周测01 一元二次方程的概念 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过基础巩固、能力提升、综合探究三层设计，实现从概念识别到跨情境应用的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一元二次方程概念、根的代入、一般形式|选择题1-4直接考查概念识别，填空题9-12强化系数确定，夯实抽象能力| |能力提升|根与系数关系、参数问题|选择题5-8结合根的性质求参数，填空题13-14渗透方程思想，发展推理意识| |综合探究|几何应用、阅读探究|解答题18结合几何情境构建方程，20通过阅读材料深化模型意识，衔接阶段测评需求|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册周测 周测01一元二次方程的概念 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(26-27九年级上广东中山开学考试)下列方程是一元二次方程的是（) A.x2-5x=1 B.3x+2y=1 c.x2-1-1 D.ax2+bx+c=0 2(25-26八年级下河北张家口期未)关于x的一元二次方程(x-1)=0 化为一般形式为() A.x2+x=0 B.x2-x=0 C.x2-1=0 D.x2+1=0 3.(25-26八年级下广西百色·期末)用公式法解一元二次方程3x2-2x+5=0时，首先要确定a,b,c 的值，正确的是() A.a=3,b=2,c=5 B.a=-3,b=2,c=5 C.a=3,b=2,c=-5 D.a=3,b=-2,c=5 4.(25-26八年级下·湖南长沙期末)已知方程x2+c-6=0的一个根是2，则k的值为() A.2 B.1 C.3 D.-3 5.(25-26九年级上·北京·阶段检测)一元二次方 2x2-(m+)x+1=x(x-)化成一般形式后二次项的系 数为1，一次项的系数为1，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(25-26八年级下-山东威海期未)关于的方程r+c+C=0(a0)中，若a,么C清足4a+2b+e=0 和4a-2b+c=0,则该方程的根是() 113 A=2,5=0 B.=-4,5=4 C.=2,5=-2 D.无法确定 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(2026广东深圳三模)已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程一· 8.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)已知关于x的方程x+ax+2=0有一个根为-2，则a的值为 9,（25-26八年级下河北张家口期未末)若m是关于*的方程+x-1=0的一个根，则m(m+1)2026 的 值为一 10。(2026江苏南通模拟预测)已知关于x的方程m+n-)r-(m+mx+mm=0是一元二次方程，则 m+n的值为 三、解答题：本题共3小题，共30分。 .2-x 11.(8分)(25-26九年级上·黑龙江牡丹江阶段检测)先化简，再求值： 其中x 是方程x+x-3=0的根. 12.(10分)(26-27九年级江苏·暑假作业)定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的 倒方程，其中a,b,c为常数（且a,c≠0）.根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程4x2+3x+1=0的“倒方程”是一； (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的“倒方程”的解，求出C的值： (3)若m是一元二次方程6x2+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m3+m2-6m+2025的值为 13.(12分)(25-26八年级下·安徽池州期末)请阅读下列材料：己知一个关于x的方程x+br+C=0, 213 其中、C均为整数，且有一个根为=v5+2 ,求b、C的值. 辰辰同学根据二次根式的性质：（回=(a≥0），联想到了如下解法：由x=5+2得x-2=V5,则 (x-2y=5,即2-4x+4=5,-4x-1=0.故b=4,C=1 请运用上述方法解决下列问题： 0已知关于”的方程2+c+c=0,其中6、C均为整数，且有-个根为=2-5，求.C的值. 2已知=2，求代数式3x+6r2+2025的 3132026-2027学年度人教版数学九年级上册周测 周测01一元二次方程的概念 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(25-26八年级下·陕西西安·期末)下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x+3=4-xB.x2-3x+1=0 C.x2-2y+4=0 D.x2+3=5 X 2.(25-26八年级下·浙江杭州期末)若2是方程x2-3x+c=0的一个根，则c的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 3,(25-26八年级下北京平谷期末)若关于*的一元二次方程m-3)r+3x+m-9=0 的一个根是x=0 则m的值是() A.±3 B.3 C.-3 D.0 4.(25-26八年级下浙江宁波期末)将一元二次方程2x-x-3)=3化为一般形式，正确的是（) A.5x-x2=3 B.x2-5x=-3 C.x2-5x+3=0 D.5x-x2-1=0 5.(25-26八年级下·安徽毫州阶段检测)已知关于x的一元二次方程2x2+c-6=0的一个根是2，则它 的另一个根是() A.-3 B.3 D.2 6(25-26八年级下安徽安庆期未)若实数“，b(a≠b 满足a2-2a-2=0,-2b-2=0,则() A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a2+2b<0 114 7,(25-26八年级下重庆期末)若方程m-3列+3x-3=0 是关于x的一元二次方程，则”的值为 () A.-3 B.-1 C.1 D.3 8(25-26九年级上福建福州阶段检测)已知实数P,9满足D+3p-2=0,29-39-1=09≠1) pq+2p+1 则 9 的值是() A.-1 B.-4 C.-5 D.-7 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(2026广东中考真题)已知方程x2+3x+C=0的一个根是1，则C=一· 10.(25-26八年级下河南开封期末)将一元二次方程x-3x=6化为一般形式后，其二次项系数、一次 项系数、常数项分别是 11.(25-26八年级下·北京期末)若x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的一个根，则 2026-2a+b的值是— 12.(25-26八年级下北京期末)若x=1是关于x的方程x+2ar+a=2的一个根，代数式 a(a-1)+3a2+9a-5 的值为 13.(25-26八年级下湖北武汉期末)已知m,n是方程x2+3x-1=0的两个根，则 (m2+3m+3)(n2+3n+2）= 4.(25-26九年级下山东烟台期末)已知是方程，2-2026r+1=0的一个根，则口-2026a2-2026 a2+1- 三、解答题：本题共6小题，共58分。 214 m-31 15.(8分)(2025重庆模拟预测)先化简，再求值： m+2-5 m2-2m( m-2.其中m是方程 x2+3x-3=0 的根。 16.(8分)(2425九年级上河南许昌·阶段检测)已知关于x的一元二次方程ax+br+c=0,其中a, B,c满足a-2+vb+5+口+b+c=0 ，求满足条件的一元二次方程。 17.(8分)(24-25八年级下山东烟台期中)已知关于x的方程(m-5)r+(m-5)x+2=0 (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？ 18.(12分)(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心， BC的长为半径画弧，交线段AB于点D,以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E,连 接CD. D A E (1)若∠A=38°，求∠ACD的度数： (②)设BC=a,AC=b;线段AD的长度是方程x2+2ar-b=0的一个根吗？说明理由. 19.(12分)(25-26八年级上福建福州期末)关于x的一元二次方程 ax+bx+c=0,a>0,c<0,2a+3b+6c=0 b 1 +>0: (1)求证：2a3 2)若2是ar2+br+c=m的一个根，判断m的符号. 20.