考点01 一元二次方程的概念3考点5题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“定义-形式-根-参数-建模”为逻辑主线，通过三步验证、四步转化等方法模板，系统构建一元二次方程概念的理解与应用体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点与题型|3考点+5题型，含多省市月考/期末真题|定义判断“三步验证”、一般形式“四步转化”、参数求解“定次定系数”、建模“审设列”流程|从概念本质（定义）到形式规范（一般式），再到性质应用（根）、参数计算及实际建模，形成“概念生成-形式转化-应用拓展”的完整逻辑链|

考点01 一元二次方程的概念 考点一：一元二次方程的定义（必考点） 只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 例：下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 解题步骤：用“三步验证法”逐一判断 1. 验证整式方程：选项C分母含未知数，不是整式方程，排除； 2. 验证一元：选项D含2个未知数，排除； 3. 验证二次：选项B最高次数为1，排除；选项A满足所有条件。 答案：A 考点二：一元二次方程的一般形式（高频考点） 一般形式（精准识记）： ：二次项，：二次项系数（，必须强调）； ：一次项，：一次项系数（可为0）； ：常数项（可为0）。 例：将方程 化为一般形式，并写出各项系数。 解题步骤（严格遵循化一般形式四步）： 1. 去括号：； 2. 移项：； 3. 合并同类项：； 4. 写系数（带符号）：二次项系数1，一次项系数1，常数项-7（规避“不带符号”陷阱）。 解：去括号→→移项合并→ 二次项：，系数；一次项：，系数 ；常数项： 考点三：一元二次方程的根（基础考点） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（或解）。 例：已知 是方程 的根，求 的值。 解题步骤（代入法）： 1. 代入：将 代入方程，得 ； 2. 求解：化简方程为 ，解得 。 解：代入得 → 题型一：一元二次方程的定义 三大核心条件（缺一不可·点方法） 判断方法模板：先化简→再判断（三步验证） 整式方程：分母不含未知数，无根号含未知数（验证：看分母、根号内是否有未知数，如 、 都不是）； 一元：仅含1个未知数（验证：看方程中未知数的个数，如 含2个未知数，不是）； 二次：化简后未知数最高次数为2，且二次项系数≠0（验证：合并同类项后，看最高次项次数和系数）。 易错点1：不化简直接判断（陷阱）：如 ，未化简时看似有二次项，化简后为 ，实际是一元一次方程； 解决方法：判断前必须先去括号、移项、合并同类项，再验证三大条件。 易错点2：忽略二次项系数不为0（陷阱）：二次项系数含参数时，易忘记“系数≠0”的前提； 解决方法：若方程为一元二次方程，先明确“二次项系数≠0”，再结合最高次数为2求解参数（如 是一元二次方程，则 ）。 例：（25-26九年级上·江苏扬州·月考）下列方程中，关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一元二次方程； B、含有2个未知数，不是一元二次方程； C、当时，方程不是一元二次方程； D、含有2个未知数，且含有分式，不含2次项，不是一元二次方程. 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 对各选项分析如下： A选项：，满足三个条件，是一元二次方程． B选项：，满足三个条件，是一元二次方程． C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程． D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、，即，是一元二次方程，故选项符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期中）下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【详解】解： ① ：未明确，若则不是二次方程，故不满足； ② ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ③ ：展开得 ，最高次数为3，故不满足； ④ ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ⑤ ：含两个未知数x和y，故不满足； ⑥ ：展开得 ，最高次数为4，故不满足； ⑦ ：满足一元二次方程条件，故满足； ⑧ ：满足一元二次方程条件，故满足． ∴ 只有⑦和⑧是一元二次方程，共2个． 故选：C． 题型二：一元二次方程的一般形式 化一般形式的步骤（点方法·定步骤） 1.去分母：等式两边同乘所有分母的最小公倍数（无分母可省略）； 2.去括号：遵循“括号前是正号，去括号不变号；括号前是负号，去括号全变号”； 3.移项：将所有项移到等式左边，右边化为0（移项要变号）； 4.合并同类项：将同类项合并，按二次项→一次项→常数项排列，二次项系数化为正整数（习惯要求，便于后续解题）。 易错点1：写系数时不带符号（陷阱）：如 ，易误将二次项系数写为2、常数项写为1； 解决方法：系数包含前面的符号，先确定各项符号，再写系数。 易错点2：忽略的前提（陷阱）：易误认为 一定是一元二次方程； 解决方法：牢记“”是一元二次方程一般形式的前提，若 ，则方程变为 ，是一元一次方程。 例：（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∴该方程的一般形式为， 故选A 【变式2-1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 【变式2-3】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为： 【变式2-4】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：， 即， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9． 题型三：一元二次方程的根（解） 核心性质+解题方法（点方法·提效率） 性质：一元二次方程最多有2个实数根（可相等、可不等、可无实根）； 核心方法：代入法求参数（高频题型）：若 是方程 的根，将 代入方程，可得到关于参数的一元一次方程，求解即可。 例：（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得； 又∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∴直线为， ∵， ∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限， 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【详解】 m是方程的一个根，， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 【变式3-3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】3 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 【变式3-4】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四：根据定义求参数 解题模板（点方法·定思路） 1.定次数：令未知数的最高次数=2（保证“二次”）； 2.定系数：令二次项系数≠0（保证是“二次方程”，而非一次方程）； 3.解参数：联立上述两个条件求解，排除使二次项系数为0的解（关键步骤，规避陷阱）。 例：方程 是一元二次方程，求 的值。 解题步骤（套用模板，规避“忽略二次项系数≠0”陷阱）： 1. 定次数：，解得 ； 2. 定系数：，解得 ； 3. 排除不合理解：舍去，最终 。 解：→→ 【变式4-1】（25-26九年级上·河南新乡·月考）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 【变式4-4】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【变式4-5】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 题型五：建立一元二次方程模型 解题步骤（点方法·梳流程） 1.审：审清题意，找出题目中的等量关系（核心，列方程的依据）； 2.设：设未知数（直接设：设问题所求的量；间接设：若直接设不便列方程，设与所求量相关的量）； 3.列：根据等量关系列方程（不化简也可，后续再化一般形式，避免因化简出错）。 常见模型（点方法·记模型） 面积问题：矩形面积=长×宽、三角形面积=底×高÷2（结合图形找等量关系）； 增长率问题：（ 为基数， 为增长率， 为终值；若为降低率，公式为 ）。 例：矩形花圃长比宽多10m，面积200m²，设宽为m，列方程。 解题步骤（规避“未知数意义不清”陷阱）： 1. 审：等量关系为“长×宽=面积”； 2. 设：设宽为m，则长为m（明确未知数代表的量，避免混淆长和宽）； 3. 列：根据等量关系列方程，得 ，化为一般形式为 。 解：长为m→→一般形式： 【变式5-1】（面积模型·矩形）：矩形花圃长比宽多10m，面积200m²，设宽为m，列方程并化为一般形式。 解题步骤（规避“未知数意义不清”陷阱）： 1. 审：等量关系为“长×宽=面积”； 2. 设：设宽为m，则长为m（明确未知数代表的量，避免混淆长和宽）； 3. 列：根据等量关系列方程，得 ； 4. 化一般形式：移项合并，得 。 解：长为m→→一般形式： 【变式5-2】（增长率模型）：某工厂2024年的产值为100万元，2026年的产值计划达到144万元，设这两年的年平均增长率为，列方程。 解题步骤（规避“增长率与降低率混淆”陷阱）： 1. 审：等量关系为“基数×(1+年平均增长率)²=终值”（增长率用“+”，降低率用“-”）； 2. 设：设年平均增长率为（明确“增长率”的含义，避免误写为）； 3. 列：2025年产值为万元，2026年产值为万元，结合终值列方程：； 4. 可选化一般形式：展开移项，得 （化简为 ）。 解：根据增长率模型，列方程为 （一般形式：）。 【变式5-3】（面积模型·切割拼接）：一块长20m、宽15m的矩形铁皮，在四个角各剪去一个边长为m的正方形，剩余部分围成一个无盖的长方体铁盒，已知铁盒底面面积为126m²，列方程并化为一般形式。 解题步骤（规避“底面边长计算错误”陷阱）： 1. 审：等量关系为“铁盒底面长×底面宽=底面面积”； 2. 设：设剪去的正方形边长为m，明确底面边长：长为m、宽为m（四个角剪去正方形，两边各减少，避免误写为或）； 3. 列：根据等量关系列方程，得 ； 4. 化一般形式：去括号→，移项合并→（化简为 ）。 解：底面长m、宽m→→一般形式： 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 2．（25-26九年级下·重庆万州·期中）每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题思路是先确定每名学生对应的评审次数，再结合总评审次数列出方程． 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需要给其他每一位同学评审 ∴每名学生对应产生次评审 ∵已知总评审次数为 ∴可列方程为 3．（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总利润公式“总利润每盏利润销售量”，分别求出涨价后每盏台灯的利润和销售量，即可列出正确方程. 【详解】解：涨价元后，每盏台灯售价为元，进价为40元， ∴每盏台灯的利润为元； ∵售价每上涨1元，每天销售量减少10盏， ∴涨价元后，每天销售量为盏； ∵每天总利润为8000元， ∴可得方程. 4．（2026·辽宁沈阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据速度和时间表示出各段路程，再抽象出直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解： 如图， 由题意可得，，，， ∴由勾股定理得，． 5．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 6．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 【答案】C 【分析】本题根据两人写错系数的情况，分别得到正确的一次项系数和常数项，结合已知二次项系数得到原方程，再逐一判断选项，用到一元二次方程因式分解形式的初中知识点． 【详解】解：设原一元二次方程为 ，题目已知二次项系数为． ∵ 小冀写错常数项，一次项系数 正确，且小冀得到的两根为 和 ， ∴ 小冀写的方程为 ，展开得 ， ∴ 可得正确的一次项系数 ． ∵ 小豫写错一次项系数，常数项 正确，且小豫得到的两根为 和 ， ∴ 小豫写的方程为 ，展开得 ， ∴ 可得正确的常数项 ． 因此原方程为 ，因式分解得 ，原方程的根为 ． 逐一判断选项： A.原方程一次项系数为 ，A 错误． B.原方程常数项为 ，B 错误． C. 是原方程的一个根，C 正确． D. 不是原方程的根，D 错误． 7．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可． 【详解】解：∵起始会做实验的人数为1， 第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为， 第二轮教学后，新学会的人数为， ∴总会做人数为， 故选：D． 8．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 10．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 二、填空题 11．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 12．（2025·重庆·模拟预测）已知是方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】是方程的一个根，推出．推出，，整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴． ∴，， ， ． 13．（25-26九年级上·广西北海·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且 解得，且， 故； 故答案为：． 14．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）已知、、是非零实数，关于的一元二次方程，，有公共解，则代数式的值为__________． 【答案】或 【分析】设公共解为，代入三个方程后相加得到关于和的关系，分两种情况讨论，分别代入代数式计算其值即可． 【详解】解：设公共解为， 则，，， 三式相加得， 即， ∵， ∴或， 当时，即时， 原式 ； 当时，分别代入三个方程可得，， 联立两式解得， 此时； 综上所述，代数式的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解的应用，求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 三、解答题 15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 17．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系． （1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可； （2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可； （3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立． 【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程， 由题意可知， 解得：； （2）解：是方程的一个根， ，， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或； （3）证明：方程为“相似系”一元二次方程， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 一元二次方程的概念 考点一：一元二次方程的定义（必考点） 只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 例：下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 考点二：一元二次方程的一般形式（高频考点） 一般形式（精准识记）： ：二次项，：二次项系数（，必须强调）； ：一次项，：一次项系数（可为0）； ：常数项（可为0）。 例：将方程 化为一般形式，并写出各项系数。 考点三：一元二次方程的根（基础考点） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（或解）。 例：已知 是方程 的根，求 的值。 题型一：一元二次方程的定义 三大核心条件（缺一不可·点方法） 判断方法模板：先化简→再判断（三步验证） 整式方程：分母不含未知数，无根号含未知数（验证：看分母、根号内是否有未知数，如 、 都不是）； 一元：仅含1个未知数（验证：看方程中未知数的个数，如 含2个未知数，不是）； 二次：化简后未知数最高次数为2，且二次项系数≠0（验证：合并同类项后，看最高次项次数和系数）。 易错点1：不化简直接判断（陷阱）：如 ，未化简时看似有二次项，化简后为 ，实际是一元一次方程； 解决方法：判断前必须先去括号、移项、合并同类项，再验证三大条件。 易错点2：忽略二次项系数不为0（陷阱）：二次项系数含参数时，易忘记“系数≠0”的前提； 解决方法：若方程为一元二次方程，先明确“二次项系数≠0”，再结合最高次数为2求解参数（如 是一元二次方程，则 ）。 例：（25-26九年级上·江苏扬州·月考）下列方程中，关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期中）下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 题型二：一元二次方程的一般形式 化一般形式的步骤（点方法·定步骤） 1.去分母：等式两边同乘所有分母的最小公倍数（无分母可省略）； 2.去括号：遵循“括号前是正号，去括号不变号；括号前是负号，去括号全变号”； 3.移项：将所有项移到等式左边，右边化为0（移项要变号）； 4.合并同类项：将同类项合并，按二次项→一次项→常数项排列，二次项系数化为正整数（习惯要求，便于后续解题）。 易错点1：写系数时不带符号（陷阱）：如 ，易误将二次项系数写为2、常数项写为1； 解决方法：系数包含前面的符号，先确定各项符号，再写系数。 易错点2：忽略的前提（陷阱）：易误认为 一定是一元二次方程； 解决方法：牢记“”是一元二次方程一般形式的前提，若 ，则方程变为 ，是一元一次方程。 例：（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【变式2-2】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-3】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________． 【变式2-4】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 题型三：一元二次方程的根（解） 核心性质+解题方法（点方法·提效率） 性质：一元二次方程最多有2个实数根（可相等、可不等、可无实根）； 核心方法：代入法求参数（高频题型）：若 是方程 的根，将 代入方程，可得到关于参数的一元一次方程，求解即可。 例：（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______． 【变式3-3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【变式3-4】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 题型四：根据定义求参数 解题模板（点方法·定思路） 1.定次数：令未知数的最高次数=2（保证“二次”）； 2.定系数：令二次项系数≠0（保证是“二次方程”，而非一次方程）； 3.解参数：联立上述两个条件求解，排除使二次项系数为0的解（关键步骤，规避陷阱）。 例：方程 是一元二次方程，求 的值。 【变式4-1】（25-26九年级上·河南新乡·月考）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【变式4-2】（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【变式4-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【变式4-4】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【变式4-5】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 题型五：建立一元二次方程模型 解题步骤（点方法·梳流程） 1.审：审清题意，找出题目中的等量关系（核心，列方程的依据）； 2.设：设未知数（直接设：设问题所求的量；间接设：若直接设不便列方程，设与所求量相关的量）； 3.列：根据等量关系列方程（不化简也可，后续再化一般形式，避免因化简出错）。 常见模型（点方法·记模型） 面积问题：矩形面积=长×宽、三角形面积=底×高÷2（结合图形找等量关系）； 增长率问题：（ 为基数， 为增长率， 为终值；若为降低率，公式为 ）。 例：矩形花圃长比宽多10m，面积200m²，设宽为m，列方程。 【变式5-1】（面积模型·矩形）：矩形花圃长比宽多10m，面积200m²，设宽为m，列方程并化为一般形式。 【变式5-2】（增长率模型）：某工厂2024年的产值为100万元，2026年的产值计划达到144万元，设这两年的年平均增长率为，列方程。 【变式5-3】（面积模型·切割拼接）：一块长20m、宽15m的矩形铁皮，在四个角各剪去一个边长为m的正方形，剩余部分围成一个无盖的长方体铁盒，已知铁盒底面面积为126m²，列方程并化为一般形式。 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·重庆万州·期中）每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西晋城·一模）某家电商铺售卖符合1级能效标准的节能台灯，每盏台灯的进价为40元，当售价定为每盏50元时，每天可售出500盏台灯．经市场调研发现，该台灯每盏售价每上涨1元，每天的销售量就会减少10盏．若设此款台灯每盏上涨x元（x为正整数），且该商铺每天销售该台灯的总利润为8000元，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 6．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 7．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 9．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 12．（2025·重庆·模拟预测）已知是方程的一个根，则______． 13．（25-26九年级上·广西北海·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 14．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）已知、、是非零实数，关于的一元二次方程，，有公共解，则代数式的值为__________． 三、解答题 15．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 17．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 18．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $