专题3.6 正多边形与圆【导图+知识卡片+知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册同步讲练

本讲义聚焦正多边形与圆核心知识点，系统梳理正多边形概念、中心角等相关计算、性质及画法，从基础概念到重点计算、性质，再到难点画法，形成递进式学习支架，衔接圆的性质与多边形知识。 资料以思维导图助力抽象能力培养，4个题型讲练结合中考真题提升推理能力，难度分层练适配不同学生。如尺规作图题锻炼空间观念，真题演练强化应用意识，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

nullnull 专题3.6 正多边形与圆『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 正多边形及其相关概念 2 知识点二 正多边形的有关计算（重点） 3 知识点三 正多边形的性质（重点） 3 知识点四 正n边形的画法（难点） 3 题型讲练 4 题型一 正多边形和圆的综合 4 题型二 求正多边形的中心角 6 题型三 已知正多边形的中心角求边数 8 题型四 尺规作图——正多边形 9 中考真题演练 12 难度分层训练 22 【基础夯实】 22 【培优拔高】 32 知识点一 正多边形及其相关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点二 正多边形的有关计算（重点） 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三 正多边形的性质（重点） 1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点四 正n边形的画法（难点） 1. 用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 题型一 正多边形和圆的综合 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，勾股定理，如图，过A作于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆内接正八边形的面积为， 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧所对的圆心角是解题的关键． 连接，根据正五边形的性质求出，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， 五边形是正五边形， ， ． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）正方形的外接圆半径为，则正方形的边长为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查正多边形与圆；由题意易得正方形的对角线长为，然后问题可求解． 【详解】解：如图，正方形是的内接正多边形， ∴正方形外接圆直径为正方形的对角线长，即为． ∵正方形的外接圆半径为， ∴正方形的对角线长， ∴正方形的边长为； 故答案为：． 题型二 求正多边形的中心角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图是中国硬币史上唯一采用九边设计的流通币，若把该九边形看作是正九边形，则每条边所对外接圆的圆心角度数是____________°． 【答案】 【分析】根据正n边形的中心角等于计算即可． 本题考查了正多边形的中心角计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得每条边所对外接圆的圆心角度数是， 故答案为：40． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【答案】/60度 【分析】本题考查求正多边形的中心角．根据正n边形中心角的公式直接求解即可． 【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型三 已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的中心角性质，核心知识点为：正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角的度数相等，因此正多边形的边数可通过“边数单个中心角度数”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角总和为，且每个中心角度数相等， ∴该正多边形的边数为； 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·四川广安·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数n可由公式“中心角”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，中心角为， ∴， ∴这个正多边形的边数为5． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东广州·期末）已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，那么以为边的正多边形的边数为___． 【答案】6或30 【分析】本题考查圆与正多边形，掌握好正多边形中心角的计算公式是解题关键． 根据正多边形的中心角公式，分别求出和所对的圆心角，再讨论劣弧和点C的相对位置，得到所对的圆心角，从而求出以为边的正多边形的边数． 【详解】解：∵是的内接正十边形的一条边，是⊙O的内接正十五边形的一条边， ∴，， ①当点在劣弧上时，如图， ， 则以为边的正多边形的边数为； ②当点在劣弧外时，如图， ， 则以为边的正多边形的边数为； 综上所述，以为边的正多边形的边数为或30． 故答案为：6或30． 题型四 尺规作图——正多边形 【典例精讲】如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析 【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可； （2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可； ②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴． 【详解】（1）， ∵O为三角形的外心， ∴O为三角形三边中垂线的交点， 又∵三角形为等边三角形， ∴可得CD垂直平分AB， 根据垂径定理可得：； （2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可； ②如图所示：（方法不唯一） 【变式训练1】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）连接AD，BE交于点O，即可得到所求三角形； （2）连接AC，CF，即可得到所求三角形； 【详解】（1）如图①所示：∆AOB即为所求三角形； （2）如图②所示：∆ACF即为所求三角形． 【变式训练2】如图所示，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，AF与x轴平行，则的长为______． 【答案】 【分析】过F作轴于点H，连接，根据六边形是正六边形，且边长为2，可得，，，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图，过F作轴于点H，连接． ∵六边形是正六边形，且边长为2， ∴，，， ∴，，． 在中， ． 【真题演练1】（2025·江苏徐州·中考真题）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定和性质等，由六边形是正六边形， 可得，，即得，得到，即得到，再利用勾股定理可得，再根据四边形是菱形即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理可得，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积为， 故选：． 【真题演练2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【真题演练3】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，设与相交于点，则，，由正六边形的性质得是等边三角形，即得，，利用勾股定理求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点，则，， ∵多边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【真题演练4】（2025·福建莆田·中考真题）如图，边长为的正六边形的两个顶点，在上，，是直径上的两点．分别延长交于两点，得到一个形如“钻石”的多边形．则 ①半径为； ②； ③连接，则； ④． 以上说法正确的有___________．（只需填写序号即可） 【答案】①②③④ 【分析】连接、、、，证明得，证明得，求出，根据可判断①；连接，过点作于点，设，则，推出，，根据，得，求出或（舍去），可判断②；连接、、，在上截取，连接，证明是等边三角形，可判断③；分别求出和，可判断④． 【详解】解：连接、、、， ∵边长为的正六边形的两个顶点，在上， ∴， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为，故说法①正确； 连接，过点作于点，设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴，故说法②正确； 同理可得：， 连接、、，在上截取，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故说法③正确； 同理可得：，，， ∴， 又∵ ， ， ∴， ∴，故说法④正确， 综上所述，说法正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【真题演练5】（2025·江苏镇江·中考真题）有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 【答案】【概念理解】 【活动探究一】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【活动探究二】见解析 【分析】【概念理解】求等边三角形的外接圆的半径即可； 【活动探究一】（1）以与的交点为圆心，到点的距离为半径画圆即可； （2）根据题意，可得未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上，再根据点和圆的位置关系即可求解； （3）根据的半径为3和该三角形未被覆盖的区域，即可求解； 【活动探究二】根据题意，可得半径最小的三个等圆，是以、、为直径的圆，则、的中点即为圆心、，作图即可． 【详解】解：【概念理解】如图，作的外接圆，即为半径最小的圆， 连接并延长交于点，连接， 等边的外接圆，， ，，垂直平分，平分， ，， 在中，， ， 则，即， 解得； 故答案为：； 【活动探究一】（1）如图1，即为所求； （2）等圆，覆盖等边，的直径为， 和的半径为3， 又 要把未被覆盖的区域全部覆盖， 未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上， 则这些点与点的距离为； 故答案为：； （3）如图2，分别以点，与、的交点为圆心，3为半径作圆，三个圆重合的部分即为满足题意的点的集合； 【活动探究二】如图3，点、即为所求， 设与等边的边和的交点为点、，连接、相交于点， 此时以、、为直径作圆，即为覆盖等边的3个等圆，和，且半径最小， 作射线交于点，连接，交于一点，即为圆心； 连接，交于点，作射线交于一点，即为圆心； 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（   ） A．该正六边形是中心对称图形 B．该正六边形有6条对称轴 C．该正六边形的中心角为 D．该正六边形的面积为 【答案】C 【分析】首先，根据中心对称图形的定义判断正六边形是否为中心对称图形；其次，根据对称轴的定义确定正六边形的对称轴数量；然后，利用正边形中心角公式计算正六边形的中心角；最后，通过将正六边形分割为6个全等的等边三角形，计算其总面积． 【详解】解：对于A选项，∵正六边形绕其中心旋转后能与自身重合， ∴该正六边形是中心对称图形，A选项正确； 对于B选项，正六边形有6条对称轴，分别是3条对边的垂直平分线和3条过相对顶点的直线，B选项正确； 对于C选项，正六边形的中心角为，而非，C选项错误； 对于D选项，如图，正六边形的中心为，取边，作于，则． ∵正六边形的边长为，， ∴为的中点，为等边三角形，， 在中，，， ∴， ∴． ∴， ∴，D选项正确． 2．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，正六边形的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的外接圆与内切圆，勾股定理，等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设内切圆与的切点为H，则，利用正六边形和外接圆的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，再根据含角的直角三角形的性质求得、即可求解． 【详解】解：如图，连接，设内切圆与的切点为H，则， ∵是边长为2的正六边形的外接圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，即该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为． 故选：A． 4．（2026·陕西商洛·二模）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：正六边形的每个中心角为， 则正六边形分成6个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为， 如图，是其中一个正三角形，其中， 过点A作于点D，则， 由勾股定理得， ∴正六边形的面积为． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为___________． 【答案】49 【分析】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的中心角公式是解题的关键． 连接、、、，根据正多边形的中心角公式可得，，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：49． 6．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在的内接正六边形中，，分别交于点，．若该圆的半径为，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 连接、，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等边三角形，即得． 【详解】解：如图，连接、， ∵六边形是圆内接正六边形，圆的半径为， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在的内接正六边形中， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图①，是李凯购买的一个手工编织品，把它抽象成如图②的几何图形，李凯发现它是由一个正方形的内切圆和外接圆组成，已知内切圆的半径是，阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，正方形的内切圆与外接圆，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 连接、交于点，由内切圆的半径推出正方形的边长，进而求出外接圆的半径，使用圆环面积公式进行计算即可， 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵正方形的内切圆半径为， ∴，， 在直角中，， ∴， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）解：正六边形如图所示， （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 平方米． 9．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】(1)是，见解析 (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； 【详解】（1）是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形． （2）如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 10．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）解：与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）下列语句中，正确的是（    ） A．圆的对称轴是直径 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．圆的内接正五边形的边长等于圆的半径 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，垂径定理和圆内接正多边形．根据弧与圆心角的关系，垂径定理和圆的对称轴求解判断即可． 【详解】解：A、圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段而非直线，该选项不符合题意； B、等弧是能够完全重合的弧，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，该选项符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，若弦为直径，平分它的直径不一定垂直于该弦，该选项不符合题意； D、圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，正五边形的边长不等于圆的半径，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接，交正六边形的边上一点D，若，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．延长和交于点，连接，作于点，中，，，求得，在线段上取点，使，求得，求得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长和交于点，连接，作于点， ∵是正六边形、正八边形的公共边， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 在线段上取点，使， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点，，，，，在圆上，若两个小正六边形的边长均为，则大正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，    在小正六边形中，， 则， 在大正六边形中， ， ， 过G作于点H， ， 在中， ， ， ， ， 设， 则，，， 由于， ， 解得（舍去）或， 即， 故选：A． 4．（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点． （1）的长为_____； （2）若圆过点，，，，点为圆外一点，点为圆上一点，当的值最小时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，以及以点为顶点的圆内接正方形，并简要说明该正方形的顶点的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________． 【答案】 见解析 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键， （1）连接，利用勾股定理即可求得答案； （2）连接交网格线于点，则为圆心；连接并延长，分别交圆于点，，取格点，连接，交于点，连接并延长，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，取格点，连接，交网格线于点，连接并延长，交圆于点，，顺次连接，，，，则四边形即为所求． 【详解】解：（1）连接，如图： 由题可得：，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． （2）连接交网格线于点，则为圆心；连接并延长，分别交圆于点，，取格点，连接，交于点，连接并延长，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，取格点，连接，交网格线于点，连接并延长，交圆于点，，顺次连接，，，，则四边形即为所求． 5．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形，矩形，矩形，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，画出正确辅助线是解答的关键． 连接，，，过点作，垂足为，求得，则可得，再根据圆内接正方形的性质以及勾股定理求出的长，再根据三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作，垂足为， 在中，，， ， 由题意可得， ， ， 在中，， ， 将圆十二等分， ， ， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是边长为的等边的外接圆，P是上一个动点，连接，则四边形面积的最大值是___________． 【答案】 【分析】先分析题意，过点作，结合等边三角形的性质，垂径定理得，求出，，运用圆周角定理，得，则故，把数值代入，解得，故，即可作答． 【详解】解：∵是边长为的等边的外接圆， ∴ 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， 则， 则四边形面积， ∵P是上一个动点，连接，且求四边形面积的最大值， ∴要取最大值， 当点在射线上时，此时， 即最大， ∵， ∴， 则 ∴， 在中，， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查圆与内切多边形，多边形的内角，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，先推导出是等边三角形，得到 ，求出，得到，可推导出，，同理可得：，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为正六边形的内切圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， ∵M，N是与的切点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴五边形的周长为． 故答案为：． 8．（2025·四川广安·一模）如图，正六边形内接于，连接、． (1)若P是上的动点，连接、，求的度数； (2)若的面积为，求的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． （）连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示，连接 ， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 面积为： 9．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； (2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 【答案】(1)①见解析②见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径作出图形； （2）连接交弧于点，连接，，即为所求； （3）作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】（1）解：①如图1中， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴线段即为所求； ②如图2中，连接交弧于点，连接，，即为所求； ∵由题意为正方形的内切圆， ∴过圆心， 由正方形性质知， ∴； （2）解：如图3中，作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 由作法知，互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵相等， ∴为矩形； ∵， ∴矩形为正方形． 10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接． (1)如图1，若，，共线，求的值； (2)试探究的大小与的关系，并说明理由； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)的大小与无关，，是个定值 (3)或 【分析】（1）连接，取的中点T，连接，可证明点O为正方形对角线的交点，则，进而可得，由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，得到，则可得到，即； （2）连接，可求出；由旋转的性质可得，则，，进而可求出，，证明，可得到；证明E、F、D、G四点共圆，可得，据此可得结论； （3）当和当两种情况，通过构造与的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，取的中点T，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴都是的直径， ∴点O为正方形对角线的交点， ∴， ∵，且，，共线， ∴，； 由旋转的性质可得， ∴； ∵T为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； （2）解：的大小与无关，，是个定值，理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由旋转的性质可得， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、F、D、G四点共圆， ∴， ∴的大小与无关，，是个定值； （3）解：如图3-1所示，当时，过点A作交于M， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，； ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当时， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 正多边形与圆『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 正多边形及其相关概念 2 知识点二 正多边形的有关计算（重点） 3 知识点三 正多边形的性质（重点） 3 知识点四 正n边形的画法（难点） 3 题型讲练 4 题型一 正多边形和圆的综合 4 题型二 求正多边形的中心角 5 题型三 已知正多边形的中心角求边数 6 题型四 尺规作图——正多边形 6 中考真题演练 7 难度分层训练 10 【基础夯实】 10 【培优拔高】 13 知识点一 正多边形及其相关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点二 正多边形的有关计算（重点） 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三 正多边形的性质（重点） 1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点四 正n边形的画法（难点） 1. 用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 题型一 正多边形和圆的综合 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）正方形的外接圆半径为，则正方形的边长为_____． 题型二 求正多边形的中心角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图是中国硬币史上唯一采用九边设计的流通币，若把该九边形看作是正九边形，则每条边所对外接圆的圆心角度数是____________°． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【变式训练2】（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型三 已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式训练1】（25-26九年级上·四川广安·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式训练2】（25-26八年级上·广东广州·期末）已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，那么以为边的正多边形的边数为___． 题型四 尺规作图——正多边形 【典例精讲】如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          【变式训练1】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 【变式训练2】如图所示，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，AF与x轴平行，则的长为______． 【真题演练1】（2025·江苏徐州·中考真题）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为___________． 【真题演练4】（2025·福建莆田·中考真题）如图，边长为的正六边形的两个顶点，在上，，是直径上的两点．分别延长交于两点，得到一个形如“钻石”的多边形．则 ①半径为； ②； ③连接，则； ④． 以上说法正确的有___________．（只需填写序号即可） 【真题演练5】（2025·江苏镇江·中考真题）有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（   ） A．该正六边形是中心对称图形 B．该正六边形有6条对称轴 C．该正六边形的中心角为 D．该正六边形的面积为 2．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，正六边形的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2026·陕西商洛·二模）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为___________． 6．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在的内接正六边形中，，分别交于点，．若该圆的半径为，则线段的长为___________． 7．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图①，是李凯购买的一个手工编织品，把它抽象成如图②的几何图形，李凯发现它是由一个正方形的内切圆和外接圆组成，已知内切圆的半径是，阴影部分的面积是___________． 8．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 9．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 10．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）下列语句中，正确的是（    ） A．圆的对称轴是直径 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．圆的内接正五边形的边长等于圆的半径 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接，交正六边形的边上一点D，若，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点，，，，，在圆上，若两个小正六边形的边长均为，则大正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点． （1）的长为_____； （2）若圆过点，，，，点为圆外一点，点为圆上一点，当的值最小时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，以及以点为顶点的圆内接正方形，并简要说明该正方形的顶点的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________． 5．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形，矩形，矩形，则阴影部分的面积是______． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是边长为的等边的外接圆，P是上一个动点，连接，则四边形面积的最大值是___________． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为______． 8．（2025·四川广安·一模）如图，正六边形内接于，连接、． (1)若P是上的动点，连接、，求的度数； (2)若的面积为，求的面积．（结果保留） 9．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； (2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接． (1)如图1，若，，共线，求的值； (2)试探究的大小与的关系，并说明理由； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 第 1 页 共 12 页 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