周测05 二次函数y＝ax²到y＝a(x－h)²＋k的图象与性质 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以二次函数图象与性质为核心，通过基础巩固、性质应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际建模的递进，适配周测场景，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、平移、顶点坐标|选择2考定义，填空11考平移，夯实概念理解| |中档|增减性、函数值比较、简单推理|选择6分析增减性，解答18证明函数性质，发展推理能力| |拔高|综合应用、最值探究、实际建模|选择8绿地面积问题，解答20抛物线与几何综合，强化模型意识|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册 周测 周测05 二次函数y＝ax²到y＝a(x－h)²＋k的图象与性质 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 2．（2026·安徽阜阳·一模）下列函数中，y随x增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性规则逐一判断，注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，二次函数增减性分对称轴两侧． 【详解】解：对于选项A，是反比例函数，，仅在每个象限内随增大而增大，不符合要求. 对于选项B，是一次函数，可得，根据一次函数性质，随增大而减小，符合要求. 对于选项C，是反比例函数，，仅在每个象限内随增大而减小，在整个定义域内不满足随增大一直减小，不符合要求. 对于选项D，是二次函数，开口向下，对称轴为，仅当时随增大而减小，时随增大而增大，不符合要求. 3．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 4．（2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可． 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为． 5．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 6．（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 8．（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 【答案】 【分析】根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的原则，推导平移后的抛物线表达式． 【详解】解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为， 化简得． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先得到和关于的表达式，再利用，解不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 由于， 则， 解得， 故答案为：． 10．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可． 【详解】解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得，…………………2分 解得， ∴抛物线的解析式为；…………………4分 （2）解：∵，…………………5分 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，…………………6分 ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，．…………………8分 12．（10分）（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，…………………1分 解得， 二次函数的解析式为；…………………3分 （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为；…………………5分 （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得，…………………6分 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为；…………………8分 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或．…………………10分 13．（12分）（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴，…………………2分 ∵抛物线经过，两点， ∴，…………………4分 解得：， ∴抛物线的解析式为；…………………6分 （2）解：连接，如图所示： ∴，…………………7分 ∵，， ∴，，…………………8分 设点，由题意知， ∴，…………………10分 ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为．…………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册周测 周测05二次函数y=ac2到y=ax-h)P+k的图象与性质 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(2026上海闵行·二模)下列函数，图象不是一条直线的是()· A =x2 B y=x+1 C y=1 D y=x 2.(2526八年级下浙江宁波期中)若函数=(m-2列r+是关于x的二次图数，则m为《) A.2 B.±2 C.-2 D.0 y=x2-1 3.(26-27九年级上·天津河西开学考试)将二次函数 的图象向上平移3个单位长度，得到的图 象的函数表达式为() A.y=x2+3 B.y=x2-3 C.y=r2+2 D.y=x2-2 4,(26-27九年级上黑龙江哈尔滨开学考试)三次函数”=(x-2-1 的顶点坐标是() A.(2,) B.（2,-) c.（2,) D.(2-) 了(25-26人年级下广西南宁期末)三次函数'=2×的图象上有三个点1，），82)，C6,y) 则”、少、为的大小关系为《) A.>为>为 B.y>为>为 C.乃>y>为 D.为>乃>y 东州二模)给出下列函数：①y=3x,②y=3x+2,③，④=2 条件“当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是() A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 116 7.(25-26九年级上辽宁铁岭阶段检测)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-mx+1与二次函数 y=x2+m 的图象可能是() : 8.(2026天津河东·三模)如图，某公司准备在一个△ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧CEDF,其 中∠C=90°，∠A=30°，BC=6m,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上.有下列结论：①DF的长可 以为8m,②点D在两个不同位置可使得休闲书吧CEDF 8v√3m2 的面积为 3m,③休闲书吧CEDF面积的最 大值为10W3m 其中，正确结论的个数是() B A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(25-26九年级上江苏无锡期未)某二次函数图像经过点0，），且开口向上，请写出一个符合上述条 件的函数表达式： 、 10。(25-26九年级上：河南南阳期末)已知二次函数=(m+2)r+3r+m-4 的常数项为零，则m的值 为一 1.(25-26九年级上江苏扬州期末)若将二次函数'=2r-1 的图像向左平移1个单位，再向上平移2 个单位，则平移后图像的函数表达式为 216 12.(2526九年级上安徽合肥期末)若1(-2，），B(-3,),C(2)在二次函数y=(K-少的图象上， 则片，片，乃的大小关系是 (请按从小到大的顺序排列)· 1B。（25-26九年级上山东烟台期末)抛物线"=-+2x+3 与”轴的正半轴交于点1，与'》轴交于点®。 点M(a,)是抛物线上的任意一点，且位于线段B的上方，过点M作MWLx轴交AB于点N.若 MN的长度随x增大而减小，则a的取值范围是 M B A 9 14.(2026山东烟台二模)当0≤x≤1时，y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为16，则b的值 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(8分)(25-26九年级上江西宜春·阶段检测)如图，小林将两块完全相同的含45°角的三角板放置 于平面直角坐标系中，三角板OAB的斜边OB与y轴重合，直角顶点A,在抛物华y=V2 2 2x2+bx+1 上，三角板OCD的直角边OC与x轴重合. B (1)求b的值. 3/6 ②)通过计算，判断点D是否在抛物线” 2+bx+ 2 上 16.(8分)(25-26九年级上福建龙岩阶段检测)如图，抛物线'=2(x-少的顶点为4，且与'轴交于 点B. A (I)求A,B两点的坐标； ②)若点C为点B关于对称轴对称的点，点P在抛物线上且在第一象限内，且八 S.P8C= 8,求点P的坐标 17,(10分)(25-26八年级下北京期末)已知二次函数'=-+2x+2 (1)先补全表格，则m= 然后在平面直角坐标系O少中用“列表、描点、连线”的方法画出该 二次函数的图象： -1 0 1 3 y=-x2+2x+2 -1 2 -1 (2)根据表格图象可知，当-1<x<2时，y的取值范围是 ®)点1(3，）和B(红，为)都在此西数的图象上，且点1与点B不重合，若≥乃，结合函数图象，直 接写出n的取值范围. 4/6 4 3 2 4-3-2-10 234x 18.(10分)(25-26八年级下福建泉州期末)定义：关于自变量x的函数y,对于该函数图象上任意两 点)，)，当<时，都有<%，称该函数为“增函数”，当<5，时，都有>乃 称该函数为“减函数” 【例题】证明：函数y=-3x(x是任意实数)是“减函数”， 证明：设<元，则为-%=-3-(3站)3(s-) 因为古 ，所以55>0 y-y2=3(x2-x)>0 所以， 所以>为，因此该函数是“减西数” ()根据定义可以判断函数y=2x+4(x是任意实数)是“函数”（填“增”或者“减”）； ②)根据例愿，请判断函数'=2 在自变量x之0时是“增函数”还是“减函数”：并说明此时该函数 是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由， 、y=ax2-4ax-3 19.(10分)(2026浙江丽水·模拟预测)己知直线交抛物线 (常数0≠0 )于点 s,8a) (t,8a）s<t (1)求抛物线的对称轴. (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求t的值； 516 点P(,）,(少)是b≤x≤范围内抛物线上的两点，且b<2,<.当-少取得最大值 ②若 时，记点P向右平移3个单位后的点为P,求线段PQ的中点的坐标. 20.（12分)(2026山东威海三模)如图，抛物线'=r+x+C(a0)与*轴交于4,8两点，与' 轴交于 C0,3),且OB=0C,直线"=x+1与抛物线交于A、D两点，与'轴交于点E,点P是抛 物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m. 备用图 (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (②)连接CQ,直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系； )在直线AD上是否存在一点H,使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由， 6162026-2027学年度人教版数学九年级上册周测 周测05二次函数y=ac2到y=ax-h)P+k的图象与性质 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(25-26八年级下江苏南通阶段检测)己知'=m+r+2x- 是二次函数，则”的取值范围是 () A.m>-1 B.m<-1 C.m≠1 D.m≠-1 2.(2026安徽阜阳·一模)下列函数中，y随x增大而减小的是() 2 2 A.y=- B.y C.y=9 D.y=-1x 2 3.(25-26九年级下吉林长春期中)若点1(2y)和点8(3，)都在抛物线”=-上，则少和”的大小 关系是() A.片>与 B.片为 C.片<2 D.无法确定 y=x2 4.(2026安徽芜湖·一模)把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的 解析式为()· Ay=(6x--3B.y=(x+1-3 C.y=(x-1+3 D.y=(x+1)2+3 5。(2026内蒙古道辽二模)如图，四边形018C是正方形，且点4、C伯好在物线=上，点8在 y轴上，则OB的长为() 1/3 A.2 B.2N2 C.4 D.2 1 6.(26-27九年级上天津开学考试)二次函数y=a心2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=2,且 因经过点2叭.下别法：00，g-25-0,@川得 是抛物线上的两点，则 y<为：④4+c>m(am+b)+e(其中m+2):⑤a-b+c<0:其中正确的结论是（) VA A.①②③ B.①③④ C.②④⑤ D.①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(25-26九年级上安徽安庆期未)若函数'=(a+2)r2-2 关于x的二次函数，则a的值为一 8。（25-26九年级上江西九江期未)把抛物线”=3x-2 先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位 长度，所得抛物线表达式为一. 9,（25-26九年级上浙江台州期末)已知二次函数'=r-6r+10, 当=m时，函数值为”，当 x=m+2时，函数值为”，且<片，则m的取值范围是 10。(2026江苏宿迁三模)将抛物线'=+2x+2 180° 原点旋转所得到的抛物线的解析式为 三、解答题：本题共3小题，共30分。 213 1,(8分)(2526九年级上江西景德镇期末)二次函数'=+伽+5图象与轴交于点 (-1,0) B(5,0) (1)求该二次函数解析式： (2)当1<x<4时，直接写出y的取值范围. y=ax2-4x+c 12.(10分)(25-26九年级上·北京·阶段检测)如图，二次函数 的图象经过坐标原点，与 X轴交于点 A(-4,0) (1)求二次函数的解析式： (2)求抛物线的顶点坐标： )在抛物线上存在点P,满足又0=8， ,请直接写出点的坐标。 2 13.(12分)(2026：黑龙江模拟预测)如图，已知直线y=~3x+4交x轴正半轴于点C,交y轴正半轴 于点g,抛物线y=ar2+10x 3x+C经过BC两点，交x轴负半轴于点A: (1)求抛物线的解析式： (2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当四边形BOCE面积最大时，请直接写出点E的坐标. 313 2026-2027学年度人教版数学九年级上册 周测 周测05 二次函数y＝ax²到y＝a(x－h)²＋k的图象与性质 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 4．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． 5．（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 6．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 7．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 8．（2026·天津河东·三模）如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，，，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出，根据勾股定理求出，再比较可解答①；设，，即可得，然后设矩形的面积为，可得，即可得出，求出解判断②；接下来结合，再讨论最大值即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴的长可以是，所以①正确； ∵四边形是矩形， ∴． 设，， ∴． 设矩形的面积为，则， 当矩形的面积为时，即 ， 解得， 所以当时，矩形的面积为； 当时，矩形的面积为，则②正确； ∵， ∴当时，函数有最大值，最大值为，则③不正确， 所以正确的有2个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）某二次函数图像经过点，且开口向上，请写出一个符合上述条件的函数表达式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了写二次函数解析式，根据二次函数开口向上可知二次项系数为正，经过点可知常数项为1，可设函数表达式． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵图像经过点， ∴代入得， 又∵开口向上， ∴． 取，，得． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图像的函数表达式为________________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可． 【详解】解：原函数为，向左平移1个单位，得， 再向上平移2个单位，得， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·山东烟台·期末）抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线解析式为，，即可得出，即可表示出的长，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点是抛物线上的任意一点，轴交于点， ∴， ∴，， ∵位于线段的上方， ∴，， ∵，的长度随增大而减小， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为： 14．（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（8分）（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，小林将两块完全相同的含角的三角板放置于平面直角坐标系中，三角板的斜边与轴重合，直角顶点在抛物线上，三角板的直角边与轴重合．    (1)求的值． (2)通过计算，判断点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)是 【分析】该题考查了勾股定理，二次函数的性质． （1）将点代入抛物线中解答即可． （2）先求出点的坐标，再判断即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线中， 得，解得：．…………………3分 （2）解：∵， ∴， ∴，…………………5分 将代入抛物线中， 得， ∴点在抛物线上．…………………8分 16．（8分）（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点，…………………1分 当时，， ∴点；…………………2分 （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：，…………………4分 ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：，…………………6分 ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为．…………………8分 17．（10分）（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；…………………2分 函数图象，如图所示： …………………4分 (2)…………………6分 (3)或， 解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，，…………………8分 ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或．…………………10分 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）略 18．（10分）（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)增…………………2分 (2)函数（）是增函数，存在最小值，最小值为，不存在最大值，理由如下： 设，则，…………………4分 ∵， ∴，，…………………6分 ∴ ∴，即该函数是“增函数”，…………………8分 ∵在时是“增函数”， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为，并且不存在最大值．…………………10分 【分析】（1）先设，运算，再根据，推出，据题意即可判断； （2）设，运算，再根据，，推出，即可判断在自变量时为增函数，最后根据函数的性质辨别最值即可． 【详解】（1）设，则， ∵， ∴， ∴ ∴，即该函数是“增函数”． （2）略 19．（10分）（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为；…………………2分 （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为，…………………3分 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得，…………………5分 化简得，即， 解得，， ， ；…………………6分 ②取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，，…………………8分 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即．…………………10分 20．（12分）（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为，…………………2分 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为，…………………3分 顶点的坐标为．…………………4分 （2）解：，且，理由： ，， ，…………………5分 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得，…………………7分 故直线的解析式为． 、点， ， 故；…………………8分 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且．…………………9分 （3）解：存在，点的坐标为或．…………………12分 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $