精品解析：河南驻马店市“逐梦计划”环际大联考2025-2026学年高二上学期阶段考试（一）数学试题

环际大联考 “逐梦计划”2025~2026学年度第一学期阶段考试（一） 高二数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，若，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 若椭圆的离心率为，左顶点为，点、为上任意两点且关于轴对称，则直线和直线的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在y轴上的截距为2 B. 直线过定点 C. 过点且平行于直线的直线方程为 D. 三条直线交于同一点 10. 已知圆与圆，下列选项正确的有（ ） A. 若，则两圆外切 B. 若，则直线为两圆的一条公切线 C. 若，则两圆公共弦所在直线方程为 D. 若，则两圆公共弦的长度为 11. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于点的对称点的坐标是__________. 13. 若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________． 14. 若是圆上两点，且，若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，、、，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在的直线的方程； （3）三角形面积. 16. 已知圆圆心为，且过点. （1）求圆半径及标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知椭圆焦点为、，该椭圆经过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上的点满足，求. 18. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切，直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与轴、轴分别交于点、. ①写出与的关系式； ②求面积的最小值，并写出此时的直线的方程. 19. 已知椭圆的为2，离心率为为的左，右焦点，是椭圆上的两点. （1）求的方程； （2）若两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点所构成的四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环际大联考 “逐梦计划”2025~2026学年度第一学期阶段考试（一） 高二数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由直线方程为可知直线的斜率为， 因此倾斜角为． 故选：B． 2. 已知直线，，若，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线垂直的等价条件可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线，，且，则， 解得. 故选：C. 3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般方程性质列式计算求参数. 【详解】因为方程表示圆，所以，所以， 则实数的取值范围是 故选：C. 4. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得出，再利用公式可求出椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可. 【详解】圆，所以圆心，半径， 所以弦心距为， 所以弦长为， 故选：C 6. 已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 7. 已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆的圆心到直线距离， 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则，即. 故选： D. 8. 若椭圆的离心率为，左顶点为，点、为上任意两点且关于轴对称，则直线和直线的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率求出的值，设点，则点，其中，可得出，再利用斜率公式可求出的值. 【详解】由题意可知，椭圆的离心率为，故， 设点，则点，其中， 因为点在椭圆上，所以，可得， 易知点，所以， 故选：A. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在y轴上的截距为2 B. 直线过定点 C. 过点且平行于直线直线方程为 D. 三条直线交于同一点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B项，把直线方程化成关于参数的方程，依题得到，解之即得；对于C项，根据平行设直线，再代入求参即可；对于D项，联立求解即可. 【详解】对于A项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A项错误； 对于B项，由可得：，因，则有：， 故直线恒过定点，故B项正确； 对于C项，不妨设平行于直线的直线方程为，因为过点，所以，即，故C项正确； 对于D项，，所以，所以三条直线交于同一点，故D项正确. 故选：BCD. 10. 已知圆与圆，下列选项正确的有（ ） A. 若，则两圆外切 B. 若，则直线为两圆的一条公切线 C. 若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D. 若，则两圆公共弦的长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用圆与圆的位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程相减可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若两圆外切，则，解得，A错； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 故当时，则直线为两圆的一条公切线，B对； 对于C选项，若，因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故当时，两圆公共弦所在直线的方程为，C错； 对于D选项，当时，圆心到直线的距离为， 此时两圆的公共弦长度为，D对. 故选：BD. 11. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆有交点， 所以假设成立，即存在点使得，故A正确； 对于B：的周长为，故B错误； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于点的对称点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，由题意可知为线段的中点，利用中点坐标公式可求出点的坐标. 【详解】设点，由题意可知为线段的中点， 由中点坐标公式可得，解得， 因此点关于点的对称点的坐标是. 故答案为：. 13. 若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4， 所以， 解得. 故答案为：4. 14. 若是圆上两点，且，若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与圆相交以及弦长，可得点的轨迹方程，又直线与相交，可得交点的轨迹方程，由已知可得圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数的取值范围． 【详解】圆的半径， 为的中点，且，解得， 点轨迹方程为， 又直线过定点，即过定点，且， 则点是两垂线交点，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 的轨迹方程为，由于的斜率存在，所以点的轨迹要去掉点， 由已知可得：圆与圆有公共点，，即，又，所以，解得， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，、、，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在的直线的方程； （3）三角形的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，求出线段的两点式方程，化为一般式方程即可； （2）求出直线的斜率，可求出边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式方程可得出所求直线的方程； （3）求出直线的方程，即可求出点到直线的距离，再求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由题意可知线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 因此边上的高所在的直线的方程为，即. 【小问3详解】 直线的方程为，即， ， 点到直线的方程为， 因此，. 16. 已知圆的圆心为，且过点. （1）求圆的半径及标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）3， （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆心和圆上的点求得半径，写出到圆的标准方程； （2）讨论斜率是否存在，当斜率不存在时，显然成立；斜率存在时，先设直线方程，由圆心到直线的距离和半径表示出弦长，解得斜率值，写出直线方程. 【小问1详解】 半径， 所以的方程为. 【小问2详解】 当的斜率不存在时，的方程为，与圆相交， 圆心到直线的距离，弦长为，满足条件； 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以弦长， 即， 所以的方程为或. 17. 已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上的点满足，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）由题意得出，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合三角形的面积公式可求得的值. 【小问1详解】 根据题意可设椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义可得，故， 又因为，所以， 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可得，故， ，， 因为，所以 ，解得， 故. 18. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切，直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与轴、轴分别交于点、. ①写出与的关系式； ②求面积的最小值，并写出此时的直线的方程. 【答案】（1）或 （2）①；②最小值为，直线的方程为 【解析】 【分析】（1）不妨设圆心坐标为，由题意可知，该圆的半径为，利用勾股定理和点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出圆的标准方程； （2）①首先根据题设条件对（1）中求得的两个圆进行讨论，确定唯一满足条件的圆的方程，然后利用直线与圆相切的条件（圆心到直线的距离等于半径）得出与的关系式； ②利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 不妨设圆心坐标为，由题意可知，该圆的半径为， 所以圆的标准方程为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得， 所以，解得， 故圆的标准方程为或. 【小问2详解】 ①由题意，直线的截距式方程为，化为一般式方程为， 若圆的方程为， 则圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相离，不合题意， 所以圆的方程为， 则圆心到直线的距离为，整理得， 故； ② ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时 故面积的最小值为，此时直线的方程为. 19. 已知椭圆的为2，离心率为为的左，右焦点，是椭圆上的两点. （1）求的方程； （2）若两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点所构成的四边形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）①1；②2. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式即可得到方程组，解出即可； （2）①设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，再结合，解出即可； ②首先分析得，从而将四边形面积转化为，再结合韦达定理得到面积表达式，最后利用基本不等式即可得到最值. 【小问1详解】 由已知得，解得， 所以，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①设关于原点的对称点为，则四边形为平行四边形，所以， 因为，两点都在轴上方，且， 所以， ，设直线， 由，消去得， ， 设，则（1）；（2）， 因为，所以（3）， 由（1）（2）（3）得，解得，由图知此时， 则 ，故. ②由①知，且，所以， 所以 当且仅当，即时取等号． 所以四个点所构成的四边形面积的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $