周测03 一元二次方程根与系数的关系 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、几何应用、类比探究三层设计，构建从概念理解到综合创新的知识路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数基本关系|直接应用韦达定理求根的和与积，如选择1-2、填空9-10| |综合|代数变形与几何应用|结合矩形边长、菱形对角线等几何量构建方程模型，如选择3、解答18-19| |拓展|类比探究与新定义|通过一元三次方程根与系数关系类比（选择8）及“根对四边形”新定义问题（解答20），发展创新意识|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册 周测 周测03 一元二次方程根与系数的关系 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（2026·辽宁鞍山·二模）若一元二次方程的两个实数根是，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根是，， ∴． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系即可得到结果. 【详解】解：∵原方程为，移项整理得. ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 【答案】B 【分析】由根与系数的关系求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴， ∴． 4．（2026·安徽阜阳·一模）设，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 5．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. 【详解】∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 6．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 9．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系计算求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 10．（25-26八年级下·北京·期末）已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 【答案】 【分析】将给定等式展开后代入计算得到的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根 ， ∴由一元二次方程根与系数的关系得 ，， ∵， ∴， ∴， 将，代入上式得， 解得， 此时方程的判别式，满足方程有两个根的条件， 因此的值为． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴，…………………2分 即， 解得；…………………4分 （2）解：∵与是该方程的两个实数根， ∴，…………………6分 ∵， ∴ 解方程 得．…………………8分 12．（10分）（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． （3）判断的正负即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根；…………………2分 （2）该方程的两个实数根为，， ，…………………4分 ；…………………6分 （3）由（2）知，， ，…………………7分 …………………8分 ， ．…………………10分 13．（12分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则______，_______，______； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得…………………2分 ∴；…………………4分 （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴，…………………6分 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，．…………………8分 （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则…………………10分 两根之积： ∴两根之积为．…………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学九年级上册 周测 周测03 一元二次方程根与系数的关系 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 7．（2026·河北沧州·一模）已知，若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之和为正数，则抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题利用抛物线顶点坐标公式，结合一元二次方程根的判别式和两根之和的条件，判断顶点横纵坐标的符号，即可确定顶点所在象限． 【详解】抛物线的顶点坐标为， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， 又∵， ∴，即顶点纵坐标为负数。 设方程的两根为，由题意得，对于一元二次方程，可得， ∴， ∵， ∴，即， ∴顶点横坐标，即顶点横坐标为正数， ∵顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点在第四象限． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，关键是根据一元二次方程根的情况判断相应的二次函数中的系数关系． 8．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若在学完2．3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系中两根乘积等于6，即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 10．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为5，（化为一般形式）：______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】 解： 设所求一元二次方程为 由题意得，二次项系数为，两根分别为和 ∴， 计算得， 因此所求一元二次方程为． 11．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两个根为，， ． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 13．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程的两根分别为．则的值为_________． 【答案】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，对所求代数式变形后整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴． ∵一元二次方程的两根为， ∴． ∴． 14．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（8分）（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系数的关系是解题的关键． （1）通过计算判别式，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可； （2）由韦达定理得，，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；…………………4分 （2）解：由韦达定理得，，…………………6分 由于， 则， 解得， 因此m的值为．…………………8分 16．（8分）（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为______． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点坐标为，求b和c的值． (3)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）根据衍生点的定义可得到方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系，解答即可； （3）根据点M在直线上，可得，再利用根的判别式即可解出答案． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴方程的衍生点坐标为． 故答案为：…………………2分 （2）解：∵方程的衍生点坐标为， ∴方程的两根为． ∴，，…………………4分 ∴；…………………5分 （3）解：∵方程的衍生点为M，且点M在直线上， ∴，即该方程有两个相等的实数根，…………………6分 ∴，…………………7分 解得：．…………………8分 17．（8分）（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则______，______． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【答案】(1)5，3 (2) 【分析】（1）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果. 【详解】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，；…………………4分 （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，，…………………6分 ∴ .…………………8分 18．（10分)（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ，…………………2分 整理可得：， 解得：；…………………4分 （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ，…………………6分 ， ， ，，…………………8分 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ．…………………10分 19．（10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 【答案】(1)0， (2) (3)见详解 【分析】（1）利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）原方程可化为，利用根与系数的关系求解即可； （3）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：若， ∴原方程可化为，即， ∴，，…………………1分 ∵， ∴， ∴；…………………2分 （2）解：，， 原方程可化为． ， ． 为方程的两个实数根， ，…………………4分 ；…………………6分 （3）证明：为方程的两个实数根， ， ，…………………8分 ， 即分解因式的结果可以是．…………………10分 20．（14分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ，…………………2分 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和．…………………4分 （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ，…………………5分 令： ，…………………6分 ， ， 解得（满足），…………………7分 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6．…………………8分 （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ，…………………9分 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入：…………………10分 ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ，…………………12分 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为．…………………14分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册周测 周测03一元二次方程根与系数的关系 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(2026辽宁鞍山二模)若一元二次方程2+4-1=0的两个实数根是，与.则+西 的值为 () A.-1 B.1 C.-2 D.2 2.(2026河北邯郸模拟预测）一元二次方程×=x+3的两个实数根为和，则的值是() A.2 B.-2 C.-3 D.3 3。(25-26八年级下浙江温州阶段检测)一元二次方程+5x-4=0的两个实数根为”和，则代数式 X1+x2-2xx2 的值为() A.-3 B.3 C.-13 D.13 1+1 4.(2026安徽阜阳一模)设x,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则的值为() B.3 3 c.4 D.3 5.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)已知方程x2+2025x-1=0的两根分别是a和B,则代数式 a2+B+2026a 的值为() A.0 B.-2018 C.-2023 D.-2024 6.(25-26八年级下·安徽安庆期末)如果关于x的一元二次方 ar2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且 其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是 113 () ①方程-3x+2-0是2倍方程：②若(x-3训mx+)）=0为3倍方程，则m=g:®若0：g满足 pq=8 则关于的方程r-6r+9=0 为2倍方程：④若关于”的方程r+伽+C=0为”倍方程，则 nb2=(n+1)ac A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(26-27九年级上广西南宁·开学考试)已知x=2是关于x的一元二次方程x2+x-a=0的一个根，则 该方程的另一个根是」 8.(25:26八年级下-福建泉州期未)已知，元是方程-3x-8=0的两个根，则+：+5= 9.(26-27九年级上山东聊城开学考试)已知是方程-X-2027=0 两个实数根，则代数式 店-2027x,+的值是 10.(2526八年级下北京期末)已知，。是关于x的方程+4r+m=0的两个根，满足 (x-1)(x2-1)=2 ,则m的值是 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11.(8分)(25-26九年级上湖南湘西期末)已知关于的方程 x2-6x+(2m+1)=0 (I)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； ②)若与”是该方程的两个实数根，且满足+号=2 2,求m的值. 213 12.(10分)(25-26八年级下浙江湖州期中)己知关于x的方程 2-(k+4)x+2k+1=0 ()求证：该方程总有两个不相等的实数根： ②)记该方程的两个实数根为，5，求代数式：-23-2) 的值； ③活M=+后，N=25,比较M与N的大小 13.(12分)(25-26八年级下·江苏苏州期末)我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于x的元二次方程ar+bm+e=0a≠0)的两个根是，，那么可推出与+名=台，-后.请 运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 1)若“，B是方程-4x+1=0的两根，则a+B aB= (2Cw+1)(2B+1)= 【问题探究】 ②)如果关于的一元二次方程+br+c= 的两个根是=2.女=3 ，那么关于的一元二次方程 (2y-少+b(2y-)+c=0是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由： 【问题解决】 6)若关于'的方程r+r+c=0(a≠0 的两根之和是P,两根之积是9，请求出关于‘的方程 a(21++b(21+)+c=0(a≠0)的两根之积的值（用字母P,9表示）· 3/32026-2027学年度人教版数学九年级上册周测 周测03一元二次方程根与系数的关系 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1,(25-26八年级下浙江杭州期末)设，是一元二次方程3x+4红-2=0的两个根，则《) 4 4 A.x+x2=- 3 B.+x2= 3 c.%眉 D.6青 2.(25-26八年级下吉林长春期末)若，是方程2-2x-5=0的两个根，则3+3的值为(). A.6 B.-6 C.15 D.-15 3.(25-26八年级下·浙江丽水期末)已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则矩形的 周长是() A.10 B.12 C.20 D.24 X1,X 4.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)己知 是一元二次方程-2x=0 的两根，则的值是 () A.0 B.2 C.-2 D.4 5.(25-26八年级下山东烟台期末)若，是一元二次方程-2x-2026=0 两个实数根，则 -X+的值是(） A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 6.(25-26九年级上四川南充阶段检测)已知实数a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，则a3+a+6b的 值是() 114 A.14 B.-14 C.172 D.10 7.(2026河北沧州·一模)已知a>0,若关于x的方程ax2+br+c=0有两个不相等的实数根，且两根之 和为正数，则抛物线'=r+r+c 的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.(25-26八年级下·浙江舟山期末)小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方 程进行了新的探究，如图所示.如果，。，心是一元三次方程 x3+bx2+cx+d=0(a≠0) 的三个根， 请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系。 一元二次方程根与系数的探究 因为，”是方程的根，根据方程根的定义 x2+bx+c=a(x-x)(x-x2) 得到 x2+bx+c=ax2-a(x+x2)x+axx2 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 bx=-a(x+x2)x,c=ax x2 对比后得 b 整理后得到x+xa，xxa 则6用系数可以表示为《) 月6 b B.- a a C.a D.-d a 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(25-26八年级下·湖南长沙期末)若x=2是一元二次方程x2-xr+6=0的一个根，则另一个根为 10.(25-26九年级上四川南充阶段检测)写一个二次项系数为1的一元二次方程，让它的两个根分别为 214 5,-2(化为一般形式)：一 1,(25-26八年级下辽宁大连期末)若一元二次方程+X-1=0的两个根为，，则+号的值是 12.(25-26八年级下·浙江宁波期末)已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2-12x+9=0的两个根， 则这个长方形的面积是 13,(25-26八年级下江苏扬州期末)已知关于的一元二次方程+3x+C=0 x=a,x,=b 两根分别为 则a2+4a+b+c的值为 14.（25-26九年级上~安徽芜湖期中)已知9y≠1，且3x2+2021x+6=0,6y2+2021y+3=0,则 三、解答题：本题共6小题，共58分。 2+(m+3)x+m=0 15.(8分)(25-26九年级上江西新余阶段检测)已知关于x的一元二次方程 ()求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根。 2若，、是原方程的两根，且 +x2-xx2=17 .求m的值。 x2+bx+c=0(a≠0) 16.(8分)(25-26九年级上·安徽芜湖期中)若关于x的一元二次方程 的两个实数 根为(：≥5 ,分别以，5为楼坐标和纵坐标得到点(，5），则称D(,)为该一元二次方程 的衍生点. (1)方程x2+3x+2=0的衍生点坐标为一 Q)若关于x的一元二次方程+br+c=0的衍生点坐标为 8,求b和c的值. 3)若关于x的一元二次方程x2-2x+2m+3=0的衍生点为M,且点M在直线y=x上，求m的值. 17.(8分)(26-27九年级上吉林长春开学考试)在复习一元二次方程ar2+bxr+c=0(a≠0)时，在 3/4 有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则 a a. 根据以上知识点完成下列问题： 1)方程-5x+3=0的两根为与， 则+书 XX2= 已知：、女是方程-4x+2=0的两个实数根，求6-14-)的值 18.(10分)(25-26八年级下·安徽阜阳期末)已知四边形ABCD相邻两边AB,AD的长度分别是关于x 2+(2a-1)x+a2=0 的一元二次方程 的两个实数根，方 (I)若四边形ABCD为菱形，求a的值： @考四边形4BCD为矩形，且该矩形对角线4C的长度为万，求“的值 19,（10分)(25：26八年级下安徽滁州期末)已知，5为方程r+r+c=0(a≠0)。 的两个实数根. b ()若c=0,x=1,则x2= -’2a 2)若b=0,c=-2026a 2-Xx2++x2 求 的值； ③)求证：+r+c分解因式的结果可以是a(x-xx-七) 20.(14分)(25-26八年级下浙江绍兴·期末)【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的 两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”· 【问题解决】己知一个根对四边形ABCD的两条对角线的长是方程 x2-(2a+4)x+12a-12=0a>1 )的两个实数根. (1)当a=2时，求这两条对角线的长. (②)若该根对四边形是矩形，求对角线AC的长. (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为a,求a的值. 414