等三角形知识解释作图依据，不机械记忆作图步骤。 3.在复杂几何图形中，挖掘线段垂直平分线、角平分线的隐含条件，结合三角形全等、边角关系完成多步综合推理证明。 4.灵活运用垂直平分线性质、角平分线性质解决动点、最值类几何题型，结合几何模型转化线段关系，突破解题思维难点。 知识点 线段垂直平分线的概念与性质（重点） 1.线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2.线段垂直平分线的定义两大核心条件（缺一不可）：①过线段的中点（平分线段）；②与线段互相垂直（夹角为90°）。 3.基础几何特征：一条线段有且只有一条垂直平分线；线段的垂直平分线是一条直线，不是射线或线段，向两端无限延伸。 4.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 5.线段垂直平分线的性质定理符号语言： ∵若直线是线段AB的垂直平分线，点P在直线上 ∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 6.线段垂直平分线的性质定理的证明： 已知：直线于点O，且OA=OB，C是直线上的任意一点。 求证：CA=CB 证明过程: ∵ 直线 ∴ ∠COA=∠COB=90°（垂直的定义） 在△COA和△COB中 ∵ ∴ △COA≌△COB（SAS） ∴ CA=CB（全等三角形对应边相等） 7.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 易错提醒 1）使用“垂直平分线上的点到两端点距离相等”的前提：点必须在垂直平分线上。若点不在中垂线上，绝对不能使用该性质，不可主观臆断线段相等； 2）PA=PB只能证明点P在AB的垂直平分线上，不能直接证明“直线OP是AB的垂直平分线”，需要两个点才能确定一条直线，需取两个满足条件的点，方可判定直线为垂直平分线。 随学随练 1．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等． 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、B距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到B、C距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、C距离相等， 三条边垂直平分线的交点，同时在的垂直平分线上，因此这个点到A、B、C三点距离全部相等． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 【答案】6 【分析】根据垂直平分线性质可知，根据等腰三角形性质，得出的周长等于． 【详解】解：∵的中垂线交于点F， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴的周长， ∵， ∴的周长． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点 角平分线的性质（重点） 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.符号语言： ∵ OC 平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等） 特别提醒 题目出现角平分线，优先辅助线：过平分线上的点向角两边作垂线，直接使用性质定理快速得等线段，是几何证明最简思路。 教材延伸 三角形一条内角平分线与另外两条外角平分线交于旁心，一个三角形共有 3 个旁心；旁心到三角形一边及另外两边延长线距离相等。 随学随练 1．（25-26八年级下·福建宁德·期末）在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，平分，若，，则_________． 【答案】2 【分析】过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理． 由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 知识点 尺规作图 1.已知直线BC，点A是直线BC上一点，作直线BC的垂线： 步骤一：以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC于点M和点N； 步骤二：分别以M和N为圆心，大于长度为半径画弧，两弧分别相交于点P和点Q； 步骤三：作直线PQ，直线PQ即为所求。（如图1） 2.已知直线BC，点A是直线BC外一点，作直线BC的垂线： 步骤一：以点A为圆心，大于点A到直线BC的距离为半径作弧，分别交BC于点M和点N； 步骤二：分别以M和N为圆心，大于长度为半径画弧，两弧分别相交于点P和点Q； 步骤三：作直线PQ，直线PQ即为所求。（如图2） 3.已知线段AB，作线段AB的垂直平分线： 步骤一：分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D； 步骤二：作直线CD，则CD即为所求。（如图3） 图1 图2 图3 4.已知∠BAC，作其平分线AD： 步骤一：以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点； 步骤二：分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D； 步骤三：作射线AD，射线AD即为所求。 特别提醒 作已知线段的垂直平分线的核心原理：利用垂直平分线的性质定理的逆定理，通过画弧找两组等距点，确定垂直平分线，是考试基础作图必考题型。 随学随练 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，直线即为所求． 【分析】分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可． 【详解】略 2．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线，的角平分线，两线交点即为所求. 【详解】解：如图，作的垂直平分线，的角平分线，两线交点即为所求. 拓展 垂直平分线性质定理 VS 逆定理 对比维度 性质定理 逆定理 推理方向 由「位置」推「边长」 由「边长」推「位置」 核心条件 点在中垂线上 点到线段两端距离相等 推导结论 点到线段两端距离相等 点在这条线段的中垂线上 用途 快速证线段相等，简化证明 判定点的位置、证明垂直平分线 逻辑关系 原定理，正向推理 逆定理，反向推理，二者互逆 活学活用 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（     ）    A．12 B．19 C．16 D．14 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据的周长求出，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 先根据“斜边直角边” ，可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出答案． 【详解】证明：∵是的高（已知） ∴（高的定义） 在和中， ， ∴ ， （全等三角形的对应边相等）． 又， ∴是的垂直平分线， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 拓展 尺规作图作垂线与垂直平分线归纳对比 作图项目 核心步骤概括 核心原理 易错扣分点 适用场景 过直线上一点作垂线 定点截弧得两点→两端画弧交汇→连线得垂线 SSS全等、垂直定义 半径过小无交点、擦除作图痕迹 直线上定点作直角、垂直证明 过直线外一点作垂线 外点截弧交直线→双侧画弧交汇→连线垂直 中垂线性质、全等推理 误将垂线画成线段、未双向延长 求点到直线距离、几何高作图 作线段垂直平分线 两端点画弧→上下交点连线→得中垂线 垂直平分线判定定理 只画单侧弧、连线未双向延长 平分线段、证边长相等、找外心 活学活用 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 【答案】C 【分析】利用基本作图（作线段垂直平分线）进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴，， 即直线垂直平分线段． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作图步骤）； (1)作边上的中线； (2)作边上的高． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【详解】（1）解：如图即为边上的中线； （2）解：如图即为边上的高． 题型 利用线段垂直平分线的性质求解 解题贴士 利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等，进行线段等量代换，常结合周长、线段和差计算。 ▌例1.（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，则． 【详解】解：∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：B． ▌例2.（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，已知是的垂直平分线，，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质，可知，进而可知，即可求出的周长． 【详解】解∶∵是的垂直平分线， ∴ ∴的周长为， ，， ∴的周长为． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据是的垂直平分线，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长为． 故选：D． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则_____． 【答案】 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线得出，进而利用三角形的周长解答即可． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∵的周长为， 即． 故答案为：． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为10，则的周长为______． 【答案】16 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长为，再求解的周长即可 ．本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长为． 故答案为：16． ▌对点练1-4．如图，已知比小，的垂直平分线交于点E，交于点F，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵比小，即， ∴， ∴， ∴． 题型 线段垂直平分线性质的实际应用 解题贴士 将地点、道路抽象为点、直线；作两点连线的垂直平分线，与目标直线交点即为到两点等距的选址。 ▌例1.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． ▌对点练1-1.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． ▌对点练1-2.如图，在足球场内，，，表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据足球到三个运动员的距离相等，即点到线段的两端点距离相等，得到足球所在的位置是三条边的中垂线的交点，即可解答． 【详解】解：由题意得：足球所在的位置是三条边的中垂线的交点， 即：应放在两边垂直平分线的交点处． 题型 尺规作图——作垂线 解题贴士 分点在直线上、直线外两种情况，利用圆弧得到对称两点，再作垂直直线。 ▌例1.如图，在中，在BC上作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图中过一点作已知直线的垂线，解决问题的关键是熟练掌握作图步骤. 根据作图步骤操作，注意保留作图痕迹. 【详解】解：如图，点即为所求． ▌对点练1-1.如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)． 以P为圆心大到P到的距离为半径作圆弧，交于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线，，以此求解． 【详解】解：如图，，直线即为所求作． ▌对点练1-2.如图，在中，利用尺规作出边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—三角形的高，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．过点作交延长线于即可． 【详解】解：作边上的高如图． 题型 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 解题贴士 分别以线段两端点为圆心，大于线段长画弧，两侧得交点，过两点作直线。 ▌例1.尺规作图：作线段的中垂线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图，应用与设计作图，要熟悉垂直平分线的作法．分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、，作直线即为的中垂线； 【详解】解：如图所示： 直线即为所求． ▌对点练1-1.如图，在中，． (1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）作出线段的垂直平分线交于点E，则点E即为所求； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长公式进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为所求； （2）垂直平分， ， 的周长． ▌对点练1-2.如图，已知，请用尺规作图法，在外求作一点D，使点D到的三个顶点距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．利用尺规分别作、的垂直平分线交于点，连接，，，根据垂直平分线的性质可得，则点D即为所求． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，连接，，， ∵、的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， 即点D到的三个顶点距离都相等， ∴点D即为所求． ▌对点练1-3.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点是边上一点，连接，请用尺规作图法作直线，使得直线是线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图所示，直线即为所求． 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作图方法作图即可，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 【详解】略 题型 利用角平分线的性质求长度 解题贴士 角平分线上的点向角两边作垂线，垂线段相等，借此转化线段，结合方程求值。 ▌例1.如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． ▌例2.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，求得，从而得到P到的距离． 【详解】解：在的平分线上，于点，于点， ， ， ， 点到射线的距离是线段的长，是1． ▌对点练1-1.如图，平分，于点，若，则到的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质，可得，由此求解即可． 【详解】解：∵到的距离即为，且， 又∵平分， 且，， ∴， ∴到的距离为2． ▌对点练1-2.把两个同样大小的含角的直角三角尺按如图所示方式放置，其中是与的交点，若，则点到的距离为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 根据题意可得，推出平分，过点作，得即可解答． 【详解】解：由题意，得：， ， ， 平分， 过点作，交于点， ， 则点到的距离为4， 故答案为：4． ▌对点练1-3.如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积． 过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ， ，， ， ， ． 故答案为：3． ▌对点练1-4.如图，中，，平分，于E，，．求的长． 【答案】 【分析】根据，即可求出的长，再根据角平分线的性质定理即可解答． 本题主要考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，； ∵平分，，， ∴． 题型 利用角平分线的性质求面积 解题贴士 角平分线上点向两边作垂线段等长，作为三角形等高，借助面积公式转化计算。 ▌例1.（25-26八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，，再根据三角形面积计算公式可求出的面积． 【详解】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵，，， ∴． ▌例2.如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 【答案】33 【分析】过点作于点，作于点，连接，先得出，，再得出，然后根据的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，，， ∴，， ∵的周长是22， ∴， ∴的面积等于 ． ▌对点练1-1.（25-26八年级下·广西来宾·期中）如图，是的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， ， ∵是的角平分线， ∴， ∵，，且，， ∴． ▌对点练1-2.（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】过作于点，通过角平分线的性质可得，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积是． ▌对点练1-3.如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 【答案】15 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解． 【详解】解：过点作于，如图所示： 平分交于，， ， ， ． 题型 角平分线性质的实际应用 解题贴士 道路边界抽象成角两边，满足到两边距离相等的点在角平分线上，结合限制条件确定位置。 ▌例1.如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． ▌对点练1-1.如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由： 两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． ▌对点练1-2.（25-26八年级上·上海·期中）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． ▌对点练1-3.一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 题型 尺规作图——作已知角的平分线 解题贴士 顶点为圆心画弧交两边，再以两个交点为圆心、大于两点间距一半长画弧，内部交点与顶点连射线。 ▌例1.（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【详解】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3； ▌例2.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A在的边上，请用尺规作图法在内部求作点P，连接，使点P到和的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】以点O为圆心，适当长为半径画弧，交，于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离一半为半径画弧，然后再以点O为圆心，长为半径画弧，交角平分线于点P，进而问题可求解． 【详解】略 ▌对点练1-1.（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，已知．以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连接并延长交于点D，则_________． 【答案】/123度 【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理； 先利用三角形内角和定理求出，再根据作图知平分，求出，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知平分， ∴， ∴， 故答案为：． ▌对点练1-2.（2025·陕西·模拟预测）如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与、交于点、，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于一点，连接点与两弧的交点并延长，即为所求射线． 【详解】解：∵是的外角， ， ， ， 是的平分线． 如图，作的平分线，射线即为所求． ▌对点练1-3.（25-26八年级·江苏·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)3 【分析】（1）利用尺规作图的基本方法，作的角平分线． （2） 利用角平分线的性质，得点到的距离等于，再通过面积法列方程求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）解：过点作于点， 平分，，， ， 设， ， ， 即， ， 解得， 点到的距离为． 基础通关 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可知，可得，即可求得答案． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由题意可得，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长为，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·全国·期中）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 6．如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵平分 ，， ∴， ∵ ∴． 7．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 【答案】 【分析】作于点，于点，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， 由作图可得平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为， ∴的面积为． 8．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使得点到、两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，点为所求点： 【分析】作线段的垂直平分线交于即可． 【详解】略 9．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 【答案】 【分析】作的垂直平分线，再过点作的垂线，两线交点即为点． 【详解】略 10．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D即为所求． 【分析】作的平分线，则． 【详解】略 11．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ∵是的平分线，点P在上，， ， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先根据角平分线的性质证，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 12．如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 素养提升 1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 2．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C．10 D．15 【答案】D 【分析】因为是的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点到、的距离相等，即和的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底和的长度比，结合已知与的比例，可得到和的面积比；因为的面积是和的面积之和，所以结合总面积和两个三角形的面积比，可求出的面积． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 又∵的总面积， ∴， ∴， 解得． 3．（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）如图，是边的垂直平分线，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②③ 【分析】根据尺规作图判断出平分，，即可作答． 【详解】解：根据尺规作图：平分，， ∴②正确； ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法确定是否平分， ∴无法确定， 即无法确定①， 故正确的有：②③． 5．（25-26七年级下·江西抚州·期末）完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O为三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，，， ∴； （2）解：作，，垂足分别为和， ∵是的角平分线，     ∴． 设， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； （3）解：作，，垂足分别为和，连接， ∵、分别平分和，， ∴，． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是13，即， ∴． 6．（2026·河南周口·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如图所示的，其中． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；连接并延长到，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作图和线段的作图进行解答即可； （2）根据等腰三角形三线合一得到．利用证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：．点为的中点． ． 在与中， ． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明是线段的垂直平分线，从而可得，再根据等边对等角得出，结合可求得，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质得出，进而求得； （2）先根据的周长为20，得到，结合，可得，再根据，，可得，进而得到，从而可求得． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 迁移创新 1．尺规作图的历史背景可追溯至古希腊数学，其核心规则由伊诺皮迪斯在公元前5世纪首次明确提出，后经欧几里得在《几何原本》中系统化，成为古希腊几何学的金科玉律． 如图，在中，点为边上一点，连接． (1)请用尺规作图法作的垂直平分线，使得直线交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，则的度数为________°． 【答案】(1)见详解 (2)75 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，正确掌握相关相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的垂直平分线，即可作答． （2）垂直平分线的性质，可得直角，则即可作答． 【详解】（1）解：作的垂直平分线，如图所示： （2）解：∵，． ∴． 故答案为：75 2．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【分析】（1）先作出线段线段，然后在点，处分别作出，即可； （2）作的角平分线与的交点即为点，根据三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：图略； ，， ， 是的角平分线， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 1.4 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质 课标要点 1.理解线段垂直平分线与角平分线的定义，明确线段垂直平分线兼具垂直、平分线段的双重特征，掌握角平分线的基本几何特征，能准确识别线段的垂直平分线、区分角平分线与其他角分线，掌握过线段中点作垂线的基本作图思路。 2.经历线段垂直平分线性质定理、角平分线性质定理的探索、猜想与证明过程。 3.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，理解定理与逆定理的互推关系，明晰二者的逻辑区别与联系。 4.掌握尺规作图作已知线段的垂直平分线的方法与尺规作已知角的平分线的作图方法，规范作图步骤，保留作图痕迹，理解作图原理，能独立完成标准尺规作图。 5.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理、角平分线的性质定理，进行线段相等证明、角度计算、线段长度求解，结合三角形、全等三角形知识解决简单几何综合问题。 学习重难点 重点： 1.掌握线段垂直平分线的性质定理与逆定理、角平分线的性质定理，熟记定理内容，能熟练用几何语言规范表述定理。 2.熟练掌握尺规作线段垂直平分线、已知角平分线的作图方法、步骤及作图原理，规范完成作图并保留痕迹。 3.能直接运用线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，证明线段相等、求解线段长度，解决基础几何计算与证明题。 难点： 1.区分线段垂直平分线性质定理与逆定理的适用场景，区分角平分线性质定理的使用条件。 2.理解尺规作线段垂直平分线与作已知角平分线的几何原理，结合全等三角形知识解释作图依据，不机械记忆作图步骤。 3.在复杂几何图形中，挖掘线段垂直平分线、角平分线的隐含条件，结合三角形全等、边角关系完成多步综合推理证明。 4.灵活运用垂直平分线性质、角平分线性质解决动点、最值类几何题型，结合几何模型转化线段关系，突破解题思维难点。 知识点 线段垂直平分线的概念与性质（重点） 1.线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2.线段垂直平分线的定义两大核心条件（缺一不可）：①过线段的中点（平分线段）；②与线段互相垂直（夹角为90°）。 3.基础几何特征：一条线段有且只有一条垂直平分线；线段的垂直平分线是一条直线，不是射线或线段，向两端无限延伸。 4.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 5.线段垂直平分线的性质定理符号语言： ∵若直线是线段AB的垂直平分线，点P在直线上 ∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 6.线段垂直平分线的性质定理的证明： 已知：直线于点O，且OA=OB，C是直线上的任意一点。 求证：CA=CB 证明过程: ∵ 直线 ∴ ∠COA=∠COB=90°（垂直的定义） 在△COA和△COB中 ∵ ∴ △COA≌△COB（SAS） ∴ CA=CB（全等三角形对应边相等） 7.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 易错提醒 1）使用“垂直平分线上的点到两端点距离相等”的前提：点必须在垂直平分线上。若点不在中垂线上，绝对不能使用该性质，不可主观臆断线段相等； 2）PA=PB只能证明点P在AB的垂直平分线上，不能直接证明“直线OP是AB的垂直平分线”，需要两个点才能确定一条直线，需取两个满足条件的点，方可判定直线为垂直平分线。 随学随练 1．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 知识点 角平分线的性质（重点） 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.符号语言： ∵ OC 平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等） 特别提醒 题目出现角平分线，优先辅助线：过平分线上的点向角两边作垂线，直接使用性质定理快速得等线段，是几何证明最简思路。 教材延伸 三角形一条内角平分线与另外两条外角平分线交于旁心，一个三角形共有 3 个旁心；旁心到三角形一边及另外两边延长线距离相等。 随学随练 1．（25-26八年级下·福建宁德·期末）在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，平分，若，，则_________． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 知识点 尺规作图 1.已知直线BC，点A是直线BC上一点，作直线BC的垂线： 步骤一：以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC于点M和点N； 步骤二：分别以M和N为圆心，大于长度为半径画弧，两弧分别相交于点P和点Q； 步骤三：作直线PQ，直线PQ即为所求。（如图1） 2.已知直线BC，点A是直线BC外一点，作直线BC的垂线： 步骤一：以点A为圆心，大于点A到直线BC的距离为半径作弧，分别交BC于点M和点N； 步骤二：分别以M和N为圆心，大于长度为半径画弧，两弧分别相交于点P和点Q； 步骤三：作直线PQ，直线PQ即为所求。（如图2） 3.已知线段AB，作线段AB的垂直平分线： 步骤一：分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D； 步骤二：作直线CD，则CD即为所求。（如图3） 图1 图2 图3 4.已知∠BAC，作其平分线AD： 步骤一：以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点； 步骤二：分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D； 步骤三：作射线AD，射线AD即为所求。 特别提醒 作已知线段的垂直平分线的核心原理：利用垂直平分线的性质定理的逆定理，通过画弧找两组等距点，确定垂直平分线，是考试基础作图必考题型。 随学随练 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 拓展 垂直平分线性质定理 VS 逆定理 对比维度 性质定理 逆定理 推理方向 由「位置」推「边长」 由「边长」推「位置」 核心条件 点在中垂线上 点到线段两端距离相等 推导结论 点到线段两端距离相等 点在这条线段的中垂线上 用途 快速证线段相等，简化证明 判定点的位置、证明垂直平分线 逻辑关系 原定理，正向推理 逆定理，反向推理，二者互逆 活学活用 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（     ）    A．12 B．19 C．16 D．14 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 拓展 尺规作图作垂线与垂直平分线归纳对比 作图项目 核心步骤概括 核心原理 易错扣分点 适用场景 过直线上一点作垂线 定点截弧得两点→两端画弧交汇→连线得垂线 SSS全等、垂直定义 半径过小无交点、擦除作图痕迹 直线上定点作直角、垂直证明 过直线外一点作垂线 外点截弧交直线→双侧画弧交汇→连线垂直 中垂线性质、全等推理 误将垂线画成线段、未双向延长 求点到直线距离、几何高作图 作线段垂直平分线 两端点画弧→上下交点连线→得中垂线 垂直平分线判定定理 只画单侧弧、连线未双向延长 平分线段、证边长相等、找外心 活学活用 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作图步骤）； (1)作边上的中线； (2)作边上的高． 题型 利用线段垂直平分线的性质求解 解题贴士 利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等，进行线段等量代换，常结合周长、线段和差计算。 ▌例1.（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm ▌例2.（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，已知是的垂直平分线，，，求的周长． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则_____． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为10，则的周长为______． ▌对点练1-4．如图，已知比小，的垂直平分线交于点E，交于点F，的周长为，求的长． 题型 线段垂直平分线性质的实际应用 解题贴士 将地点、道路抽象为点、直线；作两点连线的垂直平分线，与目标直线交点即为到两点等距的选址。 ▌例1.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 ▌对点练1-1.（25-26八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 ▌对点练1-2.如图，在足球场内，，，表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两内角平分线的交点处 题型 尺规作图——作垂线 解题贴士 分点在直线上、直线外两种情况，利用圆弧得到对称两点，再作垂直直线。 ▌例1.如图，在中，在BC上作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． ▌对点练1-1.如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． ▌对点练1-2.如图，在中，利用尺规作出边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） 题型 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 解题贴士 分别以线段两端点为圆心，大于线段长画弧，两侧得交点，过两点作直线。 ▌例1.尺规作图：作线段的中垂线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） ▌对点练1-1.如图，在中，． (1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长． ▌对点练1-2.如图，已知，请用尺规作图法，在外求作一点D，使点D到的三个顶点距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） ▌对点练1-3.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点是边上一点，连接，请用尺规作图法作直线，使得直线是线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 题型 利用角平分线的性质求长度 解题贴士 角平分线上的点向角两边作垂线，垂线段相等，借此转化线段，结合方程求值。 ▌例1.如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 ▌例2.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． ▌对点练1-1.如图，平分，于点，若，则到的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-2.把两个同样大小的含角的直角三角尺按如图所示方式放置，其中是与的交点，若，则点到的距离为_____． ▌对点练1-3.如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为__________． ▌对点练1-4.如图，中，，平分，于E，，．求的长． 题型 利用角平分线的性质求面积 解题贴士 角平分线上点向两边作垂线段等长，作为三角形等高，借助面积公式转化计算。 ▌例1.（25-26八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． ▌例2.如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． ▌对点练1-1.（25-26八年级下·广西来宾·期中）如图，是的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2.（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． ▌对点练1-3.如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 题型 角平分线性质的实际应用 解题贴士 道路边界抽象成角两边，满足到两边距离相等的点在角平分线上，结合限制条件确定位置。 ▌例1.如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 ▌对点练1-1.如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 ▌对点练1-2.（25-26八年级上·上海·期中）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 ▌对点练1-3.一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 题型 尺规作图——作已知角的平分线 解题贴士 顶点为圆心画弧交两边，再以两个交点为圆心、大于两点间距一半长画弧，内部交点与顶点连射线。 ▌例1.（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 ▌例2.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点A在的边上，请用尺规作图法在内部求作点P，连接，使点P到和的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） ▌对点练1-1.（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，已知．以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连接并延长交于点D，则_________． ▌对点练1-2.（2025·陕西·模拟预测）如图，是的外角，请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） ▌对点练1-3.（25-26八年级·江苏·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 基础通关 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 3．（25-26八年级下·全国·期中）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 7．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 8．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使得点到、两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 10．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法） 11．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 12．如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 素养提升 1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C．10 D．15 3．（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）如图，是边的垂直平分线，若，，则_________． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 5．（25-26七年级下·江西抚州·期末）完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 6．（2026·河南周口·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如图所示的，其中． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；连接并延长到，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 8．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 迁移创新 1．尺规作图的历史背景可追溯至古希腊数学，其核心规则由伊诺皮迪斯在公元前5世纪首次明确提出，后经欧几里得在《几何原本》中系统化，成为古希腊几何学的金科玉律． 如图，在中，点为边上一点，连接． (1)请用尺规作图法作的垂直平分线，使得直线交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，则的度数为________°． 2．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $