3.6 正多边形与圆 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦正多边形与圆的核心知识点，系统梳理正多边形与圆的关系、中心、半径、中心角、边心距等概念，衔接圆的综合应用，涵盖基本型、运动型、变换型、存在型（特殊三角形、四边形）、最值型、创新型等题型，构建从概念理解到问题解决的学习支架。 资料特色在于分层题型设计与核心素养融合，通过正多边形剪纸问题（典例1）培养几何直观（数学眼光），运动型步道散步题（题型3）训练空间观念与推理能力（数学思维），存在型特殊四边形探究（题型7）强化模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后过关验收帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

3.6 正多边形与圆 内 容 导 航 题型1 正多边形和圆 题型2 圆的综合_基本型 题型3 圆的综合_运动型 题型4 圆的综合_变换型 题型5 圆的综合_存在型 题型6 圆的综合_存在型_特殊三角形 题型7 圆的综合_存在型_特殊四边形 题型8 圆的综合_最值型 题型9 圆的综合_创新型 考 点 演 练 题型1 正多边形和圆 解｜题｜知｜识 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【典例1】在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图所示，则∠1的度数是（　　） A．72° B．65° C．60° D．54° 【变式1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（　　） A． B．3 C．6 D． 【变式2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【变式3】在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为　 ． 题型2 圆的综合_基本型 【典例1】已知AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若⊙O的半径为R，求证：； （3）如图3，延长AD交⊙O于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F．若BC＝7，，∠ACB＝60°，求CF的长． 【变式1】已知四边形ABCD内接于⊙O，，连接AC． （1）如图1，若∠BAD＝60°，求∠ACD的度数； （2）如图2，连接BD，若BD恰好经过⊙O的圆心，且AB＝2CD＝4，求tan∠CAD的值； （3）如图3，在（2）的基础上，点M与点A关于直线BD对称，连接MB，MD，MD分别交线段BC，AC于点E，F，求ME的长． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心、OA长为半径的圆分别交AC，AB于点E，F，直线BC与⊙O相切于点D． （1）证明AD平分∠BAC； （2）若OA＝2，∠B＝30°，求涂色部分的面积（结果保留π和根号）． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C是切点，∠ADC＝90°，连接AC． （1）如图1，求证：AC平分∠BAD； （2）如图2，AD交⊙O于点E，若E是弧AC的中点，DE＝1，求长． 题型3 圆的综合_运动型 【典例1】身高1.6m的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯MN，其光源N到地面的距离为4.8m． （1）如图（1），步道为直线型（记为直线PQ）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线NB与地面的夹角（∠MBN）以及影子和步道的夹角（∠BAP）均为30°，则影子顶端（点B）到步道的距离（BC）为　　 m； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． （2）如图（2），步道为圆型（记为⊙O），其半径为4m．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【变式1】如图，已知A、B两点的坐标分别为，B（0，2），点P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°． （1）如图1，求点P的坐标； （2）如图2，连接BP，AP，在PB上任取一点E，连接AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时（不与B，P重合），探究BE、PG的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点Q是上一动点（不与A、P重合），连接PQ、AQ、BQ，当AQ＝1时，求PQ的长． 【变式2】如图1和图2，以数轴原点O为圆心，5为半径作⊙O．将一直角三角板60°角的顶点A在⊙O上滑动（保持点A在数轴的下方），直角顶点B始终在原点O右侧的数轴上滑动，斜边AC与⊙O的另一交点为D．已知三角板的直角边AB＝8，设点B在数轴上对应的数为x． （1）当点B落在⊙O上时，如图1，直接写出此时x的值，并求劣弧的长； （2）当直角边BC恰好与⊙O相切于点E时，如图2，求x的值； （3）连接OD， ①当三角板的顶点C与点O距离最小时，求点C到数轴的距离； ②当OD∥AB时，请直接写出数轴落在三角板ABC内部（包括端点）的长度． 【变式3】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒（t≥0），回答下列问题： （1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）如图2，当秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由； （3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 题型4 圆的综合_变换型 【典例1】如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是（　　） A．①③⑤ B．②③⑤ C．①②③ D．①②③④⑤ 【变式1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）如图1，先标注出点O，使得点O是△ABC的外接圆圆心．再画出直线OP，使得OP∥BC交AC于P； （2）如图2，D是AB上一点，先画出△ABC沿着AC翻折后的△AB1C；再过点D作直线DF，使得DF∥BC交AC于F； （3）如图3，在AC上取一点M，使；E是AB上一点，且点E在网格线上，再在AM上找一点N，使得EN∥BM． 【变式2】如图，⊙O的直径AB＝4，AC是弦，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． （1）如图1，当与AB相切于A时． ①为画出所在圆的圆心P，请选择你认为正确的答案．C 甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别作它们的中垂线，交点为P； 乙：分别以A、C为圆心，以AO为半径作弧，除O外两弧另一个交点即为圆心P． A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心P，求AC的长；直接写出此时∠CAO的度数． （2）如图2，当经过圆心O时，求AC的长； （3）如图3，当覆盖圆心且与直径交于点D，若∠CAO＝25°，直接写出∠ACD的度数． 题型5 圆的综合_存在型 【典例1】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： （1）如图1，几秒后，△BPQ的面积等于8cm2？ （2）在运动过程中，若以P为圆心、PA为半径的⊙P与BD相切（如图1），求t值； （3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q． ①如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值范围为 　 　 ．（直接写出结果，不需说理） 【变式1】给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）． （1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 D，F ； （2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1， ①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围； ②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围． 【变式2】在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E、F运动时间为t秒．回答下列问题： （1）如图1，当t为多少时，EF的长等于4cm？ （2）如图2，在点E、F运动过程中， ①求证：点A、B、F、P在同一个圆（⊙O）上； ②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为　 ． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10cm．点D从A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动；同时，点F从B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，移动过程中始终保持DE∥CB（点E在AB上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t（s）（其中t≠0）． （1）当t为何值时，四边形DEFC的面积为18cm2？ （2）是否存在某个时刻t，使得DF＝BE，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． （3）点E是否可能在以DF为直径的圆上？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由． 题型6 圆的综合_存在型_特殊三角形 【典例1】（1）如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 　 度； （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边△ABC的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得△PBE是等边三角形，进而得证．你能否写出完整的证明过程？ （3）【应用】如图③，已知四边形ABCP内接于圆O，∠ABC＝90°，，连接AC、PB，请直接写出线段PA、PB、PC之间的数量关系：　 ． 【变式1】已知⊙O的直径AB＝6，点C是⊙O上一个动点，D是弦AC的中点，连接BD． （1）如图1，过点C作⊙O的切线交直径AB的延长线于点E，且tanE； ①BE＝　　 ；②求证：∠CDB＝45°； （2）如图2，F是弧AB的中点，且C、F分别位于直径AB的两侧，连接DF、BF．在点C运动过程中，当△BDF是等腰三角形时，求AC的长． 【变式2】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4．点P为边BC上一动点（不与点B，点C重合），以BP为直径作圆，圆心记为点O，连接AP交⊙O于点E．过点B作BD∥AC，与⊙O交于点D，连接BE，DE． （1）当∠BDE＝45°时，求BP的长； （2）当△BDE为等腰三角形时，求所有满足条件的BP的长． （3）延长BE交边AC于点F，若k，求的值．（用含k的代数式表示，直接写出答案） 【变式3】已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）． （1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长； （2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆． ①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切； ②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连接QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7 圆的综合_存在型_特殊四边形 【典例1】已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r． （1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数； （2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由； （3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）． 【变式1】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒． 试解答下列问题： （1）如图1，当t为多少秒时，四边形DFCE的面积等于20cm2？ （2）如图1，点D在运动过程中，四边形DFCE可能是菱形吗？若能，试求t的值；若不能，请说明理由； （3）如图2，以点F为圆心，FC的长为半径作⊙F． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙F正好与四边形DFCE的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若⊙F与四边形DFCE至多有两个公共点，请直接写出t的取值范围． 题型8 圆的综合_最值型 【典例1】[模型建立] 如图①、②，点P分别在⊙O外、在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中PB为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则⊙O的半径为 　 　 ． （2）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点E在边BC上，且CE＝2，动点P在半径为2的⊙E上，则AP的最小值是 　 　 ． [拓展延伸] 如图④，点A（2，0），动点B在以P（4，4）为圆心，为半径的圆上，OB的中点为C，则线段AC的最大值为 　 ． 【变式1】问题提出 （1）如图①，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最小值为 　　 ； 问题探究 （2）如图②，P是正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝6，求AP的最小值； 问题解决 （3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝3千米，千米，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD区域的面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△APD的最小面积；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 【变式3】[问题提出] （Ⅰ）如图1，已知线段AB＝2，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1，则线段AC长度的最大值是 　　 ．[问题探究] （Ⅱ）如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为，求AE长度的最大值． [构建联系] （Ⅲ）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分△BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由． 题型9 圆的综合_创新型 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点“是 　 　 ； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长 　 　 ． （2）已知点M（0，3），N（，0）、对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，C为平面上一点，AB为⊙T上的一条弦．若点C绕AB的中点旋转α（0°＜α≤180°）与T重合，则称点C是弦AB关于⊙T的“α关联点”．已知⊙O的半径为2． （1）如图，点A（2，0），B（0，2）． ①在点，，C3（1，2）中，弦AB关于⊙O的α关联点为C2 ，其中α＝　　 °； ②已知点D是⊙O劣弧AB上的一个动点，点C为弦AD关于⊙O的60°关联点，直接写出点C纵坐标yc的取值范围； （2）已知MN为⊙O上的弦，且，⊙T经过点M和点P．若存在α（0°＜α＜90°）使得∠PMN＝90°+α，且在∠PMN的内部存在一个点既是MP关于⊙T的α关联点又是MN关于⊙O的180°﹣α关联点，直接写出⊙T半径r的取值范围． 过 关 验 收 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 　 　 ． 2．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正八边形的一边．则以AB为边的⊙O内接正多边形的边数为　 　 ． 3．如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连结BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝　 　 度；当DB＝DF时，BC的长为 　 　 ． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝5，求阴影部分的面积． 5．数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： （1）如图1，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，线段AD、CD与⊙O交于点E、F，试猜想∠B+∠D　　 180°（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想； （2）如图2，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； （3）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，求AD的长度． 6．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达 B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： （1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？ （2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动． （1）几秒钟后△DPQ的面积等于31cm2； （2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以点Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 8．已知关于x的一元二次方程kx2+（k+5）x+5＝0（k≠0）． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两根为x1、x2，且x1、x2都为整数，x1＜1＜x2，求整数k的值； （3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB为直径作⊙M，与y轴交于C、D．点P（a，1）在平面内运动． ①若点P在⊙M上，求a的值； ②若△PAB为锐角三角形，直接写出a的取值范围． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动． （1）几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2； （2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． （3）在点P、Q的运动过程中，几秒后△DPQ是直角三角形？请直接写出答案． 10．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数　　 ； （2）连接AI，判断△ADI的形状并说明理由； （3）若CI，，求△ABC的周长　　 ． 11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，若点P是线段CD上的动点（不与点C、D重合），则线段OP长度的取值范围是　 ． 12．[问题提出] （1）如图①，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，△ACD为等边三角形，AD＝6，则线段BD的长为　 　 ． [问题解决] （2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AC＝4，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B，D之间的最大距离； [问题探究] （3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角△ABC以及弓形BDC组成，其中∠B＝90°，AB＝7，BC＝8，DE＝2，点E为BC的中点，DE⊥BC，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 正多边形与圆 内 容 导 航 题型1 正多边形和圆 题型2 圆的综合_基本型 题型3 圆的综合_运动型 题型4 圆的综合_变换型 题型5 圆的综合_存在型 题型6 圆的综合_存在型_特殊三角形 题型7 圆的综合_存在型_特殊四边形 题型8 圆的综合_最值型 题型9 圆的综合_创新型 考 点 演 练 题型1 正多边形和圆 解｜题｜知｜识 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【典例1】在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图所示，则∠1的度数是（　　） A．72° B．65° C．60° D．54° 【答案】C 【解答】解：∵正六边形各外角相等， ∴∠160°， 故选：C． 【变式1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（　　） A． B．3 C．6 D． 【答案】C 【解答】解：连接OB、OC，如图： ∵⊙O的周长等于12π， ∴⊙O的半径OB＝OC6， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝6， 即正六边形的边长为6， 故选：C． 【变式2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【答案】B 【解答】解：连接OA、OE， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠AOE360°＝72°， ∵P为上一点， ∴∠APE∠AOE72°＝36°， 故选：B． 【变式3】在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为　 ． 【答案】42° 【解答】解：正方形的一个内角的度数90°， 正五边形的一个内角的度数108°， 正六边形的一个内角的度数120°， 则∠1的度数＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°， 故答案为：42°． 题型2 圆的综合_基本型 【典例1】已知AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若⊙O的半径为R，求证：； （3）如图3，延长AD交⊙O于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F．若BC＝7，，∠ACB＝60°，求CF的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图，作⊙O的直径AM，连接BM， ∴∠ABM＝90°，AM＝2R， ∵AD是△ABC 的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝∠AMB， ∴△ABM∽△ADC， ∴，即， ∴； （3）解：如图，连接OE， ∵EF为⊙O的切线， ∴∠OEF＝90°， ∵∠ACB＝60°，∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠EOC＝60°，∠F＝30°， ∵OE＝OC， ∴△OEC是等边三角形，∠OEC＝∠OCE＝60°， ∴∠CEF＝30°，∠CEF＝∠F， ∴CE＝CF＝R． 在Rt△ADC中，，∠ACB＝60°，， ∴CD＝3，BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4， 在Rt△ACD中，， 在Rt△ABD中，， 代入，得， 即． 【变式1】已知四边形ABCD内接于⊙O，，连接AC． （1）如图1，若∠BAD＝60°，求∠ACD的度数； （2）如图2，连接BD，若BD恰好经过⊙O的圆心，且AB＝2CD＝4，求tan∠CAD的值； （3）如图3，在（2）的基础上，点M与点A关于直线BD对称，连接MB，MD，MD分别交线段BC，AC于点E，F，求ME的长． 【答案】（1）∠ACD＝60°； （2）tan∠CAD； （3）ME． 【解答】解：（1）连接BD，如图1， ∵， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∵， ∴∠ACD＝∠ABD＝60°； （2）∵BD恰好经过⊙O的圆心，如图2， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∵AB＝AD＝2CD＝4， ∴CD＝2，BD＝4， ∴BC2， ∴tan∠CBD， ∵， ∴∠CAD＝∠CBD， ∴tan∠CAD＝tan∠CBD； （3）过点E作EG⊥BD于点G，如图3， 则∠BGE＝∠DGE＝90°， ∵点M与点A关于直线BD对称， ∴∠BDM＝∠BDA＝45°，MD＝AD＝4， ∴△DEG是等腰直角三角形， ∴DEDGEG， 设DG＝EG＝x，则DEx，BG＝4x， 由（2）知：tan∠CBD， ∴， 即， 解得：x， ∴DE， ∴ME＝MD﹣DE＝4． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心、OA长为半径的圆分别交AC，AB于点E，F，直线BC与⊙O相切于点D． （1）证明AD平分∠BAC； （2）若OA＝2，∠B＝30°，求涂色部分的面积（结果保留π和根号）． 【答案】（1）连接OD，如图， ∵BC与⊙O相切于点D， ∴BC⊥OD， ∴∠BDO＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠CAD， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠OAD， ∴AD平分∠BAC； （2）． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵BC与⊙O相切于点D， ∴BC⊥OD， ∴∠BDO＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠CAD， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠OAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：由（1）得，∠ODB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠DOF＝∠ODB﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∵OD＝OA＝2， ∴， ∵∠B＝30°， ∴OB＝2OD＝4， ∴， ∴， ∴涂色部分的面积． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C是切点，∠ADC＝90°，连接AC． （1）如图1，求证：AC平分∠BAD； （2）如图2，AD交⊙O于点E，若E是弧AC的中点，DE＝1，求长． 【答案】（1）连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠OCD＝180°， ∴AD∥OC， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠OAC， ∴AC平分∠BAD． （2）． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠OCD＝180°， ∴AD∥OC， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠OAC， ∴AC平分∠BAD． （2）解：连接OC，CE，OE， ∵∠OAC＝∠CAD， ∴， ∵E是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴∠BOC＝∠COE＝∠AOE180°＝60°， ∵OE＝OC， ∴△OCE是等边三角形， ∴CO＝CE，∠OCE＝60°， ∴∠ECD＝90°﹣∠OCE＝30°， ∵DE＝1，∠ADC＝90°， ∴OC＝CE＝2DE＝2， ∴． 题型3 圆的综合_运动型 【典例1】身高1.6m的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯MN，其光源N到地面的距离为4.8m． （1）如图（1），步道为直线型（记为直线PQ）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线NB与地面的夹角（∠MBN）以及影子和步道的夹角（∠BAP）均为30°，则影子顶端（点B）到步道的距离（BC）为　　 m； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． （2）如图（2），步道为圆型（记为⊙O），其半径为4m．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】（1）①；②见解析； （2）12π m． 【解答】解：（1）①如图，由题意得，AE＝1.6m， 当小明步行到点A处时，路灯光线NB与地面的夹角（∠MBN）以及影子和步道的夹角（∠BAP）均为30°时，即∠BAP＝∠MBN＝30°， ∴Rt△ABE中，BE＝2AE＝3.2m，， ∴Rt△ABE中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（BC）为， 故答案为：； ②方法一：如图，作MD⊥PQ，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，AE∥MN， ∴△BAE∽△BMN， ∴， ∴， ∵MD⊥PQ，BC⊥PQ， ∴∠BCA＝∠MDA＝90°， 又∵∠BAC＝∠MAD， ∴△BAC∽△MAD， ∴， ∴， ∵MD是定值， ∴BC是定值，即影子顶端到步道的距离不变； 方法二：如图，设小明头顶为E，当他走到PQ上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为DF，连接BF，作FH⊥PQ，垂足为H， 由题意得，AE∥MN∥GD，BC∥FH， ∴△BAE∽△BMN， ∴， 同理，， 又∵AE＝DG， ∴， ∴， 又∵∠AMD＝∠BMF， ∴△AMD∽△BMF， ∴∠MAD＝∠MBF， ∴AD∥BF， 又∵BC∥FH， ∴四边形BCHF是平行四边形， ∴HF＝BC， ∴HF是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）如图，设小明头顶为E，连接OA，过D作GD∥OA交MO延长线于G， 由题意得，AE∥MN， ∴△DAE∽△DMN， ∴， ∴， ∵GD∥OA， ∴△MDG∽△MAO， ∴， ∴，， ∵MO是定值， ∴MG是定值，即G位置固定不变， ∵⊙O半径为4m，即OA＝4， ∴， ∴点D运动轨迹为以G为圆心，DG＝6为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为2π×6＝12π m． 【变式1】如图，已知A、B两点的坐标分别为，B（0，2），点P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°． （1）如图1，求点P的坐标； （2）如图2，连接BP，AP，在PB上任取一点E，连接AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时（不与B，P重合），探究BE、PG的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点Q是上一动点（不与A、P重合），连接PQ、AQ、BQ，当AQ＝1时，求PQ的长． 【答案】（1）； （2）将AB绕点A顺时针旋转90°到点C，连结PC，CF， 由（1）得△BPA是等腰直角三角形， ∴∠PBA＝45°，∠PAB＝45°， ∴∠PAC＝90°﹣∠PAB＝45°＝∠PAB， ∵BA＝AC，∠PAB＝∠PAC，AP＝AP， ∴△BPA≌△CPA（SAS）， ∴∠BPA＝∠CPA＝90°， ∴∠BPC＝180°， ∴B、P、C三点共线，且P为BC中点， ∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠FAC＝90°， ∴∠EAB＝∠FAC， ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠FCA＝∠CBA＝45°， ∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°， ∵∠PBG＝∠CBF，∠BPG＝∠BCF＝90°， ∴△BPG∽△BCF， ∵， ∴BE＝CF＝2PG； （3）． 【解答】解：（1）作PH⊥x轴于H，连接PA、PB， ∵∠AOB＝90°， ∴AB为△AOB外接圆直径， ∴∠BPA＝90°， ∵， ∴， ∴AB＝4， ∵∠AOP＝45°， ∴∠ABP＝45°， ∴∠ABP＝∠BAP＝45°， ∴BP＝AP， 同理OH＝PH， ∴△ABP和△POH为等腰直角三角形， ∴， 设P（t，t）， ∵PH2+AH2＝PA2， ∴， 解得或（舍）， ∴； （2）将AB绕点A顺时针旋转90°到点C，连结PC，CF， 由（1）得△BPA是等腰直角三角形， ∴∠PBA＝45°，∠PAB＝45°， ∴∠PAC＝90°﹣∠PAB＝45°＝∠PAB， ∵BA＝AC，∠PAB＝∠PAC，AP＝AP， ∴△BPA≌△CPA（SAS）， ∴∠BPA＝∠CPA＝90°， ∴∠BPC＝180°， ∴B、P、C三点共线，且P为BC中点， ∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠FAC＝90°， ∴∠EAB＝∠FAC， ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠FCA＝∠CBA＝45°， ∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°， ∵∠PBG＝∠CBF，∠BPG＝∠BCF＝90°， ∴△BPG∽△BCF， ∵， ∴BE＝CF＝2PG； （3）过点A作AM⊥PQ交PQ延长线于M， ∵AB是直径， ∴∠AQB＝90°， ∴∠BQA＝∠PMA＝90°， ∴， ∵， ∴∠ABQ＝∠APQ， ∵∠ABQ＝∠APQ，∠BQA＝∠PMA， ∴△ABQ∽△APM， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式2】如图1和图2，以数轴原点O为圆心，5为半径作⊙O．将一直角三角板60°角的顶点A在⊙O上滑动（保持点A在数轴的下方），直角顶点B始终在原点O右侧的数轴上滑动，斜边AC与⊙O的另一交点为D．已知三角板的直角边AB＝8，设点B在数轴上对应的数为x． （1）当点B落在⊙O上时，如图1，直接写出此时x的值，并求劣弧的长； （2）当直角边BC恰好与⊙O相切于点E时，如图2，求x的值； （3）连接OD， ①当三角板的顶点C与点O距离最小时，求点C到数轴的距离； ②当OD∥AB时，请直接写出数轴落在三角板ABC内部（包括端点）的长度． 【答案】（1）x＝5，劣弧的长为； （2）； （3）①点C到数轴的距离为； ②数轴落在三角板ABC内部（包括端点）的长度为． 【解答】解：（1）连接OD，如图3， 此时x＝OB＝5， 由圆周角定理可得∠BOD＝2∠BAD＝120°， ∴， （2）连接OE，则OE⊥BC， 设AB与⊙O的另一个交点为点F，过点O作 OF⊥AB 于点F， 则四边形OEBF为矩形，如图4所示， ∴OE＝BF＝5， ∴AF＝AB﹣BF＝8﹣5＝3， 在Rt△AOF中，OF4，则BE＝4， 在Rt△BOE中，OB， 即x的值为； （3）①∵OC≥AC﹣OA，当O、C、A三点共线时取等号， ∵∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝16， 故OC最小为16﹣5＝11， 作CM⊥OB 于点M，ON⊥BC 于点N，如图5所示： ∵∠ACB＝30°，CO＝11，AC＝16， ∴ON，BC＝cos30°×AC， ∴CN，BN＝BC﹣CN， ∴OB7， ∵S△BOC， ∴CM， 即当三角板的顶点C与点O距离最小时，点C到数轴的距离为； ②当OD∥AB时，如图6所示，数轴落在三角板ABC内部（包括端点）的长度为线段BG的长， ∵OD∥AB， ∴∠CAB＝∠ODA＝60°， 又OA＝OD， ∴△ODA为等边三角形，AD＝OD＝OA＝5，CD＝16﹣5＝11． 延长OD交BC于点H，则∠CDH＝∠ODA＝60°， ∵∠C＝30°， ∴∠DHC＝90°， ∴DH，CH＝11×cos30°，BH＝BC﹣CH， ∴OB． 又∵OD∥AB， ∴△ODG∽△BAG， ∴， ∴BGOB． 即数轴落在三角板ABC内部（包括端点）的长度为． 【变式3】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒（t≥0），回答下列问题： （1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）如图2，当秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由； （3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t＝2或t＝4； （2）△DPQ为直角三角形，理由如下： ∵当秒时，，，QB＝2t＝3cm，CQ＝12﹣2t＝9cm， 在Rt△APD中，由勾股定理得，， 同理，在Rt△BPQ和Rt△DCQ中， 由勾股定理得， DQ2＝CD2+CQ2＝117， ∵， ∴PD2＝PQ2+DQ2 ∴△DPQ为直角三角形； （3）t＝0或． 【解答】解：（1）当运动时间为t秒时，PA＝t，BQ＝2t， ∴PB＝6﹣t， ∵△PBQ的面积等于8cm2， ∴， 解得，t1＝2，t2＝4， 答：当t为2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2； （2）△DPQ为直角三角形，理由如下： ∵当秒时，，，QB＝2t＝3cm，CQ＝12﹣2t＝9cm， 在Rt△APD中，由勾股定理得，， 同理，在Rt△BPQ和Rt△DCQ中， 由勾股定理得， DQ2＝CD2+CQ2＝117， ∵， ∴PD2＝PQ2+DQ2， ∴△DPQ为直角三角形； （3）由题意可知⊙Q与BC、PQ不相切； ①如图，当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，⊙Q与AD相切； ②当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图所示， 由题意可得PB＝6﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝12﹣2t， 在Rt△BPQ中，由勾股定理得，PQ2＝PB2+QB2， 即（6﹣t）2+（2t）2＝（12﹣2t）2， 解得，（舍去）﹒ 综上，当t＝0或时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切﹒ 题型4 圆的综合_变换型 【典例1】如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是（　　） A．①③⑤ B．②③⑤ C．①②③ D．①②③④⑤ 【答案】A 【解答】解：①连接CD，如图1所示． ∵点E与点D关于AC对称， ∴CE＝CD． ∴∠E＝∠CDE． ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°． ∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°． ∴∠F＝∠CDF． ∴CD＝CF． ∴CE＝CD＝CF． ∴结论“CE＝CF”正确． ②当CD⊥AB时，如图2所示． ∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵AB＝8，∠CBA＝30°， ∴∠CAB＝60°，AC＝4，BC＝4． ∵CD⊥AB，∠CBA＝30°， ∴CDBC＝2． 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2． ∵CE＝CD＝CF， ∴EF＝2CD． ∴线段EF的最小值为4． ∴结论“线段EF的最小值为2”错误． ③当AD＝2时，连接OC，如图3所示． ∵OA＝OC，∠CAB＝60°， ∴△OAC是等边三角形． ∴CA＝CO，∠ACO＝60°． ∵AO＝4，AD＝2， ∴DO＝2． ∴AD＝DO． ∴∠ACD＝∠OCD＝30°． ∵点E与点D关于AC对称， ∴∠ECA＝∠DCA． ∴∠ECA＝30°． ∴∠ECO＝90°． ∴OC⊥EF． ∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF， ∴EF与半圆相切． ∴结论“EF与半圆相切”正确． ④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示． ∵点E与点D关于AC对称， ∴ED⊥AC． ∴∠AGD＝90°． ∴∠AGD＝∠ACB． ∴ED∥BC． ∴△FHC∽△FDE． ∴， ∵FCEF， ∴FHFD． ∴FH＝DH． ∵DE∥BC， ∴∠FHC＝∠FDE＝90°． ∴BF＝BD． ∴∠FBH＝∠DBH＝30°． ∴∠FBD＝60°． ∵AB是半圆的直径， ∴∠AFB＝90°． ∴∠FAB＝30°． ∴FBAB＝4． ∴DB＝4． ∴AD＝AB﹣DB＝4． ∴结论“AD＝2”错误． ⑤∵点D与点E关于AC对称， 点D与点F关于BC对称， ∴当点D从点A运动到点B时， 点E的运动路径AM与AB关于AC对称， 点F的运动路径NB与AB关于BC对称． ∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分． ∴S阴影＝2S△ABC ＝2AC•BC ＝AC•BC ＝4×4 ＝16． ∴EF扫过的面积为16． ∴结论“EF扫过的面积为16”正确． 故正确的序号为：①、③、⑤． 故选：A． 【变式1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）如图1，先标注出点O，使得点O是△ABC的外接圆圆心．再画出直线OP，使得OP∥BC交AC于P； （2）如图2，D是AB上一点，先画出△ABC沿着AC翻折后的△AB1C；再过点D作直线DF，使得DF∥BC交AC于F； （3）如图3，在AC上取一点M，使；E是AB上一点，且点E在网格线上，再在AM上找一点N，使得EN∥BM． 【答案】（1）如图，点O，直线OP即为所求； （2）如图，△AB1C，DF即为所求； （3）如图，点M、线段EN即为所求． 【解答】解：（1）如图，点O，直线OP即为所求； 理由：连接OC， 由网格特点知：AO＝BO，AP＝CP，∠ACB＝90°， ∴OP∥BC，， ∴点O为Rt△ABC外接圆的圆心，故点O，直线OP即为所求； （2）如图，△AB1C，DF即为所求； 理由：由网格特点知：B1C＝BC，∠ACB＝∠ACB1， 则△ABC和△AB1C关于AC对称，则△AB1C即为所求， 由对称性知BT＝B1T，∠ABC＝∠AB1C，AB＝AB1， ∴∠TBB1＝∠TB1B， ∵∠DBB1＝∠WB1B，B1B＝BB1，∠BB1D＝∠WBB1， ∴△BB1D≌△WBB1（ASA）， ∴BD＝B1W， ∴AB﹣BD＝AB1﹣B1W，即AD＝AW， ∴， 又∵∠DAW＝∠BAB1， ∴△DAW∽△BAB1， ∴∠ADW＝∠ABB1， ∴DW∥BB1，即DF∥BC，故DF即为所求； （3）如图，点M、线段EN即为所求； 理由：如图， 由网格特点知：BC＝AQ＝3，AC＝PQ＝4，∠ACB＝∠PQA＝90°， ∴△ABC≌△PAQ（SAS）， ∴AB＝AP，∠BAC＝∠APQ， 又∵∠APQ+∠PAQ＝90°， ∴∠BAC+∠PAQ＝90°，即∠BAP＝90°， 由网格特点知：l∥AC， ∴， ∴，则点M即为所求； 同理，， ∴， 又∠EAH＝∠BAG， ∴△EAH∽△BAG， ∴∠AEH＝∠ABG， ∴EH∥BG，即EN∥BM，则EN即为所求． 【变式2】如图，⊙O的直径AB＝4，AC是弦，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． （1）如图1，当与AB相切于A时． ①为画出所在圆的圆心P，请选择你认为正确的答案．C 甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别作它们的中垂线，交点为P； 乙：分别以A、C为圆心，以AO为半径作弧，除O外两弧另一个交点即为圆心P． A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心P，求AC的长；直接写出此时∠CAO的度数． （2）如图2，当经过圆心O时，求AC的长； （3）如图3，当覆盖圆心且与直径交于点D，若∠CAO＝25°，直接写出∠ACD的度数． 【答案】（1）①C，②，∠CAO＝45°； （2）； （3）∠ACD＝40°． 【解答】解：（1）①甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别做它们的中垂线，即作△AEC的外心，故甲正确； 乙：由切线长定理可知，OA为切线，且OA＝OC，故OC也为⊙P的切线，易知AOCP为正方形（证明见②），故乙正确； 故选：C； ②如图1，连接PC、OC， ∵AP＝OA＝OC＝PC＝2， ∴四边形AOCP为菱形， 而∠PAO＝90°， ∴四边形AOCP为正方形， ∴，∠CAO＝45°； （2）作OE⊥AC于F，交劣弧于E，如图2， ∵沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即 ∴， ∵OE⊥AC， ∴AF＝CF， 在Rt△OAF中，OA＝2，OF＝1， ∴， ∴； （3）连接CB，作D关于AC的对称轴点D'在⊙O上，并连接AD'、CD'，如图3， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠CAO＝25°， ∴∠B＝65°， 由圆内接四边形的性质得到∠AD'C+∠B＝180°， 可得：∠ADC＝∠AD'C＝115°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CAO﹣∠ADC＝40°． 题型5 圆的综合_存在型 【典例1】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： （1）如图1，几秒后，△BPQ的面积等于8cm2？ （2）在运动过程中，若以P为圆心、PA为半径的⊙P与BD相切（如图1），求t值； （3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q． ①如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值范围为 　 　 ．（直接写出结果，不需说理） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意知，AP＝t、BQ＝2t， 则BP＝6﹣t， 由S△BPQ•BP•BQ＝6可得（6﹣t）•2t＝6， 解得：t＝2或t＝4； （2）如图1所示：连接PE． ∵AD⊥AP， ∴⊙P与AB相切， ∵⊙P分别与AD、BD相切， ∴AD＝DE＝8． ∵⊙P与BD相切， ∴PE⊥BD， 在Rt△ABD中，依据勾股定理可知BD＝10． ∴BE＝BD﹣DE＝2． ∵AP＝PE， ∴PE＝t，PB＝6﹣t． 在Rt△PEB中，依据勾股定理可知：（6﹣t）2＝t2+22，解得：t； （3）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切． （Ⅱ）如图2所示：若⊙Q与AD相切时， 设切点为E，则QE⊥AD，QE＝AB＝PQ， 得方程：36＝（6﹣t）2+（2t）2， 解得t＝0或； （Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图3所示． 由题意可知：PB＝6﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝8﹣2t． 在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（6﹣t）2+（2t）2＝（8﹣2t）2． 解得：t1＝﹣10+8，t2＝﹣10﹣8（舍去）． 综上所述可知当t＝0或t或t＝﹣10+8时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切． ②（Ⅰ）当t＝0时，如图4所示： ⊙Q与四边形DPQC有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，则QD＝PQ， 得方程（6﹣t）2+（2t）2＝36+（8﹣2t）2， 解得：t＝﹣10﹣2（舍）或t＝﹣10+2 ∴当0＜t＜210时，⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点． 故答案为：0＜t＜210． 【变式1】给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）． （1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 D，F ； （2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1， ①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围； ②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围． 【答案】（1）D、F； （2）①﹣2t≤﹣2； ②k或k． 【解答】解：（1）当A点是D点的中点时，对应点为（2，﹣4）；当B点是D点的中点时，对应点为（14，﹣4）； 当A点是E点的中点时，对应点为（﹣4，﹣6）；当B点是E点的中点时，对应点为（8，﹣6）； 当A点是F点的中点时，对应点为（﹣8，﹣4）；当B点是F点的中点时，对应点为（4，﹣4）； 当A点是O点的中点时，对应点为（﹣2，﹣4）；当B点是O点的中点时，对应点为（10，﹣4）； ∴D、F与点O关于线段AB双对合， 故答案为：D、F； （2）①设K（k，0）， ∵A（﹣1，﹣2），T（0，t）， ∴A点关于K点对称点G为（2k+1，2），T点关于K点对称点H为（2k，﹣t）， ∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合， ∴A点关于点K的对称点在以G为圆心， ∵⊙K的直径为1， ∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示， ∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合， ∴当圆G与圆H有交点， ∵GH， ∴2， 解得﹣2t≤﹣2； ②∵A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4），K（k，0）， ∴A点关于K点的对称点F（2k+1，2），B点关于K点的对称点E（2k﹣5，2），C点关于K点的对称点G（2k+1，﹣4）， ∴△ABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域， ∵△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合， ∴阴影区域与圆K有公共交点， ∵阴影部分是由△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域， 如图2时，k﹣（2k+1）1，解得k； 如图3时，2k+1﹣k1，解得k； ∴k时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合； 过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M， 设直线EG的解析式为y＝k'x+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+2k﹣3， ∴M（2k﹣3，0）， ∵直线y＝﹣x与y＝﹣x+2k﹣3平行， ∴∠KMN＝45°， ∴KMKN， 如图4时，k﹣（2k﹣3），解得k＝3， 如图5时，2k﹣3﹣k，解得k＝3， ∴k时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合； 综上所述：k或k时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合． 【变式2】在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E、F运动时间为t秒．回答下列问题： （1）如图1，当t为多少时，EF的长等于4cm？ （2）如图2，在点E、F运动过程中， ①求证：点A、B、F、P在同一个圆（⊙O）上； ②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可知：DE＝t，CF＝t， ∴EC＝12﹣t． 由勾股定理可知：CE2+CF2＝EF2， ∴（12﹣t）2+t2＝（4）2，解得：t＝4或t＝8． ∴当t为4或8时，EF的长等于4． （2）①由题意可知：DE＝CF． ∵ABCD为正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝∠FCD． 在△ADE和△DCF中，， ∴△ADE≌△DCF． ∴∠CDF＝∠DAE． ∵∠CDF+∠ADP＝90°， ∴∠DAP+∠ADP＝90°， ∴∠APF＝90°， ∴∠APF+∠B＝180°， ∴点A、B、F、P在同一个圆（⊙O）上． ②如图1所示：当⊙O与CD相切时（切点为M）．连接OM，并延长MO交AB与点N． ∵DC与⊙O相切， ∴OM⊥DC， ∴ON⊥AB， ∴ANAB＝6． 设⊙O的半径为r，则ON＝12﹣r，在Rt△AON中，由勾股定理得：62+（12﹣r）2＝r2，解得r＝7.5． ∴AF＝15． 在Rt△ABF中，由勾股定理可知：BF＝9． ∴CF＝3，即t＝3秒． 当点F与点B重合时，AB为⊙O的直径，⊙O与BC、AD均相切，此时t＝12． ∵点A和点B均在⊙O上， ∴不存在AB与⊙O相切的情况． 综上所述，当t＝3或t＝12时，⊙O与正方形的一边相切． ③∵点O为AF的中点，点F在CB上移动， ∴点O运动的路径为△ACB中AC和AB两边中点连线． ∴点O运动的路径BC＝6cm． 故答案为：6cm． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10cm．点D从A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动；同时，点F从B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，移动过程中始终保持DE∥CB（点E在AB上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t（s）（其中t≠0）． （1）当t为何值时，四边形DEFC的面积为18cm2？ （2）是否存在某个时刻t，使得DF＝BE，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． （3）点E是否可能在以DF为直径的圆上？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）t＝4； （2）不存在，理由详见解答； （3）． 【解答】解：（1）由题意得：DE＝AD＝t，CD＝10﹣t，BF＝2t，CF＝10﹣2t， ∵DE∥BC， ∴S四边形DEFC18， ∴18， ∴t1＝4，t2＝16（舍去）， ∴当t＝4时，四边形DEFC的面积为18cm2． （2）假设存在t，使DF＝BE， 在Rt△DCF中：DF2＝CD2+CF2＝（10﹣t）2+（10﹣2t）2， 在Rt△ADE中，AEAD， ∴BE＝AB﹣AE＝10， ∴（10﹣t）2+（10﹣2t）2＝（10）2， ∴t， 当2t＝10时，t＝5， ∵， ∴t的值不存在． （3）∵点E是在DF为直径的圆上， ∴∠DEF＝90°， ∵∠CDE＝∠C＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CF， ∴t＝10﹣2t， ∴t． 题型6 圆的综合_存在型_特殊三角形 【典例1】（1）如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 　 度； （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边△ABC的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得△PBE是等边三角形，进而得证．你能否写出完整的证明过程？ （3）【应用】如图③，已知四边形ABCP内接于圆O，∠ABC＝90°，，连接AC、PB，请直接写出线段PA、PB、PC之间的数量关系：　 ． 【答案】（1）45°； （2）延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°． ∵∠EAB是△ABP的外角， ∴∠EAB＝∠ABP+∠APB． ∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB， ∴∠EAB＝∠ABP+∠APB＝∠ACP+∠ACB＝∠BCP， ∴△PBC≌△EBA， ∴PB＝EB，∠E＝∠BPC＝∠BAC＝60°， ∴△BEP是等边三角形， ∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+PA； （3）． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，且是所对的圆心角，∠APB是所对的圆周角， ∴． 故答案为：45°； （2）延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°． ∵∠EAB是△ABP的外角， ∴∠EAB＝∠ABP+∠APB． ∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB， ∴∠EAB＝∠ABP+∠APB＝∠ACP+∠ACB＝∠BCP， ∴△PBC≌△EBA， ∴PB＝EB，∠E＝∠BPC＝∠BAC＝60°， ∴△BEP是等边三角形， ∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+PA； （3）． 延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE， ∵∠EAB是△ABP的外角， ∴∠EAB＝∠ABP+∠APB． ∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB， ∴∠EAB＝∠ABP+∠APB＝∠ACP+∠ACB＝∠BCP． ∵AE＝CP，AB＝BC， ∴△PBC≌△EBA， ∴PB＝EB，∠ABE＝∠CBP． ∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝90°， ∴∠ABP+∠ABE＝90°＝∠EBP， ∴△BEP是等腰直角三角形． 根据勾股定理，得EP2＝BE2+BP2， 即（PA+PC）2＝PB2+PB2＝2PB2， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知⊙O的直径AB＝6，点C是⊙O上一个动点，D是弦AC的中点，连接BD． （1）如图1，过点C作⊙O的切线交直径AB的延长线于点E，且tanE； ①BE＝　　 ；②求证：∠CDB＝45°； （2）如图2，F是弧AB的中点，且C、F分别位于直径AB的两侧，连接DF、BF．在点C运动过程中，当△BDF是等腰三角形时，求AC的长． 【答案】（1）①2； ②45°； （2）2或或3． 【解答】解：（1）①连接OC，如图1， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵tanE，AB＝6， ∴，OC＝3， ∴CE＝4， ∴OE5， ∴BE＝OE﹣BO＝5﹣3＝2， 故答案为：2． ②如图2，连接OC，BC，取AE的中点，连接DM， ∵D为AC的中点，M为AE的中点， ∴DM为△ACE的中位线， ∴DMCE＝2＝BE，DM∥CE， ∴∠AMD＝∠CEB， ∵AMAE＝4＝CE， ∴△AMD≌△CEB（SAS）， ∴AD＝BC， ∵AD＝CD， ∴CD＝BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CDB＝45°； （2）解：连接AF， ∵F为弧AB的中点，AB是⊙O的直径， ∴AF＝BF，∠AFB＝90°， ∴∠ABF＝45°，AF＝BFAB＝3． ①若BD＝BF＝3，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，且CDAC， ∴62﹣AC2， ∴AC＝2； ②若BF＝DF＝3，连接FA，FC，过点F作FG⊥AC于点G， ∴AF＝DF， ∵DGAD， ∵∠ACF＝∠ABF＝45°， ∴CG＝FG， 设DG＝x，则CD＝AD＝2x，FG＝CG＝DG+CD＝3x， ∵FG2+DG2＝DF2， ∴x2+（3x）2， 解得x， ∴AC＝4x； ③若DF＝BD，过点D作DN⊥BF于点N，连接ON，AF，BC， ∴N为BF的中点， ∴ON⊥BF， ∴点O在DN上， ∵D为AC的中点， ∴OD⊥AC，即DN⊥AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴四边形ADNF是矩形， ∴AD＝NF， ∴AC＝BF＝3， 综合上述可得，AC的长为2或或3． 【变式2】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4．点P为边BC上一动点（不与点B，点C重合），以BP为直径作圆，圆心记为点O，连接AP交⊙O于点E．过点B作BD∥AC，与⊙O交于点D，连接BE，DE． （1）当∠BDE＝45°时，求BP的长； （2）当△BDE为等腰三角形时，求所有满足条件的BP的长． （3）延长BE交边AC于点F，若k，求的值．（用含k的代数式表示，直接写出答案） 【答案】（1）2； （2）或5或； （3）． 【解答】解：（1）∵∠APB＝∠BDE＝45°，∠ABC＝90°， ∴△ABP是等腰直角三角形， ∴BP＝AB＝2； （2）分三种情况： ①当BD＝BE时，∠EBP＝∠DBP， ∵BP是⊙O的直径， ∴∠BEP＝90°， ∴∠EBP+∠APB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAP+∠APB＝90°， ∴∠BAP＝∠EBP， ∵BD∥AC， ∴∠DBP＝∠C， ∴∠BAP＝∠C， 又∵∠ABP＝∠CBA＝90°， ∴△ABP∽△CBA， ∴， ∴BPAB； ②当EB＝ED时，连接DP并延长交AC于H，如图1所示： ∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴AC10， ∵ED＝EB， ∴∠EBD＝∠EDB＝∠BPA， ∵∠APH＝∠EBD， ∴∠BPA＝∠APH， ∵BP是⊙O的直径， ∴∠BDP＝90°， ∵BD∥AC， ∴∠PHC＝∠BDP＝90°，∠AHP＝180°﹣90°＝90°＝∠ABP， 又∵AP＝AP， ∴△ABP≌△AHP（AAS）， ∴AH＝AB＝2，BP＝PH， ∴CH＝AC﹣AH＝10﹣2， ∵∠PHC＝∠ABC，∠C＝∠C， ∴△PHC∽△ABC， ∴， ∴BP＝PHCH＝5； ③当DB＝DE时，∠APH＝∠EBD＝∠DEB＝∠DPB＝∠CPH， 同②得：，∠AHP＝∠CHP＝90°， 又∵PH＝PH， ∴△APH≌△CPH（AAS）， ∴AH＝CHAC＝5， ∴PH， ∴PC， ∴BP＝BC﹣PC＝4； 综上所述，BP的长为或5或； （3）延长BE交AC于F，过P作PM∥EF交AC于M，如图2所示： ∵k，BC＝4， ∴， ∴PC，BP， ∵∠ABC＝90°， ∴AP， ∵BP是⊙O的直径， ∴∠BEP＝90°， ∴∠AEB＝90°＝∠ABP， 又∵∠BAE＝∠PAB， ∴△ABE∽△APB， ∴， ∴AE， ∴•， ∴， 又∵k， ∴1+k， ∴•， ∴． 【变式3】已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）． （1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长； （2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆． ①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切； ②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连接QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，连接BC， ∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上， ∵⊙P与直线l1相切于点B， ∴∠ABC＝90°，而OA＝OB， ∴△ABC为等腰直角三角形， 则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3； （2）过点作CM⊥AB， 由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0）， 则CM＝ACsin45°＝42圆的半径， 故点M是圆与直线l1的切点， 即：直线l1与⊙Q相切； （3）如图3， ①当点M、N在两条直线交点的下方时， 由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°， 设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3）， 则NQ＝m+3﹣3m+3＝2， 解得：m＝3； ②当点M、N在两条直线交点的上方时， 同理可得：m＝3； 故点Q的坐标为（3，6﹣3）或（3，6+3）． 题型7 圆的综合_存在型_特殊四边形 【典例1】已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r． （1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数； （2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由； （3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB， ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°， ∴∠APB+∠AOB＝180°， ∵∠APB＝80°， ∴∠AOB＝100°， ∴∠ACB＝50°； （2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形， 连接OA，OB， 由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°， ∵∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠ACB＝60°＝∠APB， ∵点C运动到PC距离最大， ∴PC经过圆心， ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°， 又∵PC＝PC， ∴△APC≌△BPC（SAS）， ∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC， ∴∠APC＝∠ACP＝30°， ∴AP＝AC， ∴AP＝AC＝PB＝BC， ∴四边形APBC是菱形； （3）∵⊙O的半径为r， ∴OA＝r，OP＝2r， ∴APr，PD＝r， ∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°， ∴的长度， ∴阴影部分的周长r+rr＝（1）r． 【变式1】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒． 试解答下列问题： （1）如图1，当t为多少秒时，四边形DFCE的面积等于20cm2？ （2）如图1，点D在运动过程中，四边形DFCE可能是菱形吗？若能，试求t的值；若不能，请说明理由； （3）如图2，以点F为圆心，FC的长为半径作⊙F． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙F正好与四边形DFCE的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若⊙F与四边形DFCE至多有两个公共点，请直接写出t的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，根据题意得， DE＝AD＝2t，BD＝12﹣2t，CF＝DE＝2t， 又∵BD×CF＝四边形DFCE的面积， ∴2t（12﹣2t）＝20， t2﹣6t+5＝0， （t﹣1）（t﹣5）＝0， 解得t1＝1，t2＝5； 答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm2． （2）可能是菱形． 理由：如图1中，∵DE∥CF，DF∥EC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴当DE＝DF时，四边形DECF是菱形． ∵△ADE，△DFB都是等腰直角三角形， ∴DE＝2t，DF（12﹣2t）， ∴2t（12﹣2t）， ∴t＝12﹣6， 答：t＝（12﹣6）s时，四边形DECF是菱形， （3）①存在．如图1中，当DB＝CF时，⊙F与DE相切． 则有12﹣2t＝2t， ∴t＝3， 答：当t＝3s时，⊙F与DE相切． ②如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点， 在Rt△DFB中，∵∠B＝90°，AD＝DF＝CF＝2t，BD＝BF＝12﹣2t， ∴2t（12﹣2t）， ∴t＝12﹣6， 由图象可知，当12﹣6t＜6时，⊙F与四边形DFCE至多有两个公共点． 题型8 圆的综合_最值型 【典例1】[模型建立] 如图①、②，点P分别在⊙O外、在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中PB为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则⊙O的半径为 　 　 ． （2）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点E在边BC上，且CE＝2，动点P在半径为2的⊙E上，则AP的最小值是 　 　 ． [拓展延伸] 如图④，点A（2，0），动点B在以P（4，4）为圆心，为半径的圆上，OB的中点为C，则线段AC的最大值为 　 ． 【答案】[问题解决]见解析过程； [初步应用]（1）2或5；（2）22； [拓展延伸]2． 【解答】[问题解决]证明：在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC． ∵PC＜PO+OC，OB＝OC， ∴PC＜PO+OB＝PB， ∴PB是点P到⊙O上的点的最长距离； [初步应用]（1）当点P在⊙O外部时，如图①，由题意可得：⊙O的半径2， 当点P在⊙O内部时，如图②，由题意可得：⊙O的半径5， 故答案为：2或5； （2）连接AE， ∵CE＝2，AC＝8， ∴AE2， 当点P在线段AE上时，AP最小值为22， 故答案为：22； [拓展延伸]取H（4，0），连接BH，HP，BP， ∵点A（2，0），点H（4，0）， ∴OA＝2，OH＝4， ∴点A是AH的中点， ∵点C是OB的中点， ∴BH＝2AC， ∴BH有最大值时，AC有最大值， ∵P（4，4）， ∴PH＝4， ∴点B在HP的延长线时，BH有最大值为4， ∴AC的最大值为2， 故答案为：2． 【变式1】问题提出 （1）如图①，P是半径为5的⊙O上一点，直线m是⊙O外一条直线，PQ⊥m于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最小值为 　　 ； 问题探究 （2）如图②，P是正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝6，求AP的最小值； 问题解决 （3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝3千米，千米，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD区域的面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△APD的最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）为；（3）在四边形ABCD内存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD的面积最小．若存在，点P的位置如图所示，△APD的最小面积为2736．理由见解析． 【解答】解：（1）过点O作OQ⊥m，交⊙O于点P，如图， 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径OP不变， 可知此时PQ最小，最小值为7﹣5＝2， 故答案为2； （2）∵BC＝6是定值，∠BPC＝90°， ∴点P的轨迹在以BC为直径的圆O上部分，如图， 连接AO，交圆O于点P，此时的AP即为AP的最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°， ∵BO＝OP＝3BC＝3， ∴， ∴AP′＝AO﹣OP′＝33． ∴AP的最小值为33． （3）在四边形ABCD内存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD的面积最小．若存在，点P的位置如图所示，△APD的最小面积为2736．理由： ∵ 千米，是定值，∠BPC＝120°， ∴点P的轨迹为以BC为弦，圆周角∠BPC＝120°的圆O上部分， 即以BC为边向下作等边△BCE，作△BCE的外接圆⊙O，点P轨迹是（不包括B，C）， 连接BO，OC，作OJ⊥BC于J，交AD于K，作AT⊥OK于T，延长OP交AD于H，如图， 当OH⊥AD时，PH的值最小，此时△APD的面积最小， 由题意，∠BOC＝2∠E＝120°， ∴， ∴，BO＝OP＝2JO＝6， ∵∠ABC＝90°，AT⊥OK，OJ⊥BC， ∴四边形ABJT是矩形， ∴∠BAT＝90°，，AB＝TJ＝3， ∵∠DAB＝120°， ∴∠KAT＝30°， ∴．AK＝2KT＝6， ∴OK＝OJ+JT+TK＝9， ∵∠OKH＝90°﹣∠KAT＝60°， ∴， ∴PH＝OH﹣OP6． ∵AB∥|JK∥CD，BJ＝CJ， ∴， ∴AK＝KD＝6， ∴AD＝12， ∴△PAD的面积的最小值． 【变式2】如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 【答案】（1）⊙O的半径为4； （2）15°； （3）CM的最大值为22． 【解答】解：（1）如图1中， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝4， ∴AB8， ∴⊙O的半径为4； （2）如图1中，连接OC，OD． ∵CD＝4，OC＝OD＝4， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴∠COD＝90°， ∴∠OCD＝45°， ∵AC＝OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°； （3）如图2中，连接OM，OC． ∵AM＝MD， ∴OM⊥AD， ∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J， 连接CJ，JM． ∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA， ∴CJ2， ∵CM≤CJ+JM＝22， ∴CM的最大值为22． 【变式3】[问题提出] （Ⅰ）如图1，已知线段AB＝2，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1，则线段AC长度的最大值是 　　 ．[问题探究] （Ⅱ）如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为，求AE长度的最大值． [构建联系] （Ⅲ）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分△BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）3； （Ⅱ）； （Ⅲ）修建的观赏小路AP的长度存在最大值；小路AP的长度最大为米．理由见解答过程． 【解答】解：（Ⅰ）已知线段AB＝2，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1， 当C在线段AB延长线上时，AC最大， 此时AC＝AB+BC＝1+2＝3， 即AC的最大值为3； 故答案为：3； （Ⅱ）以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，正方形的边长为，如图2，连接AO并延长交半圆O于点F， ∴， 当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO， ∴AF＝AO+OF， 即AE最大为； （Ⅲ）修建的观赏小路AP的长度存在最大值；理由如下： 作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于点F，如图3： ∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°， ∴∠ACF＝60°， 在Rt△ACF中，米， ∴AF＝AC•sin60°＝30米，CF＝AC•cos60°＝10米， ∵DE垂直平分BC，BC＝120米， ∴CE＝60米，∠OEC＝90°， ∴OC米＝OP， ∴OF＝OC﹣CF米， 在Rt△AOF中，由勾股定理得：OA60米， ∴AP＝OA+OP＝（60+40）米． 即小路AP的长度最大为米． 题型9 圆的综合_创新型 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点“是 　 　 ； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长 　 　 ． （2）已知点M（0，3），N（，0）、对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①C1，C2； ②； （2）t的取值范围为1≤t或t．理由见解答过程． 【解答】解：（1）①由关联点的定义可知，若直线CA，CB中一经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”：点A（﹣1，0），B1（，），C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）， ∴直线B1C2经过点O，且AC2与⊙O相切， ∴C2是弦AB1的“关联点”， 又∵C1（﹣1，1）和A（﹣1，0）横坐标相等，与B1（，）都位于直线y＝﹣x上， ∴AC1与⊙O相切，B1C1 经过点O， ∴C1是弦AB1的“关联点”， 故答案为：C1，C2； ②∵A（﹣1，0），B2（，），设C（a，b），如图1，共有两种情况， a、若C1B2与⊙O相切，AC经过点O， 则C1B2，AC1所在直线为： ， 解得：， ∴C1（，0）， ∴OC1； b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O， 则 C2B2、AC2所在直线为： ， 解得：， ∴C2（﹣1，1）， ∴OC2， 综上，OC， 故答案为：； （2）t的取值范围为1≤t或t．理由如下： 令SP于⊙O相切，SQ过点O，过O作OD⊥MN于D，过P作PE⊥OS于E，如图2， ∴MN， ∵OD•MN＝OM•ON， ∴OD＝2， ∴2≤OS≤OM＝3， ∵SP是⊙O的切线， ∴OP⊥PS， ∴△OPE∽△OSP， ∴， ∴OE， ∴PE2＝OP2﹣OE2＝1， ∴t2＝PE2+EQ2＝1（1±）2＝2±， ∵2≤OS≤3， ∴， ∴1≤t2或t2≤3， ∴t的取值范围为1≤t或t． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，C为平面上一点，AB为⊙T上的一条弦．若点C绕AB的中点旋转α（0°＜α≤180°）与T重合，则称点C是弦AB关于⊙T的“α关联点”．已知⊙O的半径为2． （1）如图，点A（2，0），B（0，2）． ①在点，，C3（1，2）中，弦AB关于⊙O的α关联点为C2 ，其中α＝　　 °； ②已知点D是⊙O劣弧AB上的一个动点，点C为弦AD关于⊙O的60°关联点，直接写出点C纵坐标yc的取值范围； （2）已知MN为⊙O上的弦，且，⊙T经过点M和点P．若存在α（0°＜α＜90°）使得∠PMN＝90°+α，且在∠PMN的内部存在一个点既是MP关于⊙T的α关联点又是MN关于⊙O的180°﹣α关联点，直接写出⊙T半径r的取值范围． 【答案】（1）①C2，135；②或yC；（2）． 【解答】解：（1）①如图，设AB的中点为N， ∵A（2，0），B（0，2）， ∴N（1，1）， ∴， ∵，，C3（1，2）， ∴，，NC3＝1， ∴弦AB关于⊙O的α关联点为C2， ∵A（2，0），B（0，2），∠AOB＝90°， ∴OA＝OB＝2，则△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝45°， ∵NC2∥OA， ∴∠C2NA＝∠BAO＝45°， ∴α＝∠C2NO＝90°+∠C2NA＝135°， 故答案为：C2，135； ②如图，N是AB的中点，E是AD上的中点， 连接OD，取OA的中点F（1，0）， ∴， ∴E在⊙F的上运动， i）当逆时针旋转时，先求C的最大值，将⊙F绕点O逆时针旋转60°得到⊙G，则当GC∥y轴时，C的纵坐标最大， ∴△OFG是等边三角形， ∴G（，），CG＝OG＝OF＝1， ∴C（，1）， 当N，E重合时，C的纵坐标取得最小值， ∵点C为弦AD关于⊙O的60°关联点， ∴△CEO是等边三角形， 又∵A（2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2，则， ∴， ∵∠BOE＝45°， ∴∠COD＝15°， 又∵△OFG 是等边三角形， ∴∠GOF＝60°， ∴∠BOG＝30°， ∴∠COG＝45°，则△COG是等腰直角三角形， 过点G作GK∥y轴，过点C作CK⊥KG于点K，则∠OGK＝180°﹣∠BOG＝150°， ∴∠CGK＝∠OGK﹣∠OGC＝150°﹣90°＝60°， 在Rt△CKG中，，CK， ∴C（，） ∴； ii）当顺时针旋转时，当N，E重合时，此时C点纵坐标最大， 此时，与逆时针得到的三角形关于直线ON对称， ∵直线ON的解析式为y＝x， ∴C（，）； 当E，A重合时，此时C点纵坐标最小， ∵△OCE为等边三角形，OE＝OA＝2， ∴C（1，）， ∴yC， 综上所述：或yC， （2）设C既是MP关于⊙T的α关联点又是MN关于⊙O的180°﹣α关联点，K是PM的中点， ①如图，当C逆时针旋转与点T重合时， ∵，设MN的中点L， ∴，OL， ∵点C是MN关于⊙O的180°﹣α关联点， ∴∠CLO＝180°﹣α， ∴CLM＝90°﹣α， ∵∠PMN＝90°+α， ∴CL∥PM， ∵C是MP关于⊙T的α关联点， ∴∠CKT＝α，CK＝TK， ∵∠TKM＝90°， ∴∠CKM＝90﹣α， ∴∠CKM+∠KML＝180°， ∴KC∥ML， ∴四边形KMLC是平行四边形， ∴KM＝CL＝OL，， 在Rt△TKM中，， ②当C1点逆时针旋转得到T时，如图， ∵，∠C1KT＝∠CKT＝α，CT1＝CT＝KCsinα， ∵， ∴， ∵0°＜α＜90°，KM＞0， ∴， 在Rt△TKM 中，， 综上所述，当M在左侧时，， ③如图，作CL关于y轴对称的直线C2L，则当C2顺时针旋转180°﹣α与点T重合时， ∴， ∴， 在Rt△TKM中，， ∴r的最大值为， ④如图，当C3顺时针旋转180°﹣α与点T重合时， 同②可得所取得r的值要小于， 综上所述，． 过 关 验 收 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 　 　 ． 【答案】45°． 【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC90°， ∴∠BPC∠BOC＝45°， 故答案为：45°． 2．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正八边形的一边．则以AB为边的⊙O内接正多边形的边数为　 　 ． 【答案】24． 【解答】解：连接OB， ∵AC是⊙O内接正六边形的一边， ∴∠AOC＝360°÷6＝60°， ∵BC是⊙O内接正八边形的一边， ∴∠BOC＝360°÷8＝45°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣45°＝15°， ∴n＝360°÷15°＝24． 故答案为：24． 3．如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连结BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝　 　 度；当DB＝DF时，BC的长为 　 　 ． 【答案】135；． 【解答】解：∵AB是半圆O的直径，AB＝2， ∴∠ACB＝90°，OA＝OBAB， ∴∠ABC+∠CBA＝90°， ∵点F是的中点， ∴， ∴∠ABF＝∠CBFABC， ∵AD平分∠CAB， ∴∠BAD∠CAB， ∴∠ABF+∠BAD（∠ABC+∠CAB）＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣（∠ABF+∠BAD）＝135°， ∴∠ADF＝180°﹣∠ADB＝45°， 连接AF、OF，OF交AC于点M，如图， 则OF＝OA，∠AFB＝90°， ∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝45°＝∠ADF， ∴AF＝DF， 当DB＝DF时，BF＝2DF＝2AF， 在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2， 即AF2+（2AF）2， ∴AF2＝4， ∵AF＞0， ∴AF＝2， ∵点F是的中点， ∴OF⊥AC， ∴∠AMO＝∠AMF＝90°， 设OM＝x，则FM＝OF﹣OMx， 在Rt△AOM中，AM2＝OA2﹣OM2x2， 在Rt△AFM中，AM2＝AF2﹣FM2＝22， ∴x2＝22， ∴x， ∴OM， ∵sin∠BAC， ∴BC， 故答案为：135；． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝5，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴OD∥AB， ∴∠ODC＝∠B＝90°， ∵OD为半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接OF交AD于H，连接OD， ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA， ∵F是劣弧AD的中点， ∴OF⊥AD，AH＝DH，∠DOF＝∠AOF， ∵∠DOF＝2∠DAF，∠OAD＝∠DAF， ∴∠DOF＝∠OAF＝∠AOF＝∠OFA， ∵∠OAF+∠AOF+∠OFA＝180°， ∴∠DOF＝∠OAF＝∠AOF＝∠OFA＝60°， 由（1）知OD∥AB， ∴∠COD＝∠OAF＝60°， ∴，即， 解得，OD＝5； 在△FAH和△ODH中， ， ∴△FAH≌△ODH（ASA）， ∴S△FAH＝S△ODH， ∴； ∴阴影部分的面积为． 5．数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： （1）如图1，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，线段AD、CD与⊙O交于点E、F，试猜想∠B+∠D　　 180°（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想； （2）如图2，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； （3）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，求AD的长度． 【答案】（1）＜； （2）（1）的结论不成立，∠B+∠D＞180°，理由： 延长AD交圆O于点E，连接CE， 则∠B+∠E＝180°， 在△CED中，∠ADC＞∠E， ∴∠B+∠ADC＞180°， 即∠B+∠D＞180°； （3）． 【解答】解：（1）连接CE， ∵四边形ABCE为圆O的内接四边形， ∴∠B+∠AEC＝180°， 在△CED中，∠AEC＞∠D， ∴∠B+∠D＜180°， 故答案为：＜； （2）（1）的结论不成立，∠B+∠D＞180°，理由： 延长AD交圆O于点E，连接CE， 则∠B+∠E＝180°， 在△CED中，∠ADC＞∠E， ∴∠B+∠ADC＞180°， 即∠B+∠D＞180°； （3）延长AD、BC交于E， ∵∠BCD＝120°， ∴∠A＝∠DCE＝60°， ∵∠B＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴∠E＝30°， 在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4， 在Rt△CDE中，CD＝1，CE＝2CD＝2， ∴， ∴． 6．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达 B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： （1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？ （2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5cm2； （2）①当t＝0或t＝﹣18+12时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切； ②当0＜t＜618时，⊙Q与四边形DPQC有三个公共点． 【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA＝t，BQ＝2t， ∴PB＝6﹣t， ∵△PBQ的面积等于5cm2， ∴PB•BQ（6﹣t）•2t． ∴（6﹣t）•2t＝5， 解得：t1＝1，t2＝5， 答：当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5cm2； （2）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与BC，PQ不相切， （Ⅱ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DPQ＝90°， ∴DP⊥PQ． ∴DP为圆Q的切线， （Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示， 由题意可知：PB＝6﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝12﹣2t， 在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（6﹣t）2+（2t）2＝（12﹣2t）2， 解得：t1＝﹣18+12，t2＝﹣18﹣12（舍去）， 综上所述，当t＝0或t＝﹣18+12时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切； ②（Ⅰ）当t＝0时，如图1所示：⊙Q与四边形DPQC有两个公共点； （Ⅱ）如图3所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点， 由题意知：PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝12﹣2t，DC＝6， 由勾股定理可知：DQ2＝DC2+CQ2＝62+（12﹣2t）2，PQ2＝PB2+QB2＝（6﹣t）2+（2t）2， ∵DQ＝PQ， ∴62+（12﹣2t）2＝（6﹣t）2+（2t）2． 整理得：t2+36t﹣144＝0． 解得：t1＝618，t2＝﹣618（舍去）． ∴当0＜t＜618时，⊙Q与四边形DPQC有三个公共点． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动． （1）几秒钟后△DPQ的面积等于31cm2； （2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以点Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1或5，；（2）6． 【解答】解：（1）设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2， 则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm， ∵S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ＝S△DPQ， ∴AB•BCAD•APCD•CQBP•BQ＝31， ∴6×1212x6（12﹣2x）（6﹣x）•2x＝31， 整理，得：x2﹣6x+36＝31， 解得：x1＝1，x2＝5． ∴运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2． （2）假设运动开始后第x秒时，QP＝QD， ∵QP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2， QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62， ∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2， 整理，得：x2+36x﹣144＝0， 解得：x＝﹣18±6， ∵0＜618＜6， ∴运动开始后第（618）秒时，以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D． 8．已知关于x的一元二次方程kx2+（k+5）x+5＝0（k≠0）． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两根为x1、x2，且x1、x2都为整数，x1＜1＜x2，求整数k的值； （3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB为直径作⊙M，与y轴交于C、D．点P（a，1）在平面内运动． ①若点P在⊙M上，求a的值； ②若△PAB为锐角三角形，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）见解析过程； （2）k＝﹣1； （3）①±22； ②当﹣1＜a＜﹣22或22＜a＜5时，△PAB为锐角三角形． 【解答】（1）证明：由题意可得：Δ＝（k+5）2﹣4×5k＝（k﹣5）2≥0， ∴方程一定有两个实数根； （2）∵kx2+（k+5）x+5＝0（k≠0）． ∴（kx+5）（x+1）＝0， ∴x1＝﹣1，x2， ∵x1、x2都为整数，x1＜1＜x2，k为整数， ∴k＝﹣1； （3）①如图1，连接MP， ∵k＝﹣1， ∴x1＝﹣1，x2＝5， ∴点A（﹣1，0），点B（5，0）， ∴AB＝6，点M（2，0）， ∴AM＝BM＝3， ∵点P在⊙M上， ∴PM＝AM＝3， ∴（a﹣2）2+（1﹣0）2＝32， ∴a1＝22，a2＝﹣22， ∴a的值为±22； ②如图2， 当∠PAB＝90°时，则PA⊥x轴， ∴a＝﹣1， 当∠P'BA＝90°时，则P'B⊥x轴， ∴a＝5， 当∠APB＝90°时，则点P在⊙M上， 由①可知a＝±22； ∴当﹣1＜a＜﹣22或22＜a＜5时，△PAB为锐角三角形． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动． （1）几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2； （2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． （3）在点P、Q的运动过程中，几秒后△DPQ是直角三角形？请直接写出答案． 【答案】（1）运动2秒或4秒后△DPQ的面积为28cm2． （2）运动开始后第（618）秒时，以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D． （3）当t或6时，△DPQ是直角三角形． 【解答】解：（1）设运动x秒钟后△DPQ的面积为28cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm， S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ， ＝AB•BCAD•APCD•CQBP•BQ， ＝6×1212x6（12﹣2x）（6﹣x）•2x， ＝x2﹣6x+36＝28， 解得：x1＝2，x2＝4． 答：运动2秒或4秒后△DPQ的面积为28cm2． （2）假设运动开始后第x秒时，QP＝QD， ∵QP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62， ∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2， 整理，得：x2+36x﹣144＝0， 解得：x＝﹣18±6， ∵0＜618＜6， ∴运动开始后第（618）秒时，以Q为圆心，PQ为半径的圆正好经过点D． （3）存在， ①若∠PQD＝90°，则∠DQC+∠PQB＝90°， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠DQC+∠QDC＝90°， ∴∠PQB＝∠QDC， ∴△DQC∽△QPB， ∴，即， 解得：t； ②若∠DPQ＝90°，则∠APD+∠BPQ＝90°， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠APD+∠ADP＝90°， ∴∠BPQ＝∠ADP， ∴△ADP∽△BPQ， ∴，即， 解得：t＝﹣18（舍）； ③若∠PDQ＝90°，显然不成立； ④当t＝6时，P与B重合，Q与C重合，此时△DPQ是直角三角形； 故当t或6时，△DPQ是直角三角形． 10．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数　　 ； （2）连接AI，判断△ADI的形状并说明理由； （3）若CI，，求△ABC的周长　　 ． 【答案】（1）115°； （2）△ADI是等腰三角形，理由见解析； （3）14． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝25°， ∴∠BAC＝65°， ∵四边形ABEC内接于⊙O， ∴∠BAC+∠CEB＝180°， ∴∠CEB＝115°， 故答案为：115°； （2）△ADI是等腰三角形，理由如下： 如图，连接AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，CD平分∠ACB， ∴∠BAI＝∠CAI，， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°＝∠ACD， ∵∠DAI＝∠BAD+∠BAI，∠AID＝∠ACD+∠CAI， ∴∠DAI＝∠AID， ∴AD＝DI， ∴△ADI是等腰三角形； （3）如图，过点I作IF⊥AC，IP⊥BC，IQ⊥AB，垂足为F、P、Q， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，CD平分∠ACB， ∴IF＝IQ，IF＝IP， 在Rt△AFI和Rt△AQI中，AI＝AI，IF＝IQ， ∴Rt△AFI≌Rt△AQI（HL）， ∴AF＝AQ， 同理可证，CF＝CP，BP＝BQ， 由（2）可知，， ∵∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ABD＝45°， ∴， 在Rt△CFI中，∠FCI＝45°，， ∴， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC ＝AB+AF+CF+BP+CP ＝AB+AQ+CF+BQ+CF ＝2AB+2CF ＝2×6+2×1 ＝14， 故答案为：14． 11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，若点P是线段CD上的动点（不与点C、D重合），则线段OP长度的取值范围是　 ． 【答案】（1）∵CO＝BO， ∴∠CBO＝∠BCO， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，， ∴， 在Rt△OCE中，CE2+OE2＝CO2， 设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝r﹣2， ∴， 解得r＝3， ∴⊙O的半径为3； （3）1≤OP＜3． 【解答】（1）证明：∵CO＝BO， ∴∠CBO＝∠BCO， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，， ∴， 在Rt△OCE中，CE2+OE2＝CO2， 设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝r﹣2， ∴， 解得r＝3， ∴⊙O的半径为3； （3）解：由垂线段最短可知，当点P与点E重合时，OP的值最小，OPmin＝OE＝1；由点P不与点C、D重合可得，OP的长小于半径，即OP＜3，所以线段OP长度的取值范围为1≤OP＜3． 故答案为：1≤OP＜3． 12．[问题提出] （1）如图①，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，△ACD为等边三角形，AD＝6，则线段BD的长为　 　 ． [问题解决] （2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AC＝4，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B，D之间的最大距离； [问题探究] （3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角△ABC以及弓形BDC组成，其中∠B＝90°，AB＝7，BC＝8，DE＝2，点E为BC的中点，DE⊥BC，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离． 【答案】（1）； （2）点B、D之间的最大距离为； （3）小明的说法正确；点A到的最大距离为． 【解答】解：（1）连接BD，交AC于点E， ∵△ABC是等腰直角三角形，△ACD为等边三角形， ∴BA＝BC，DA＝DC， 在△ABD与△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE， 根据三线合一，可得BD垂直平分AC， ∵AD＝6， ∴AC＝6， ∴， ∴BE＝AE＝3，， ∴， 故答案为：； （2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大．在上取一点异于点D的点D′，连接BD′、OD′， 在△BOD′中，BO+OD′＞BD′， ∵OD＝OD′， ∴BO+OD＞BD′，即BD＞BD′， ∴此时BD最大， 在等腰直角△ABC中，O为AC的中点， ∴， ∴， ∴点B、D之间的最大距离为； （3）小明的说法正确， 如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F． ∵点E为BC中点，DE⊥BC， ∴所在的圆的圆心O在直线DF上， 设圆O半径为r，连接BO， 在Rt△BOE中，BO＝r，EO＝DO﹣DE＝r﹣2，，BO2＝BE2+EO2， ∴r2＝42+（r﹣2）2， 解得r＝5， 连接AO并延长交于点D′，则AD′为最大距离， 在△AOD中，AO+OD＞AD，且OD＝OD′， ∴AO+OD′＝AD′＞AD， ∴小明的说法正确， ∵BE∥AF，∠ABC＝90°， ∴∠BAF＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠ABC＝∠BEF， ∴四边形AFBE是矩形， ∴∠F＝90°，EF＝AB＝7，AF＝BE＝4， ∴OF＝DE+EF﹣OD＝4， 在Rt△AOF中，， ∴， ∴点A到的最大距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $