第二十六章二次函数 章末训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习为九年级上册二次函数章末训练，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识进阶，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数定义、对称轴、交点坐标等单一概念|以选择填空为主，如第1题辨析二次函数定义，第11题直接求对称轴，夯实基础| |综合应用|图像变换、性质综合、根的判别等跨知识点结合|结合图像分析，如第8题多结论判断，第14题利用图像解不等式，提升推理能力| |拓展探究|实际问题建模、动态几何、最值探究等复杂应用|设置生活情境，如第19题栅栏面积问题、第21题动点面积最值，培养模型意识与创新思维|

第二十六章二次函数章末训练2026-2027学年 人教版九年级上册 一、选择题 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1 【答案】D 2.已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 3．将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 4．已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 5．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 6．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（   ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】A 7．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 8.如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 9．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 10．如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 二、填空题 11．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 12．已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】/ 13.已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … 若在这三个实数中，只有一个是正数，则的取值范围是__________. 【答案】## 14．如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为 ． 【答案】或 15.如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 【答案】 16．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 三、解答题 17.如图是抛物线的图象． （1）当取何值时，的值随着的增大而增大？ （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】 【小问1详解】 解：由图象可知，顶点坐标为， ∵该抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大； 【小问2详解】 解：由图象可知，抛物线经过点和 将点和代入抛物线中， 解得：，， 所以该抛物线解析式为：； 把代入得 故抛物线与轴的交点坐标为． 18．已知抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），且经过点（2，c）. （1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标. （2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求t的值. 【答案】（1）解：方法一：∵抛物线经过（2，c）和（0，c） ∴抛物线的对称轴为直线， ∴（－1，0）的对称点为（3，0）， 即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）； 方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入得 ，解得， ∴抛物线的表达式为， 令得，，解得，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）. （2）解：∵， ∴，， ∴当时，当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N， ∵， ∴， 令得，，解得（舍），， ∴. 19.为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m． （1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？ （2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2 （2）当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2 【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2， x（27﹣3x）＝42， 解得x1＝2，x2＝7， 当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去； 当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意； 答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2； （2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am， S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+， ∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝， ∵， 解得6≤a＜9， ∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54， 答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2． 20.某县古镇地摊上出售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：，设这种双肩包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) 解：， 与之间的函数解析式； (2) 解：根据题意得：， ， ∴当时，有最大值，最大值是400； (3) 解：当时，， 解得，， ， ∴不符合题意，舍去， 即该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为30元． 21.已知二次函数的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线上方的抛物线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)当P是抛物线顶点时，求面积． (3)在P点运动过程中，求面积的最大值． 【答案】（1）解：分别将、代入二次函数解析式中， 当时，，则， 当时，，， 根据二次函数的图像可知，点， 设直线的解析式为： 将，代入， 得：， 解得： ∴直线的解析式为． （2）由，将其化为顶点式为，可知顶点P为， 如图P为顶点时连接并延长交x轴于点G， 设直线的解析式为， 将P点和C点代入得，解得， 则的解析式为， 即G为， 那么=3； （3）过点作轴交于点． 设点的坐标为()，则点的坐标为 ∴， 当时，取最大值，最大值为． ∵， ∴面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章二次函数章末训练2026-2027学年 人教版九年级上册 一、选择题 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1 2.已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 3．将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式（   ） A． B． C． D． 4．已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 5．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 6．二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（   ）    A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 7．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像大致为（ ） A．B．C．D． 8.如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 11．抛物线的对称轴是直线 ． 12．已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为 ． 13.已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … 若在这三个实数中，只有一个是正数，则的取值范围是__________. 14．如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为 ． 15.如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 16．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 三、解答题 17.如图是抛物线的图象． （1）当取何值时，的值随着的增大而增大？ （2）求抛物线与轴的交点坐标． 18．已知抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），且经过点（2，c）. （1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标. （2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求t的值. 19.为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m． （1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？ （2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 20.某县古镇地摊上出售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：，设这种双肩包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该地摊销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 21.已知二次函数的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线上方的抛物线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)当P是抛物线顶点时，求面积． (3)在P点运动过程中，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $