1.1 一元二次方程的概念 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“一元二次方程的概念”核心知识点，系统梳理定义（含整式方程、一个未知数、最高次数2等条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的意义，搭建从整式方程到二次方程的认知支架，为后续解法学习奠定基础。 该资料以题型为导向，通过“解题知识解析+典例示范+变式训练”设计，强化概念理解。如定义判断强调“化简后”等五要素培养抽象能力（数学眼光），一般形式转化训练运算能力（数学思维），解的应用通过代入求参数发展模型意识（数学语言）。课中辅助分层教学，课后过关验收助学生查漏补缺，巩固知识。

1.1 一元二次方程的概念 内 容 导 航 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式 题型3 一元二次方程的解 考 点 演 练 题型1 一元二次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝0 B．x+y2＝﹣2 C．x2+2x＝x2﹣1 D．x2＝7x 【答案】D 【解答】解：A、3x+2＝0的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、x+y2＝﹣2有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、未知数的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、x2＝7x是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 【答案】B 【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、是二元二次方程，故本选项错误； D、当m＝1时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 【变式2】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2 C． D．x2＝0 【答案】D 【解答】解：A、当a＝0时，即该方程的二次项系数是0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项错误； B、由x2﹣2＝（x+3）2，得6x+11＝0，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、是分式方程，不是整式方程； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确； 故选：D． 【变式3】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【答案】C 【解答】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 题型2 一元二次方程的一般形式 解｜题｜知｜识 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【典例1】将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　） A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2 【答案】C 【解答】解：将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）3x2+4x﹣2＝0后，一次项是4x，常数项是﹣2， 故选：C． 【变式1】 请写出一个常数项为0，有一个根为x＝3的一元二次方程：　 ． 【答案】x2﹣3x＝0（答案不唯一） 【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， ∵常数项c＝0，一个根为x＝3， ∴代入方程得a•32+b•3+0＝0， 即9a+3b＝0， 3a+b＝0， b＝﹣3a， 取a＝1，则b＝﹣3， 故方程为：x2﹣3x＝0． 故答案为：x2﹣3x＝0． 【变式2】把方程（x﹣1）（2x+1）＝4化为一般形式为 　 　 ，其中一次项系数为 　 ． 【答案】2x2﹣x﹣5＝0；﹣1． 【解答】解：∵（x﹣1）（2x+1）＝4， ∴2x2﹣x﹣1＝4， 整理得：2x2﹣x﹣5＝0， 把方程（x﹣1）（2x+1）＝4化为一般形式为 2x2﹣x﹣5＝0，其中一次项系数为﹣1． 故答案为：2x2﹣x﹣5＝0；﹣1． 【变式3】若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于 　　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵关于x一元二次方程常数项为0， ∴m2﹣3m+2＝0， 解得m1＝1，m2＝2； 又∵m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m1＝1． 故答案为：1． 题型3 一元二次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【典例1】关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1， ∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0， 解得：m＝﹣3． 故选：A． 【变式1】 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知a+2≠0，即a≠﹣2① 由一个根x＝0，代入（a+2）x2+x+a2﹣4＝0， 可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；② 由①②得a＝2； 故选：A． 【变式2】若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0， 解得a＝2， 故选：A． 【变式3】如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【答案】C 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025＝﹣2×1+2025＝2023． 故选：C． 过 关 验 收 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+xy＝1 B．x2+1＝（x+1）2 C．x2﹣2x+1＝0 D．ax2+bx+c＝0 【答案】C 【解答】解：A．x+xy＝1中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．x2+1＝（x+1）2，化简可得2x＝0，是一元一次方程，不符合题意； C．x2﹣2x+1＝0，符合一元二次方程的定义，符合题意； D．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠0 【答案】B 【解答】解：由题意得：m﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选：B． 3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2+1＝2且m+1≠0， 解得：m＝1， 故选：C． 4．下列方程中的一元二次方程是（　　） A． B．x3﹣2x＝x2 C．x2+y﹣1＝0 D．x2﹣x﹣6＝0 【答案】D 【解答】解：A．∵方程x2+x0不是整式方程， ∴方程x2+x0不是一元二次方程，选项A不符合题意； B．∵方程x3﹣2x＝x2的未知数的最高次数是3， ∴方程x3﹣2x＝x2不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．∵方程x2+y﹣1＝0含有两个未知数， ∴方程x2+y﹣1＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意； D．方程x2﹣x﹣6＝0是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 5．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 6．关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由题意可知：， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 7．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数是（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【答案】B 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的一次项为﹣2x， ∴一次项系数为﹣2． 故选：B． 8．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 【答案】C 【解答】解：根据题意得：， 解得：m＝﹣2． 故选：C． 9．一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，6，4 B．3，﹣6，4 C．3，6，﹣4 D．3，﹣6，﹣4 【答案】D 【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣6，﹣4， 故选：D． 10．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【答案】A 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x， x2﹣1﹣3x＝0， 即x2﹣3x﹣1＝0， 故选：A． 11．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1＝x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：原方程整理得x2﹣mx+1＝0， 由题意，该方程一次项系数为﹣1，可得： ﹣m＝﹣1， 解得m＝1． 故选：A． 12. 将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 【答案】C 【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1． 故选：C． 13．一元二次方程9x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．9，5，﹣4 B．9，4，﹣5 C．9，﹣5，4 D．9，﹣4，5 【答案】B 【解答】解：由9x2＝5﹣4x得9x2+4x﹣5＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，﹣5， 故选：B． 14．一元二次方程2x2﹣3＝5x化成一般形式为（　　） A．2x2+5x﹣3＝0 B．2x2﹣5x﹣3＝0 C．2x2+5x+3＝0 D．2x2﹣5x+3＝0 【答案】B 【解答】解：移项得2x2﹣5x﹣3＝0， 即一元二次方程2x2﹣3＝5x化为一般形式为2x2﹣5x﹣3＝0． 故选：B． 15. 若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 16．若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解， ∴22+2a﹣a＝0， ∴4+a＝0， ∴a＝﹣4． 故选：D． 17．若a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根，则a2﹣6a+2029的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根， ∴a2﹣6a+4＝0， ∴a2﹣6a＝﹣4． ∴a2﹣6a+2029 ＝﹣4+2029 ＝2025， 即a2﹣6a+2029的值是2025， 故选：D． 18．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　） A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2 C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4 【答案】B 【解答】解：由表可知，当x＝1.1时，x2+12x﹣15＜0，当x＝1.2时，x2+12x﹣15＞0， ∴x2+12x﹣15＝0正根x1的范围是1.1＜x1＜1.2； 故选：B． 19．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0一个根为2，则m的值为 　　 ． 【答案】1． 【解答】解：由条件可知：22+2m﹣6＝0， 解得：m＝1， ∴m的值为1． 故答案为：1． 20．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝2024，x2＝﹣2026，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m﹣3）2+b＝0的根是　 ． 【答案】x1＝2027，x2＝﹣2023． 【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2024，x2＝﹣2026， ∴方程a（x+m﹣3）2+b＝0的解为x﹣3＝2024或x﹣3＝﹣2026， 即x1＝2027，x2＝﹣2023． 即方程a（x+m﹣3）2+b＝0的解是x1＝2027，x2＝﹣2023． 故答案为：x1＝2027，x2＝﹣2023． 21．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m+3的值为 　 ． 【答案】15． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣6＝0， ∴m2﹣2m＝6． ∴2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×6+3＝15， 故答案为：15． 22．一元二次方程x2+2x+2a﹣1＝0的一个解为x＝﹣1，则a＝　 ． 【答案】1 【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的方程x2+2x+2a﹣1＝0的一个根， ∴1﹣2+2a﹣1＝0， 解得：a＝1， 故答案为：1． 23．已知m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一个根，则24+m2﹣4m的值为 　 ． 【答案】20 【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一个根， ∴m2﹣4m+4＝0， ∴m2﹣4m＝﹣4， ∴24+m2﹣4m＝24+（﹣4）＝20， 故答案为：20． 24．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则m＝　 ． 【答案】6． 【解答】解：将x＝﹣6代入原方程得：（﹣6）2+5×（﹣6）﹣m＝0， 解得：m＝6． 故答案为：6． 25．关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0有一个根为x＝﹣3，则k的值为　 　 ． 【答案】1 【解答】解：把x＝3代入x2﹣kx﹣6＝0得9﹣3k﹣6＝0， 解得k＝1． 故答案为1． 26．已知一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根为m，则4m2﹣2m+3的值为　 　 ． 【答案】9． 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根为m， 则2m2﹣m﹣3＝0， 所以2m2﹣m＝3， 使用原式＝2（2m2﹣m）+3＝2×3+3＝9． 故答案为：9． 27．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值． 【答案】12． 【解答】解：由题意得，a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2＝2a+1， 又∵（2a﹣1）（2a﹣3）+5＝4a2﹣8a+8， ∴（2a﹣1）（2a﹣3）+5＝4（2a+1）﹣8a+8 ＝8a+4﹣8a+8 ＝12， ∴代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值为12． 28．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 【答案】（1）①③； （2）a＝﹣1或； （3）4． 【解答】解：（1）①x2＝1是黄金方程，理由： ∵x2＝1， ∴x2﹣1＝0， ∴a＝1，b＝0，c＝﹣1 ∴a﹣b+c＝1﹣0﹣1＝0， ∴x2＝1是黄金方程； ②（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程，理由： ∵（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x2+x﹣2＝0， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴a﹣b+c＝1﹣1﹣2＝﹣2≠0， 故（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程； ③x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴a﹣b+c＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程， 故答案为：①③； （2）由条件可知3+b﹣（﹣a）＝0， ∴b＝﹣a﹣3， ∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， 解得a＝﹣1或； （3）由条件可知2﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣2， ∴b2﹣2c+1＝b2﹣2（b﹣2）+1＝b2﹣2b+1+4＝（b﹣1）2+4， ∵（b﹣1）2≥0， ∴（b﹣1）2+4≥4， ∴b2﹣2c+1的最小值为4． 29．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． 30．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2， ∴22﹣2（k+1）﹣6＝0， 解得k＝﹣2， 设另一根为x， ∵2x＝﹣6， ∴x＝﹣3， ∴k＝﹣2，另一根为﹣3． 31．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求代数式2m（m﹣2）﹣5的值． 【答案】1． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣3＝0，即m2﹣2m＝3， ∴2m（m﹣2）﹣5＝2m2﹣4m﹣5＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1． 故答案为：1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 一元二次方程的概念 内 容 导 航 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般形式 题型3 一元二次方程的解 考 点 演 练 题型1 一元二次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝0 B．x+y2＝﹣2 C．x2+2x＝x2﹣1 D．x2＝7x 【变式1】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 【变式2】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2 C． D．x2＝0 【变式3】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 题型2 一元二次方程的一般形式 解｜题｜知｜识 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【典例1】将一元二次方程3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　） A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2 【变式1】 请写出一个常数项为0，有一个根为x＝3的一元二次方程：　 ． 【变式2】把方程（x﹣1）（2x+1）＝4化为一般形式为 　 　 ，其中一次项系数为 　 ． 【变式3】若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于 　　 ． 题型3 一元二次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【典例1】关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 【变式1】 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【变式2】若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式3】如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 过 关 验 收 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+xy＝1 B．x2+1＝（x+1）2 C．x2﹣2x+1＝0 D．ax2+bx+c＝0 2．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＝1 B．m≠1 C．m≥1 D．m≠0 3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 4．下列方程中的一元二次方程是（　　） A． B．x3﹣2x＝x2 C．x2+y﹣1＝0 D．x2﹣x﹣6＝0 5．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 6．关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 7．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数是（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 8．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 9．一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，6，4 B．3，﹣6，4 C．3，6，﹣4 D．3，﹣6，﹣4 10．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 11．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1＝x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12. 将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 13．一元二次方程9x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．9，5，﹣4 B．9，4，﹣5 C．9，﹣5，4 D．9，﹣4，5 14．一元二次方程2x2﹣3＝5x化成一般形式为（　　） A．2x2+5x﹣3＝0 B．2x2﹣5x﹣3＝0 C．2x2+5x+3＝0 D．2x2﹣5x+3＝0 15. 若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 16．若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 17．若a是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的一个实数根，则a2﹣6a+2029的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 18．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　） A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2 C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4 19．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0一个根为2，则m的值为 　　 ． 20．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝2024，x2＝﹣2026，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m﹣3）2+b＝0的根是　 ． 21．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m+3的值为 　 ． 22．一元二次方程x2+2x+2a﹣1＝0的一个解为x＝﹣1，则a＝　 ． 23．已知m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一个根，则24+m2﹣4m的值为 　 ． 24．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则m＝　 ． 25．关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0有一个根为x＝﹣3，则k的值为　 　 ． 26．已知一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根为m，则4m2﹣2m+3的值为　 　 ． 27．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（2a﹣1）（2a﹣3）+5的值． 28．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 （填序号）． （2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值． （3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 29．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 30．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根． 31．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求代数式2m（m﹣2）﹣5的值． 学科网（北京）股份有限公司 $