(12分)(2026安徽六安·一模)阅读材料，回答问题： 314 主 一元二次方程整数根的探究 题 提 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设为有理数，已知方程 出 问 x2-(V3+1)x+5n-6=0 有一个整数根，令方程中一个整数根为心，那么必有m=” 题 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 分 设n为有理数，已知方程-(5+)r+V5n-6=0 有一个整数根，令方程中一个整数根为，将m 析 探 代入一元二次方程得： m2-(N5+1)m+V3n-6=0 整理得： ①，由为整数知： 究 ②是整数，v5(m-m 一定是整数，一m-”是有理数，m-n=0,∴m=n 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的 研究，借此，小余提出了问题并回答了问题 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c,对于任意实数x,都有 (x+a)(x-15)-25=(x+b(x+c）,求a的可能值. 解法一：由+0x-15)-25=(c+bx+c得b+c-a+15)x+bc+25+15a=0 推 [b+c=a-15 广 :x具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得bc=-25-l5a 延 伸 ∴.bc+15(b+c）+152=-25 即6+15e+15)=-1x25=-5x5=1x(-2) [b+15=-1 从而有c+15=25或③】 或④】 即b+c=-6或b+c=-30或b+c=-54. 当b+c=-6时，a=9,同理⑤ 或⑥】 综上，α的可能值即可得出. [b+c=a-15 解法二：在上面，我们已经求得bc=-15a-25… 请将①②③④⑤⑥补充完整. 414 2026-2027学年度人教版数学九年级上册 周测 周测01 一元二次方程的概念 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 3．（25-26八年级下·广西百色·期末）用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】一元二次方程的一般形式为， ∵给定方程为，符合一般形式， ∴对比可得，，． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 5．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 8．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 9．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 10．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】；3 【分析】此题考查了一元二次方程的根，分式的化简求值，先计算括号内的分式加减法，再计算分式的除法，得到化简结果，再把方程变形后整体代入即可求出计算结果． 【详解】解：原式 ．…………………6分 ∵是方程的根， ∴， ． 原式．…………………8分 12．（10分）（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；…………………2分 （2）解：由题知，方程的倒方程为，…………………4分 将代入此方程得，， 解得；…………………6分 （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是，…………………7分 ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴．…………………10分 13．（12分）（25-26八年级下·安徽池州·期末）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得．…………………4分 ，；…………………6分 （2）解：， ， ，…………………8分 ， 即，…………………10分 ．…………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学九年级上册 周测 周测01 一元二次方程的概念 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 3．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 5．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程求出参数k的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得 ，化简得， 解得， 原方程为，对方程左边因式分解得， 解得或， 因此方程的另一个根为． 6．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 7．（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 8．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 10．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 11．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 12．（25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（8分）（2025·重庆·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ．…………………6分 ∵是方程的根， ∴， ∴原式．…………………8分 16．（8分）（24-25九年级上·河南许昌·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 【答案】满足条件的一元二次方程为或 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 解得，，，…………………4分 ∴满足条件的一元二次方程为或．…………………8分 17．（8分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴；…………………4分 （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得…………………8分 18．（12分）（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【答案】(1)； (2)见详解 【分析】（1）先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据等腰三角形两底角相等求出的度数，最后用减去得到的度数； （2）先通过勾股定理求出的长度，进而得到的表达式，再通过代入验证或解一元二次方程的方式，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，…………………1分 ∵， ∴，…………………3分 ∵， ∴．…………………5分 （2）解：是，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴．…………………7分 当时， …………………8分 …………………10分 ． ∴的长度是方程的一个根．…………………12分 19．（12分）（25-26八年级上·福建福州·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：； (2)若是的一个根，判断的符号． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义． （1）根据已知等式得出，代入进而根据，得出式子的符号，即可得证； （2）根据一元二次方程的解的定义可得，代入，结合条件化简并判断符号，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， …………………2分 ， ，…………………4分 …………………6分 （2）解：是的根， ， ，…………………8分 ， ， ，………………10分 ， ， ．…………………12分 20．（12分）（2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得：_______①，由m为整数知：________②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③_______或④________即或或． 当时，，同理⑤_________或⑥__________综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；…………………2分 ②；…………………4分 ③；…………………6分 ④…………………8分 ⑤当时，；…………………10分 ⑥当时，…………………12分 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． / 学科网（北京）股份有限公司 $