第二十六章 二次函数 单元测试培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册二次函数单元培优卷，覆盖图像性质、解析式、最值等核心知识，结合物理抛体、商场利润等真实情境，通过综合实践与新定义题型，适配单元复习，提升数学建模与创新应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数图像与性质、平移、解析式确定|第3题结合一次函数图像辨析，考查几何直观| |填空题|5/15|二次函数定义、图像交点、最值应用|第14题矩形对角线最小值，体现空间观念| |解答题|8/75|证明、应用题、综合实践、新定义|17题物理抛体运动（模型意识）、22题纸盒制作（创新意识）、20题“阶点”定义（抽象能力）|

第二十六章二次函数单元测试培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟) 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的) 1.已知二次函数y=x2的图象过点(a,b),则它必过的另一点是（) A.(a,-b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(b,a) 2.在平面直角坐标系中，将函数y=(x-1)+4的图象先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为() A.y=(x+1)+5 B.y=(x+1)+3 C.y=(x-3)2+3 D.y=(x-3)2+5 3.函数y=ax2和y=-ax+a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为 （) 4.已知抛物线y=ax2+bx+c过(1,0)，(2,0)，(3,4)三点，则该抛物线的解析式为 (). A.y=x2-3x+2 B.y=2x2-6x+4 C.y=2x2+6x-4 D.y=x2-3x-2 5.已知点A(-3,y1,B(-1,y2),C(2,y3)都在抛物线y=x2上，则y1,y2,y3的大小 关系是() A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 1 6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，y与x的部分对应值如表所示，下列说 法错误的是(). -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m A.m=0 B.当x<1时，y随x的增大而减小 C.顶点坐标为(1,4) D.开口向下 7.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是() Ak>-子 B.k>-且k≠0 C.k D.k≥-且k≠0 8.如图，已知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶点分别在AB,BC,CD, AD上.设正方形EFGH的面积是S,AE的长是x,则下列说法正确的是() A.当x=时，S有最小值 B.当x=时，S有最大值 C.S随x的增大而减小 D.S随x的增大而增大 G 第8题图 第10题图 9.已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于A(1-m,0),B(m+1,0)两点， 在-2≤x≤3的抛物线上有一点P,其纵坐标为n,若3≤c≤4，则n的取值 范围是() A.-4≤n≤4 B.n≤-4或n≥4 C.-5≤n≤5 D.n≤-5或n≥5 10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，有下列结论：①abc>0: ②8a+c>0:③9a+3b+c<0,其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 2 11.若函数y=(m+3)xm2+5m-12+9为二次函数，且当x<0时，y随x的增大 而增大，则m= 12.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,4), B(1,1),则不等式ax2≤bx+c的解集是 VA 第12题图 第14题图 13.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质.甲： 函数图象的顶点在x轴上；乙：当x<1时，y随x的增大而减小；丙：该函数图 象的形状与函数y=x的图象相同.已知这三名同学的描述都正确，请你写出一 个满足上述所有性质的二次函数表达式： 14.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-4x+5上运动，过点A 作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小 值为 15.当0≤x≤1时，y=2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为 ,则b的值 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 16.(8分)已知抛物线y=x2-（2m-1)x+m2-m. (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点： (2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值， 17.(8分)如图，根据物理学规律，现把一个物体从地面以10米/秒的速度竖 直向上抛，且物体离地时间x(秒)与物体离地面的高度h(米)之间的关系式 为h=10x-4.9x2请解答下列问题： (1)物体经过 秒落回地面： (2)当h=0.4时，求x的值. 18.（9分)某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元.为 了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1 元，商场平均每天可多售出2双. （1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出双鞋子. (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价 元 19.(9分)如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中 的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA 距离为6，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐 标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1:y=a(x- 3)2+2的一部分，小静恰在点C(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨 迹为抛物线C2:y=一日2+日x+c+1的一部分. (1)求a,c的值 (2)小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以 接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值. Ay/m C A m 图1 图2 20.(9分)定义：平面直角坐标系x0y中，点P(a,b)Q(c,d)若满足c-a=k(d-b), 其中k为常数，且k≠0，则称点P与点Q互为“k阶点”，例如点(2,3)与点(-1,4) 互为“-3阶点”. (1)若抛物线y=x2+2x+c的顶点与点(1，-2)互为“4阶点”，求c的值： (2)对于动点P(,2-)(t≠0)，若抛物线y=x2+3x+1上只存在一个点与 点P互为“t阶点”，求t的值 5 21.（10分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A,B, C三点，点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0，一3)，动点P在抛物线上 (1)b=一，c=一，点B的坐标为一· (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC边为直角边的直角三角形？若存在，求出 所有符合条件的点P的坐标：若不存在，说明理由. B 22.(10分)综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为80cm,宽为40cm的长方 问题 形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸 背景 盒（接头处忽略不计） 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直 角处裁掉四个边长为xcm的正方形，再在中 E 间裁掉一块正方形BCFE,分别沿着虚线折 实践 起来，其中一个纸盒的底面是矩形ABCD 活动 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左 右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边 长为xcm的正方形，再沿虚线折起来，其中 一个纸盒的底面是正方形ABCD 6 问题解决： (1)在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面AB边的长： ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积y(cm)与x(c)的函数关系式，并求出单个 无盖纸盒体积的最大值： (2)在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积y(cm3)与x(cm)的函数关 系式 (3)将(2)中的y与x的几组对应值列表： x/cm 1 3 5 6 8 10 15 19 y/cm3 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y), 并用平 滑曲线连接。 y/cm 5000 4000 3000 2000 1000 1234567891011121314151617181920x/cm (4)若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸 盒体积的大小. 23.（12分)如图，二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x轴分别交于 点A(-4,0)、B两点，与y轴交于点C,直线CD平行于x轴，交抛物线于点D,CD= 0C. (1)求该二次函数的解析式： (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t,连接PC、PD,设△PCD的面 积为，求S关于t的函数关系式： (3)在(2)的条件下，延长DP交x轴于点M,点N在C点上方的y轴上，连接 DN,使∠DNC-∠DMA=45°，若BM=2CN,求△PCD的面积. D D B 备用图1 备用图2 第二十六章 二次函数 单元测试培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 2．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 3．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 4．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵抛物线过点，，∴设抛物线解析式为，将代入解析式，得，解得，∴． 5．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，，. 6．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【解析】由表可知，点和的纵坐标相同，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，∵当时，最大，∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，当与时，到对称轴的距离相等，∴值相等，∵时，，∴时，．故选． 7．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【解析】∵是二次函数，∴ ，∵ 函数图象与轴有交点，∴ ，即，解得，综上，的取值范围是且． 8．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【解析】四边形为正方形，四边形也是正方形，，，，，，在和中，， ，，，在中，，面积，，，当时，S有最小值. 9．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】∵抛物线与x轴交于两点，∴抛物线的对称轴为直线，∴，解得，∴，∴顶点为，∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，∴时，，当时，，∵，∴，∴n的取值范围是． 10．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】由抛物线开口向上得；∵抛物线的对称轴为，则，故；∵抛物线交轴于负半轴得，，故①正确；根据①可将抛物线的解析式化为，由函数的图象知，当时，，即，故②正确；根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，当时，，所以当时，也有，即，故③正确．所以正确的有3个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【答案】 【解析】∵函数是二次函数，∴ 解得或∵时随的增大而增大，∴，∴，∴． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 13．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵函数图象的顶点在轴上，∴设二次函数的解析式为， ∵该函数图象的形状与的图象相同，∴，∵当时，随的增大而减小，∴抛物线开口向上，∴，∴，且对称轴，∴取，可得满足所有性质的二次函数为． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_________． 【答案】1 【解析】，则抛物线的顶点坐标是．当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1．∵四边形是矩形，∴，∴对角线的最小值是1． 15．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或 【解析】∵ 中，∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，又∵ ，∴ ，分情况讨论：①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小，∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值，由题意得 ，解得 ，不符合，故舍去；②当，即时，此时最小值在对称轴处，∴的最小值为，∵抛物线开口向上，∴离对称轴越近，函数值越小，又∵，∴当时，取得最大值，由题意得 ，整理得 ，解得 或（其中与题设矛盾，舍去）；③当，即时，同理，此时的最小值为，∵，∴当时，取得最大值，由题意得 ，整理得 ，解得 或（其中与题设矛盾，舍去）；综上，的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）已知抛物线． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】（1）证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴，整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 17．（8分）如图，根据物理学规律，现把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直向上抛，且物体离地时间x（秒）与物体离地面的高度h（米）之间的关系式为请解答下列问题： （1）物体经过_______秒落回地面； （2）当时，求x的值． 【答案】解：（1）；【解析】当时，，解得，（不合题意，舍去），即物体经过秒落回地面； （2）由题意，得， 即， ， ， 解得。 ∴当时，x的值为或2． 18．（9分）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． （2）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? （3）若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】（1）80；【解析】（双），∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）16．【解析】设每双降价x元．由题意得，解得，让顾客尽可能得实惠，，∴每双鞋子应降价16元． 19．（9分）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． （1）求，的值． （2）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】解：（1）由题意，得， 将代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线＋2， ∴时，，∴． （2）∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得， 当抛物线经过点时， ， 解得， ∴， ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 20．（9分）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． （1）若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； （2）对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 【答案】解：（1）∵， ∴顶点坐标为， 由题意，得：， 解得：； （2）设与点互为“阶点”的这一点为， 根据“阶点”的定义可得：， 整理得：， ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得或． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． （1）_______，______，点B的坐标为______． （2）是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1），，；【解析】把和代入，得，解得，∴，∴抛物线的对称轴为直线，∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 22．（10分）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： （1）在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； （2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． （3）将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． （4）若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 【答案】（1）①；【解析】根据题意，得． ②根据题意，得； ∵，， ∴当时，y有最大值，即单个无盖纸盒体积的最大值为． （2）； （3）描点、画函数图象如解图所示； （4）画出方案一的函数图象，如解图所示． 由图象可知，当时，方案二的纸盒体积更大；当时，两个方案的纸盒体积一样大；当时，方案一的纸盒体积更大． 23．（12分）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】解：（1）对于二次函数，令，则， ∴，∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）对于二次函数， 令，则， 解得，，∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 单元测试培优卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 3．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 4．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 5．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 7．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 8．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 第8题图 第10题图 9．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 10．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 第12题图 第14题图 13．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_________． 15．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）已知抛物线． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 17．（8分）如图，根据物理学规律，现把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直向上抛，且物体离地时间x（秒）与物体离地面的高度h（米）之间的关系式为请解答下列问题： （1）物体经过_______秒落回地面； （2）当时，求x的值． 18．（9分）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． （1）若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． （2）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? （3）若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 19．（9分）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． （1）求，的值． （2）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 20．（9分）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． （1）若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； （2）对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． （1）_______，______，点B的坐标为______． （2）是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 22．（10分）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： （1）在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； （2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． （3）将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． （4）若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 23．（12分）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $