专题2.3 等边三角形（6大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦等边三角形的性质与判定核心知识点，从定义（特殊等腰三角形）切入，系统梳理三边相等、三角均为60°、轴对称的性质，以及三边相等、三角相等、等腰三角形含60°角的判定方法，构建从基础概念到角度线段计算、几何证明的学习支架。 该资料通过“知识点+即学即练+题型变式”分层设计，融入中考真题与模拟题，引导学生经历观察猜想推理过程，提升几何直观与逻辑推理能力（数学思维），规范答题格式培养数学语言表达，课中助力教师高效教学，课后便于学生巩固练习、查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.3 等边三角形 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01等边三角形的性质 2.知识清单 知识点02等边三角形的判定 题型01利用等边三角形的性质求角度 题型02利用等边三角形的性质求线段长 等边三角形 题型03利用等边三角形的性质证明 3.题型精讲 题型04证明是等边三角形 题型05等边三角形的性质与判定的综合 题型06等边三角形中的多结论问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质与判定定理，厘清等边三 角形和等腰三角形的联系，能运用定理完成角度、线段计算及简单几何证 明。 教学目标 2.借助观察、猜想、推理、对比辨析，经历等边三角形性质和判定的推导过 程，体会类比思想，提升几何直观与逻辑演绎推理能力。 3.感受等边三角形的对称美，激发几何探究兴趣：在小组合作说理中养成严 谨的数学思维，体会特殊与一般的数学思想。 1.重点 教学重难点 (1)掌握等边三角形三条边相等、三个内角都为60°的性质，能利用性 质进行相关计算。 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (2)熟记等边三角形的判定方法：三边相等、三角相等、有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。 (3)理清等边三角形与等腰三角形的从属关系，会选用合适定理解决基础 证明题，规范几何答题格式。 2.难点 (1)灵活选择判定定理证明三角形为等边三角形，区分不同判定方法的适 用条件，避免判定定理误用。 (2)结合等边三角形、等腰三角形的性质进行综合推理，在复杂图形中提 取基础模型，完成多步几何证明，构建完整严谨的说理过程。 知识清单 知识点01等边三角形的性质 等边三角形的性质： (1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形. ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法： ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶 角和底角是相对而言的. (2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°· 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线 是对称轴. 【即学即练】1.边长为4的等边三角形的周长为() A.6 B.8 C.10 D.12 2.如图，直线m∥n,等边△ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D.若∠a=22°，则∠B的 度数为() 2/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D-m -n B A.76° B.78° C.82 D.849 3.如图，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，若AB=2,则CD的长为 B 知识点02等边三角形的判定 等边三角形的判定： (1)由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若己知或能求得三边相等则用定义来判定；若己知或能求得三 个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明. 【即学即练】1.己知AABC的三边a、b、c满足(a-b+b-=0,则AABC的形状是() A.钝角三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可 增加的一个条件是 3/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，BD=CE, B E (I)求证：△ABD≌△ACE: (2)若∠BAC=120°，且AD⊥AC,试判断△ADE的形状，并说明理由. 题型精讲 题型01利用等边三角形的性质求角度 【典例1】(2026河北邯郸模拟预测)如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一 个四边形，若∠B=40°，则∠a=() A.90° B.95° C.100° D.105 【变式1】(25-26七年级下·重庆南岸·期末)如图，直线I∥m∥n,等边三角形ABC的顶点B,C分别 在直线m,1上，直线I与BC的夹角为35°，则∠I的度数为() m B 35入 A.15o B.20° C.25° D.35° 【变式2】(2026安徽合肥·三模)如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若1=140°，则∠2的度数 为 4/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26七年级下·上海虹口期末)如图，已知△ABC是等边三角形，BD⊥AC,垂足为点D, 点F在边BC上，BF=BD,那么∠BDF的度数是 度 B 题型02利用等边三角形的性质求线段长 【典例1】(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨课后作业)如图，在等边三角形ABC中，AB=4,D是边BC 上一点，且∠BAD=30°，则CD的长为() 30° B D A.1 B月 C.2 D.3 【变式1】(25-26八年级上·云南红河期末)如图，△ABC为等边三角形，BD1AC,点E为BC延长线 上一点，若CE=CD=3cm,则BE的长为() A.9cm B.6cm C.3cm D.2cm 【变式2】(25-26八年级上山西临汾期末)如图，在等边△ABC中，AC=12,点O在AC上，且 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ AO=3,点D是AB上一动点，连接OD,将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到对应线段OE.点E恰好 落在BC上，则BE的长是 B 【变式3】(25-26八年级上：广东广州期中)如图，△ABC的周长为40Cm,且AB=AC,以AC为边作等 边三角形ACD,若△ACD周长为45cm,那么BC为cm, 题型03利用等边三角形的性质证明 【典例1】(2026福建中考真题)如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC,CE⊥BC,BD=CE.求证： AD=AE, 【变式1】(2026陕西西安模拟预测)如图，在等边△ABC中，D,E分别为AB,BC上的点，且 AD=BE,连接AD,CD相交于点O.求证：AE=CD E 【变式2】(25-26八年级上·湖北武汉期末)如图，在等边△ABC中，点D、E、F分别是BC,AC,AB上 的点，且∠EDF=60° 6/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：∠EDC=∠BFD: (2)若BD=CE,求证：AE=BF 【变式3】(25-26八年级上湖北襄阳期末)如图1，在等边△ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点， BD=AE,BE与CD交于点O. E E D B D 图1 图2 图3 (I)求证：△ABE≌△BCD (2)如图2，以CO为边作等边△OCF,求证：AF=B0 (3)如图3，在(2)的条件下，若点G是BC的中点，连接A0,G0,判断A0与G0有什么数量关系？并 说明理由. 题型04证明是等边三角形 【典例1】(2026广西玉林·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上， CE∥DA,则下列条件不能判定△BCE成为等边三角形的是() E B C A.BC=BE B.∠BCE=60° C.∠AEC=120° D.EC平分∠BCD 【变式1】(2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习)如图，括号内可填： (填一个条件即可). 7/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件： A AB=AC 条件() 等腰 等边 三角形 三角形 三角形 B C B C 【变式2】(26-27八年级上海·暑假作业)如图，已知：△ABC中BC的垂直平分线分别交边AC,BC于 点D、E,BF⊥AC,垂足为点F,∠ACB=30°，延长BF与BC的垂直平分线交于点G,连接CG. 求证：△BGC是等边三角形. 证明：BF⊥AC, .∠BFC=90°(_）， ∠BFC+∠ACB+∠FBC=180°，又∠ACB=30°， ∴.∠FBC=60°， :EG垂直平分BC, _=-（_), ∴L_=∠GBC=60°(-)， :∠GBC+∠BGC+∠GCB=180°()， ∴.∠BGC=60° ∴.∠FBC=∠BGC=∠BCG, △BGC是等边三角形(_)· B D 【变式3】(25-26七年级下·上海阶段检测)如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，且 AD=AE,∠BAE=∠CAD D E (1)求证：△ABE≌△ACD: (2)如果∠BAE=∠CAD=9O°且AD=BD,试判断△ADE的形状，并说明理由. 8/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 等边三角形的性质与判定的综合 【典例1】(25-26七年级下·黑龙江绥化：阶段检测)已知△ABC中，AB=AC=2,∠C=60°，则BC的长 为() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1】(2026浙江舟山二模)如图，在△ABC中，CA=CB=2,∠A=25°，点D是线段AB上一点， 连接CD,将△ABC纸片沿着CD折叠，点A的对应点为点A',连接AB,若∠ACD=35°，则A'B的长是 D B 【变式2】(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，BE⊥BC, 且AE∥BD,CE交BD于点F. (1)求∠BAE的度数： (2)求证：△BEF是等边三角形 【变式3】(25-26七年级下·吉林长春·期末)在等边三角形ABC中，AB=12,动点P从点B出发，以每 秒2个单位长度的速度沿B→C的方向运动；同时动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿 C→A→B的方向运动，连结P9,当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设点P的 运动时间为t秒(t>0)」 9/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 备用图 (I)直接写出CP的长，CP=_(用含t的代数式表示)： (2②)当PO∥AB时，求出此时的t值： (3)当线段P把△ABC的周长平分时，求出此时的t值： (④在整个运动过程中，当点卫到△ABC的两边距离相等时，直接写出此时的BP值. 题型06等边三角形中的多结论问题 【典例1】(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC和△BPE中，AB=BC,BP=BE, ∠ABC=∠EBP=60°，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M,连接BM,则下列结论错误的 是() A.∠ACP=120° B.△ABP≌△CBE C.∠PME=60° D.点B到AP,CE的距离不相等 【变式1】(25-26七年级下·辽宁丹东期末)如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A,C,B三点共线， AE与BD相交于点P,AE与BD分别与CD,CE交于点M,N.有下列结论：①△ACE≌ADCB;② DC∥EB:③CM=CN;④EM=BN;⑤∠CMN=60°.其中正确结论的个数是() 10/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P A.1 B.2 C.3 D.5 【变式2】(2425八年级上·山东聊城期末)如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E, 使CE=CD,连接DE.有下列结论：①BD⊥AC;②BD平分∠ABC:③BD=DE;④∠BDE=120°.其 中正确的是 (填序号) 【变式3】(25-26七年级下·山东青岛期末)如图，已知C为线段AB上一点，分别以AC,BC为边在线 段AB同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,使CD=CA,CE=CB,∠ACD=∠BCE.连接AE,交CD于点 G,连接BD,分别交AE,CE于点F,H.下列结论： ①LFEC=∠FBC: ②若C是AB的中点，则CG=CH: ③若AD∥CE,则CD∥BE: ④若∠ACD=40°，则∠AFB=120°」 正确的是 (填写序号) E F H B 强化训练 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础自测 一、单选题 1.(2026广西贵港三模)在△ABC中，AB=AC,∠B=60°，则△ABC的形状是() A.等腰但非等边三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D 等腰直角三角形 2.(2026浙江绍兴·二模)如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，∠BEC=35°，则∠DBE的度数为 () D A.90° B.95° C.100 D.105 3.(2026河北保定·二模)如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=40°，则∠2是() A.50° B.55° C.60° D.58 4.(2026湖北荆门三模)如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上，若∠2=36°，则 ∠1的度数为() 7777777 A.56° B.48° C.36 D.24° 5.(2026:内蒙古通辽模拟预测)如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形(A,B,D共线)·下列 结论： ①AE=CD 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②BF-FG ③∠AHC=60 ④∠AHB=∠DHB=-60° ⑤DH>HE+BH. 其中正确的有() A D B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 6.(25-26七年级下·上海金山期末)在等边△ABC中，若过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则∠BAD= 7.(25-26八年级下·四川达州阶段检测)已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，延长BC至E, 使CE=CD=1,连接DE,则BE=一 8（25:26七年级下重庆期末)如图，在AABC中，B=AC:D是AB的中点，若DE=BE=AB, 则∠C的度数为 D E 9.(25-26八年级下·福建三明期末)将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若 ∠DEF=30°，点B,C对应的刻度分别为4cm,11cm,则△ABC的周长为 cm 13/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 89071213147 10.(25-26七年级下·黑龙江绥化阶段检测)如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上高，AD=4, 点E是AC边的中点，点P是线段AD上的一个动点，则PC+PE的最小值为 三、解答题 1L.(2026陕西中考真题)如图，△ABC为等边三角形，点D在AC的延长线上，CE‖AB,CE=AD. 求证：△ABD≌△CBE」 E B 12.(25-26七年级下·江苏苏州阶段检测)已知：如图，△ABC,△CDE都是等边三角形，请你探索： BE和AD有怎样的数量关系？以及BE与AD相交所形成的锐角的度数. D 13.(25-26七年级下·山东济南期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, 且AD=AB,E,F分别是边AB,AC上的点，且∠BDE=∠ADF. 14/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)若AB=AC=11,CF=8,求BE的长， 14.(2026湖南株洲模拟预测)如图，在等边△ABC中，点D、E在边BC、AC上，且BD=CE,连接 AD、BE交于点F. D (I)求证：△ABD≌△BCE: (2)若∠BAD=24°，求∠ABE的度数. 15.(25-26七年级下·山东威海期末)如图，在等边三角形ABC中，∠BAC=60°，点D在BC边上，连 接AD,以AD为边作等边△ADE,连接CE. D 备用图 (I)求证：∠B=∠ACE: (2)点A关于直线CE的对称点为M,连接CM,EM.补全图形并证明∠CME=∠BAD 能力提升 一、单选题 1,(25-26八年级下陕西渭南期末)如图，在△ABC中，AC=BC,∠B=60°，AD是△ABC的角平分线， 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若AB=4,则BD的长为() D A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26七年级下·福建泉州期末)如图，现有一张三角形纸片ABC,其中∠A=25°，D为AC上一点， 将纸片沿BD折叠，使点A落在点A处，且折叠后得到的三角形A'BC是等边三角形，则∠ABD的度数为 B C A.25° B.30° C.35 D.40° 3.(23-24七年级下·上海阶段检测)如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将 △CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C'落到AB边上，当△C"BE为直角三角形时，∠FEC的度数为 () A.45°或75° B.45°或30° C.30°或75 D.45°或60° 4.(2026:安徽安庆·三模)在某公园里，有一个边长为l0m的等边三角形地块ABC,园艺师要在BC边的 中线AD上设置一个浇水装置F,同时在AC边上有一棵金钱松E,已知AE=5m.现在需要用水管连接 E和F,再连接F和C来灌溉金钱松.为了更好地规划后续树木种植，要使得水管长度EF+CF最短，此 时∠ECF=() 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.15° B.30° C.45° D.60° 5.(25-26八年级上：广东江门阶段检测)如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,将线段AE沿AC翻 折，得到线段AM,连接EM交AC于点N,连接DM、CM,以下说法：①AD=AE=AM,② ∠ECA=∠MCA,③CM=BD,④AD=DM中，正确的说法个数是() D C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(25-26八年级下·陕西宝鸡阶段检测)在等边三角形ABC中，作AB边上的高CD,若BD=3,则 △ABC的周长为 7.(25-26八年级下广东揭阳期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，DE,GF分别是AB, AC的垂直平分线，BC=12cm,则EG=__cm. B ∠BAC=120°，AB=AC :.∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30°， :DE,GF分别是AB,AC的垂直平分线， 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=AE,AG=CG .∠B=∠EAB=30°，∠C=∠GAC=30° :.∠AEG=∠EAB+∠B=60°，∠AGE=∠GAC+∠C=60° ∴.△AEG是等边三角形 .'EG=AE=AG=BE=CG, .BC=12cm bG=写ac-12=4(em). 8.(25-26七年级下河南郑州期中)如图，将一个等腰直角三角形ABC和一个等边三角形ADE的顶点 A重合放在一起(AC>AE,0°<∠BAE<90°且，点E在直线AB的上方)，其中∠C=90°，∠B=45°. 当两个三角形中BC与某条边互相平行时，∠BAE的度数为一. 9.(25-26八年级上江苏南通阶段检测)如图，等边△ABC的边长为2，D是BC的中点，点E在线段 AD上，连接BE,在BE的下方作等边△BEF,连接DF,CF,则∠DCF的度数是，当△BDF的 周长最小时，∠DBF的度数是 A E B D 10.(25-26七年级下山东济南期末)在△ABC中，AB=AC=5,∠ABC=40°，CD平分∠ACB,点E, F分别是线段BC,CD上的动点，且BE=CF,连接AE,AF,则AE+AF的最小值为 B 三、解答题 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 11.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (①若a,b,c满足(a-b+(b-c=0,试判断A4BC的形状： (2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC的周长. 12.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC于点G, 且AD=AB,E,F分别是边AB,AC上的点，且∠EDF=6O°， D (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)若AB=AC=10,AE=7,求AF的长 13.(25-26七年级下·上海崇明期末)如图，已知：△ABC与△ADE都是等边三角形，点B、C、D在一直 线上，连接CE」 A D (I)求证：△ABD≌△ACE, (2)若CE⊥AD,求证：∠EDC=90° 14.(25-26七年级下·广东佛山期中)解决问题 图1 图2 (1)问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点AD,E在同一直线上，连接BE,求∠AEB的度数： (2)拓展探究 ①如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在 19/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同一直线上，连接BE.求∠AEB的度数： ②如图2，记S为△AOC面积，S2为△BOE面积，设S=S-S,CE=n,求S关于n的数量关系式. 15.(25-26八年级下江西萍乡·期末)根据题意解答下列问题： (I)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在△ABC中，AB=AC,点D在△ABC外， 连接AD、BD、CD,且∠BDC=∠BAC,过点A作AE⊥BD于点E,请直接写出BE、CD、DE之间的 数量关系 小马同学的解题思路如下：如图1，在BD上截取BF=CD,连接AF,通过证明△ABF≌△ACD,进而得 到BE、CD、DE之间的数量关系为 B 图1 (②)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答.如图2，△ABC 为等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，其中AB=BD,∠ABD=9O°，BE是AD边上的中线，连接CD 交BE于点F,请探究CF、DF、BF之间的数量关系，并说明理由： B 图2 (3)【学以致用】如图3，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=9O°，点D在AB边上，过点B作BE⊥CD交 CD的延长线于点E,延长EB至点F,连接CF,使∠BCF=∠ABE,连接AF交CD于点G,若BE=8, CE=22,求△EGF的面积. 20/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE B 图3 21/21 专题2.3 等边三角形 教学目标 1.理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质与判定定理，厘清等边三角形和等腰三角形的联系，能运用定理完成角度、线段计算及简单几何证明。 2.借助观察、猜想、推理、对比辨析，经历等边三角形性质和判定的推导过程，体会类比思想，提升几何直观与逻辑演绎推理能力。 3.感受等边三角形的对称美，激发几何探究兴趣；在小组合作说理中养成严谨的数学思维，体会特殊与一般的数学思想。 教学重难点 1.重点 （1）掌握等边三角形三条边相等、三个内角都为 60° 的性质，能利用性质进行相关计算。 （2）熟记等边三角形的判定方法：三边相等、三角相等、有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 （3）理清等边三角形与等腰三角形的从属关系，会选用合适定理解决基础证明题，规范几何答题格式。 2.难点 （1）灵活选择判定定理证明三角形为等边三角形，区分不同判定方法的适用条件，避免判定定理误用。 （2）结合等边三角形、等腰三角形的性质进行综合推理，在复杂图形中提取基础模型，完成多步几何证明，构建完整严谨的说理过程。 知识点01 等边三角形的性质 等边三角形的性质： （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【即学即练】1．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 2．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 3．如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据等边三角形三边相等得出的长，再利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质得出结果． 【详解】解：是等边三角形，是的角平分线，， ，， ． 知识点02 等边三角形的判定 等边三角形的判定： （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【即学即练】1．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 2．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 3．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 题型01 利用等边三角形的性质求角度 【典例1】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可知其三个内角均为，利用三角形内角和得出，再由邻补角求解即可． 【详解】解：原三角形纸片是等边三角形 ， 剪下的小三角形的顶角为， 设小三角形右侧的内角为， ， 与互为邻补角， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，首先根据等边三角形的性质可得，结合平行线的性质确定，进而可得，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，设直线交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 【变式2】（2026·安徽合肥·三模）如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为______． 【答案】/160度 【分析】根据等边三角形的性质求出，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知是等边三角形，，垂足为点，点在边上，，那么的度数是____________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，再根据“三线合一”的性质求出的度数，根据，结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 题型02 利用等边三角形的性质求线段长 【典例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．由题意可得：即，由等边三角形的性质可得，为中线，得到，即可求解． 【详解】解：等边中，， 则，， ∵， ∴，即 ∴为中线，则， 故选：C ． 【变式1】（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，三角形内角和定理等知识，由题意得，，从而可得，又是等边三角形，所以，，则有，然后证明，所以，最后由线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，且，以为边作等边三角形，若周长为，那么为________． 【答案】10 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的周长求出其边长，再根据等腰三角形的性质得出其底边长即可． 【详解】解：∵等边的周长为45cm， ∴， ， ， ∵等腰的周长为40cm， ∴， 故答案为：10． 题型03 利用等边三角形的性质证明 【典例1】（2026·福建·中考真题）如图，是等边三角形，，，．求证：． 【答案】证明：，， ． 是等边三角形， ，． ． 在和中， ． ． 【分析】先根据、的垂直条件，得到．结合等边三角形的性质，得到，．推导与的大小关系，判断二者是否相等．因为已知，可通过判定和全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证． 【详解】略 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等边中，D，E分别为，上的点，且，连接，相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】由等边三角形的性质可得，，再证明，即可得证． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等边中，点D、E、F分别是上的点，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵等边， ∴， ∵，， ∴； (2) 证明：由（1）知：， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，即可得证． （2）证明，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1) 证明：如图1中，    ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：如图2中，    ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 解：结论：． 理由：延长到R，使得，连接．    ∵等边， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，由即可证明； （2）证明，可得结论． （3）延长到R，使得，连接．先证明，进而证明，推出，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型04 证明是等边三角形 【典例1】（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 【变式1】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，括号内可填：________（填一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键掌握三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角等于度的等腰三角形是等边三角形． 根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：三条边相等的三角形是等边三角形，三个内角是的三角形是等边三角形， ①如图，添加或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②添加或或时， ∵，， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，已知：中的垂直平分线分别交边，于点、，，垂足为点，，延长与的垂直平分线交于点，连接． 求证：是等边三角形． 证明：， （ ）， ，又， ， 垂直平分， （ ）， （ ）， （ ）， ， ， 是等边三角形（ ）． 【答案】垂直定义；；；线段垂直平分线上的点到线段两点的距离相等；；等边对等角；三角形内角和定理；三个内角相等的三角形是等边三角形 【分析】根据垂直定义得，根据三角形内角和定理得，再根据线段垂直平分线性质得，进而根据等边对等角得，再根据三角形内角和定理得，则，由此可判定△是等边三角形． 【详解】略 【变式3】（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）由得到，再由即可得到； （2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 题型05 等边三角形的性质与判定的综合 【典例1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形与等边三角形的判定和性质，利用“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”的结论即可求解. 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴. 【变式1】（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 【答案】2 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由折叠性质得，，由此得，，据此可判定是等边三角形，再根据等边三角形性质即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据已知可得是等边三角形，则，根据题意列出一元一次方程，即可求解； （3）当线段把的周长平分时，分两种情况，①当在上时，②当在上时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分点在的中点以及点时，求得的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动， ∴，则； （2）解：∵等边三角形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵等边三角形中，， ∴的周长为， 点的运动时间为秒，， 当线段把的周长平分时，分两种情况， ①当在上时，， ， ∴， 解得：（舍去）， ②当在上时，， ， ∴， 解得：， （4）解：∵， ∴当在的中点时，点到的两边距离相等， 当时，， 解得：， 此时， 当与点重合时，， 解得， 此时， 当时，， 解得：， 此时， 综上所述，的长度为或或． 题型06 等边三角形中的多结论问题 【典例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 【答案】D 【分析】先说明是等边三角形，可得即可解答A；再根据“边角边”证明，解答B，D；然后根据全等三角形的对应角相等得，再说明是等边三角形，可得，然后求出说明C即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴，则A正确； ∵ ∴， ∴点B到的距离相等， 则B正确，D不正确； ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则C正确． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作等腰和等腰，使，，．连接，交于点G，连接，分别交，于点F，H．下列结论： ①； ②若C是的中点，则； ③若，则； ④若，则． 正确的是________．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】证明可得，据此可判断①；若C是的中点，则，则可证明，进而可证明得到，据此可判断②；若，则，可证明，进而可证明是等边三角形，得到，据此可判断③；若，则，可证明，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即，故①正确； 若C是的中点，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 若，则， ∴， ∵，， ∴，故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 一、单选题 1．（2026·广西贵港·三模）在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先根据边相等的条件得到三角形为等腰三角形，再利用等边三角形的判定定理即可判断形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 2．（2026·浙江绍兴·二模）如图，和都是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，得出对应角相等，然后利用三角形的内角和定理求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·河北保定·二模）如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，结合平角的定义和图形中角的关系求出的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ． 故选：A． 4．（2026·湖北荆门·三模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，再借助平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知和都是等边三角形（，，共线）．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤． 其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①证明，即可得出结论；②证明，得到，然后可得是等边三角形，即可得出结论；③证明，得到，即可得出结论；④作于M，于N，证明，得到，进而得到即可得出结论；⑤在上取一点，使得，连接，可证，得到，进而可得为等边三角形，然后可得． 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形，则，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于M，于N，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，， 又， ，则，故④正确； 在上取一点，使得，连接， 又， 在和中， ， ， ， ，则为等边三角形， ，则，故⑤错误； ∴正确的有①②③④共4个． 二、填空题 6．（25-26七年级下·上海金山·期末）在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得平分，即可计算出的度数． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴平分， ． 7．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 【答案】/75度 【分析】先证明是等边三角形，，然后求出的度数，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 9．（25-26八年级下·福建三明·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，对应的刻度分别为，，则的周长为________． 【答案】21 【分析】根据题意得，，，，得出，进一步得出，结合得出，得到是等边三角形，得到，故可求出的周长． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点，对应的刻度分别为，， ∴ ∴， ∴的周长． 10．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，是等边三角形，是边上高，，点E是边的中点，点P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】4 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得垂直平分边，，从而得到，进而得到点B，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，是边上高， ∴垂直平分边，， ∴， ∴， 即点B，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵点E是边的中点， ∴BE是边的高， ∴， ∴， 即的最小值为4． 三、解答题 11．（2026·陕西·中考真题）如图，为等边三角形，点在的延长线上，，．求证：． 【答案】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，，，再由，结合即可证明． 【详解】略 12．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，，都是等边三角形，请你探索：和有怎样的数量关系？以及与相交所形成的锐角的度数． 【答案】，相交形成的锐角度数为． 【分析】先利用等边三角形边角条件证，得到；再借助全等三角形对应角相等与三角形内角和，求出相交锐角为． 【详解】解：是等边三角形， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 设交于点， ∵， ， ， ，． ． 综上，，相交形成的锐角度数为． 13．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 14．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，在等边中，点D、E在边、上，且，连接、交于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，运用即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 15．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在等边三角形中，，点在边上，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接．补全图形并证明． 【答案】(1)证明：∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ； (2)补全图形如下： 证明：∵点和点关于对称， 垂直平分， ， ， ∴，即， 由得， ． 【分析】证明即可求证； 由轴对称可得垂直平分，得到，进而由等腰三角形的性质得，即得到，又由全等三角形的性质得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是的角平分线，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判定为等边三角形，再利用三线合一的性质求解即可． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， 是的角平分线， 是边上的中线， ． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，结合折叠的性质得到，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：三角形是等边三角形， 、， 由折叠的性质得：、， ， ， ， ， ， ， 解得：． 3．（23-24七年级下·上海·阶段检测）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据等边三角形性质得，因此当 为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ∴， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 4．（2026·安徽安庆·三模）在某公园里，有一个边长为的等边三角形地块，园艺师要在边的中线上设置一个浇水装置，同时在边上有一棵金钱松，已知．现在需要用水管连接和，再连接和来灌溉金钱松．为了更好地规划后续树木种植，要使得水管长度最短，此时（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用轴对称性质将转化为，根据两点之间线段最短确定F点位置，结合等边三角形性质求即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴ 垂直平分，， ∴点C关于直线的对称点是点B， ∴， ∴，要使最短，即最短， 如图：连接交与点，连接， 当B，，E三点共线时，的最小值， ∵， ∴E为的中点， ∴是的中线， ，即 ∵是的中线， ∴是与的交点， ∴也是的角平分线， ∴平分， ∴， ∴当最短，此时． 5．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 二、填空题 6．（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）在等边三角形中，作边上的高，若，则的周长为____________． 【答案】 【分析】利用等边三角形三线合一的性质得到边的长度，再根据周长的定义计算三角形的周长． 【详解】解：是等边三角形，是边上的高， ，， ， ， 的周长为． 7．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，，分别是，的垂直平分线，，则_____． 【答案】4 【分析】连接，证明，从而证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，将一个等腰直角三角形和一个等边三角形的顶点重合放在一起（，且，点在直线的上方），其中，．当两个三角形中与某条边互相平行时，的度数为_____． 【答案】或 【分析】由等边三角形的性质可得，再分两种情况：当时，当时，分别求解即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 当时，如图1， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是________，当的周长最小时，的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数． 【详解】解： 、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：；． 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）在中，，，平分，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】5 【分析】作，使，证明得，从而当三点共线时，，此时最小，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：作，使， ， ， ， ， ， 当三点共线时，，此时最小． ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最小值为5． 三、解答题 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长． 【答案】(1)是等边三角形 (2)周长为11或12或13 【分析】（1）根据平方的非负性判断即可； （2）根据三角形三边关系计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，周长； 当时，周长； 当时，周长； ∴周长为11或12或13． 12．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴； (2)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而得到，根据即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，进而根据三线合一得到，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 14．（25-26七年级下·广东佛山·期中）解决问题 (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接，求的度数； (2)拓展探究 ①如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接．求的度数； ②如图2，记为面积，为面积，设，求关于n的数量关系式． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）先证明，那么，根据全等三角形证明，求出，得出，从而得到； （2）证明，得出，进一步得到；②设的面积为，的面积为，由，可得与的面积相等，推出，进而得到为的面积，再根据，均为等腰直角三角形，且，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴； ②设的面积为，的面积为， ∵， ∴与的面积相等， ∵为面积，为面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的面积，，均为等腰直角三角形，且， ∴， ∴，即． 15．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $