河南省驻马店市部分校2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学参考答案及评分意见 1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 9．ABD 10．AD 11．BCD 12． 13． 14． 15．（1）证明：由， 得， 所以． 3分 因为，所以，所以． 由正弦定理，得，即． 6分 （2）解：由余弦定理，得． 因为，，所以． 又由（1）知，所以． 9分 因为点是边的中点，所以， 所以， 12分 则，所以的长为． 13分 16．解：（1）由频率分布直方图的性质，得， 解得． 2分 因为第一组的频率为，， 第二组的频率为，， 所以第25百分位数在第二组内． 4分 设第25百分位数为，则，解得． 所以第25百分位数为30． 7分 （2）由已知得，年龄在内的市民人数为， 年龄在内的市民人数为． 用比例分配的分层随机抽样方法，抽取年龄在的市民人数为， 年龄在的市民人数为． 9分 年龄在的4人分别记为A，B，C，D，年龄在的2人分别记为E，F， 则从这6名市民中抽取2名，样本空间为，共有15个等可能的样本点． 11分 其中事件“2名幸运市民的年龄都在内”，共有6个样本点， 13分 所以两名幸运市民的年龄都在内的概率为． 15分 17．解：（1）由题图得，即，则，． 2分 将点的坐标代入，得．，，，． ，，． 5分 令，，解得，， 的单调递增区间为，． 7分 （2）由题意，得，则． 9分 ，，． 11分 则 ． 15分 18．解：（1）因为是偶函数，所以， 所以，即． 2分 整理得，即， 因为，不恒为0，所以，解得． 5分 （2）由（1）知，则，定义域为R． 因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增． 7分 因为，，所以是奇函数． 9分 所以不等式可化为， 即，所以． 11分 对于，恒成立，即． 12分 令，则的图象开口向上，其最小值为， 所以，解得． 15分 又为整数，所以的值为0，1，2， 即整数的取值集合是． 17分 19．（1）证明：因为底面是平行四边形，所以． 因为是边的中点，是边的中点，所以，，所以． 3分 因为平面，平面，所以平面． 5分 （2）解：因为平面，，所以平面， 即点到平面的距离为的长度2． 7分 又是边的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半， 所以点到平面的距离为． 9分 （3）解：因为平面，，平面，所以，， 所以就是二面角的平面角，即． 11分 因为，所以由余弦定理，得， 即，解得，所以． 如图，过点作于点，连接．因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 在中，． 因为是边的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半， 即． 14分 因为平面，平面，所以，即四边形是直角梯形． 由（1）知，． 在等腰三角形中，． 所以在直角梯形中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若与没有公共点，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，则 D．若，，则 3．已知，为正实数，则的最小值为 A． B． C． D． 4．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量的模为 A． B． C． D． 5．某次数学测验中，一班42名同学的数学测验成绩的平均分为105分，方差为86；二班48名同学的数学测验成绩的平均分为90分，方差为71．那么这90名同学本次数学测验成绩的方差为 A．134 B．132 C．128 D．112 6．若，，，则下列结论错误的是 A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 7．早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关的记载，故勾股定理也称“商高定理”现有一的三边满足商高定理，其中勾的长为，，点在弦上的射影为点，则 A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，为复数的共轭复数，则下列结论正确的是 A． B． C．在复平面内，复数对应的点位于第二象限 D．复数是方程的一个根 10．已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可能是 A．8 B．4 C．3 D．2 11．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是 A．不存在点，使得直线与所成的角为 B．存在点，使得平面平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点，使得直线平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为__________． 13．已知正六棱锥的底面边长为，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为__________． 14．甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲同学最终获胜的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设的内角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求证：； （2）若，，设是边的中点，求的长． 16．（15分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供了更多的选择性和可能性．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200名市民中，用比例分配的分层随机抽样方法从年龄在和的市民中抽取6名市民做问卷调查，并从中随机抽取2名幸运市民，求2名幸运市民的年龄都在内的概率． 17．（15分）已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 18．（17分）已知函数（且）是偶函数，． （1）求实数的值； （2）若对于，不等式恒成立，求整数的取值集合． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $